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        一類二次函數(shù)絕對(duì)值問(wèn)題的解法探究

        2016-12-16 02:51:28浙江省金華市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高中部321000
        數(shù)理化解題研究 2016年22期
        關(guān)鍵詞:秒殺對(duì)稱軸端點(diǎn)

        浙江省金華市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高中部 (321000)

        傅鮮兵 ●

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        一類二次函數(shù)絕對(duì)值問(wèn)題的解法探究

        浙江省金華市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高中部 (321000)

        傅鮮兵 ●

        二次函數(shù)與絕對(duì)值知識(shí)的結(jié)合,使得題型變得新穎,解法變得靈活,思維變得抽象.筆者結(jié)合2015年浙江高考理科第18題及2015年金麗衢十二校聯(lián)考二模填空第15題,談一談對(duì)二次函數(shù)絕對(duì)值問(wèn)題中,包含區(qū)間,最值一類問(wèn)題的解法.針對(duì)該類題型,反解系數(shù)法可謂是絕妙!

        一、緣起

        例1(2015年浙江高考理科第18題) 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.

        (1)證明:當(dāng)|a|≥2時(shí),M(a,b)≥2;

        (2)當(dāng)a,b滿足M(a,b)≤2時(shí),求|a|+|b|的最大值.

        二次函數(shù)在高考中常出常新,而2015年浙江高考理科卷18題的出現(xiàn),又喚起了我們對(duì)這類問(wèn)題的思考,與對(duì)過(guò)往經(jīng)典的致敬!

        二、思考

        1.編過(guò)這類試題的老師都會(huì)發(fā)現(xiàn),這類含絕對(duì)值、區(qū)間、最值問(wèn)題的處理方法,主要是發(fā)現(xiàn)端點(diǎn)的函數(shù)值,對(duì)稱軸的函數(shù)值與最值之間的聯(lián)系.而端點(diǎn)函數(shù)值往往與最值相吻合,即端點(diǎn)最值!因?yàn)樵谄渌闆r下,題目很難編,情況會(huì)變得十分復(fù)雜,不適合出考題.基于這樣的想法,代端點(diǎn)可以秒殺2015年金麗衢十二校聯(lián)考二模數(shù)學(xué)理填空把關(guān)題即第15題!端點(diǎn)代入,秒殺解題:

        三、解決

        1.向經(jīng)典致敬

        例3(1998年“希望杯”高三賽題) 若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),對(duì)一切x∈[0,1],恒有|f(x)|≤1.

        (1)對(duì)所有這樣的f(x),求|a|+|b|+|c|可能的最大值;(2)試給出一個(gè)這樣的f(x),使|a|+|b|+|c|確實(shí)取到上述最大值.

        (2)取a=8,b=-8,c=1即可.

        這道題是不老的傳奇,影響了此后很多年.其實(shí)例2即金麗衢12校二模數(shù)學(xué)理填空15題即源于此!端點(diǎn)時(shí)取到最值,對(duì)稱軸時(shí)取到最值的相反數(shù),如出一轍!

        2.反解系數(shù)法解決例1第二問(wèn)

        解 (2)∵f(1)=1+a+b,f(-1)=1-a+b,

        又∵M(jìn)(a,b)≤2,|f(1)|≤2,|f(-1)|≤2.

        易見(jiàn)a=±2,b=1時(shí),|a|+|b|取到最大值3.

        不難看出,該題可以由端點(diǎn)最值秒殺! 即端點(diǎn)取到最值時(shí)!這些所謂的難題,難逃此率!

        從二次函數(shù)的角度分析,不論a,b,c怎么取值,f(x)在區(qū)間上的最值只能是端點(diǎn)函數(shù)值或者對(duì)稱軸時(shí)的函數(shù)值.這里需要特別指出的是要將二次函數(shù)中的系數(shù)a,b,c用端點(diǎn)函數(shù)值與對(duì)稱軸函數(shù)值表示,然后運(yùn)用絕對(duì)值不等式,進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.這就是解決這類問(wèn)題的一般解題思考方法.

        G632

        B

        1008-0333(2016)22-0039-01

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