福建省泉州五中(362000)

楊蒼洲●

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基于交匯的合情推理試題賞析

福建省泉州五中(362000)

楊蒼洲●

合情推理有“歸納”和“類比”兩種推理模式，這種推理是建立在觀察、實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過“類比”來產(chǎn)生“聯(lián)想”，或者通過“歸納”來進(jìn)行“猜想”，是一種“發(fā)現(xiàn)未知”的思維形式.合情推理作為一種推理方法，它可以與高中數(shù)學(xué)“六大知識(shí)模塊——函數(shù)導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何、不等式”等知識(shí)進(jìn)行交匯考查，其試題設(shè)計(jì)精彩紛呈，往往是一份試卷的亮點(diǎn)所在.

一、以“不等式”為背景

當(dāng)n≥2時(shí)，有 ____.

二、以“幾何”為背景

三、以“導(dǎo)數(shù)積分”為背景

例題3 (2013年高考福建卷)當(dāng)x∈R,|x|<1時(shí)，有如下表達(dá)式：

兩邊同時(shí)積分得：

請(qǐng)根據(jù)以上材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，計(jì)算：

四、以“圓錐曲線”為背景

五、以“數(shù)列”為背景

例題5 某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形.

(Ⅰ)求出f(5)；

(Ⅱ)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n+1)與f(n)的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求f(n)的表達(dá)式.

江陰市對(duì)水利現(xiàn)代化建設(shè)認(rèn)識(shí)充分，始終認(rèn)為“水利現(xiàn)代化是一項(xiàng)實(shí)實(shí)在在的民生工程，水利現(xiàn)代化是治水理念現(xiàn)代化、技術(shù)現(xiàn)代化和管理現(xiàn)代化三者的融合，必須從單純的水系和水利工程管理延伸到流域內(nèi)社會(huì)水行為、水意識(shí)的管理，建設(shè)與管理并重，要突出建設(shè)重點(diǎn)，規(guī)劃引領(lǐng)，典型示范”。近年，江陰市緊緊圍繞“水安全、水環(huán)境、水資源、水景觀、水經(jīng)濟(jì)、水文化”六位一體的大水利理念，全面完成了境內(nèi)18614條“家河”的整治，提升流域水質(zhì)；以萬頃良田建設(shè)為契機(jī)，建成了一大批高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田水利設(shè)施；深入推進(jìn)“河長(zhǎng)制”管理，實(shí)現(xiàn)了全市河道水清、岸綠、景美；嘗試“不開發(fā)區(qū)”建設(shè)，開展水生態(tài)修復(fù)，打造不開發(fā)區(qū)濕地旅游保護(hù)區(qū)等。

解析 (Ⅰ)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(5)=25+4×4=41.

(Ⅱ)∵f(2)-f(1)=4=4×1，f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,由上式規(guī)律得出f(n+1)-f(n)=4n.

∴f(2)-f(1)=4×1,f(3)-f(2)=4×2,

f(4)-f(3)=4×3,

…，

∴f(n-1)-f(n-2)=4(n-2),

f(n)-f(n-1)=4(n-1) ，

∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)]=2(n-1)·n,

∴f(n)=2 .

四、以“三角函數(shù)”為背景

例題6 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：

(1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°；

(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°；

(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°;

(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;

(5)sin2(-25)°+cos255°-sin(-25)°cos55°.

(Ⅰ)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；

(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.

解析 (Ⅰ)選擇(2)式，計(jì)算如下：

G

B