廣州市花都區(qū)第二中學(xué)(510800)

楊偉達(dá)●

?

用圓錐曲線的定義求解一類絕對(duì)值不等式

廣州市花都區(qū)第二中學(xué)(510800)

楊偉達(dá)●

一、橢圓類不等式

它表示橢圓類不等式，它的解集

例1 (2014·廣東高考9)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集為_(kāi)___．

分析 此題為橢圓類不等式．問(wèn)題關(guān)鍵：用橢圓的定義求出它的中心、頂點(diǎn)．

解 此題屬于橢圓類不等式，它的解集為“兩邊開(kāi)”．

分析 第一問(wèn)：若采用去絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行分類討論比較復(fù)雜、易錯(cuò)，若把它看成橢圓類不等式，簡(jiǎn)單易懂；第二問(wèn)：化簡(jiǎn)后在某區(qū)間內(nèi)滿足含參絕對(duì)值不等式，并發(fā)現(xiàn)其區(qū)間端點(diǎn)恰好為函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|的零點(diǎn).因此，此題屬于橢圓類不等式的特殊情況，焦距等于常數(shù)，它的解集為兩零點(diǎn)的中間，簡(jiǎn)稱為“夾中間”.

解 (1)依題可知：當(dāng)a=-2時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為：

|2x-1|+|2x-2|≤x+3

由①②可得：當(dāng)a>-1時(shí)，

解得：x≥a-2.

二、雙曲線類不等式

它表示雙曲線類不等式，它的解集為

例3 (2013·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)=|x-a|，其中a>1.(1)略.(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}，求a的值．

分析 這是一道關(guān)于絕對(duì)值的函數(shù)題.變形后為含參數(shù)的絕對(duì)值不等式.此題屬于雙曲線類不等式，根據(jù)它的定義可求它的中心、頂點(diǎn)，用數(shù)形結(jié)合將問(wèn)題解決.

解 (1)略.(2) ∵f(x)=|x-a|，其中a>1，

原不等式轉(zhuǎn)化為：︱|x|-|x-a|︱≤1，

此題屬于雙曲線類不等式，它的解集為“夾中間”.

根據(jù)條件可知：不等式解集為{x|1≤x≤2}，

例4 (2012·廣東9)不等式|x+2|-|x|≤1的解集為_(kāi)___．

分析 此類絕對(duì)值不等式屬于雙曲線類不等式．因式子|x+2|長(zhǎng)度較長(zhǎng)，-2<0, 因此可判斷雙曲線類不等式右支．解題的關(guān)鍵是求出它的中心、頂點(diǎn)．

解 因|x+2|長(zhǎng)度比較長(zhǎng)，所以此題屬于雙曲線類不等式右支，它的解集為“左邊開(kāi)”．

如圖10所示：

F1=-2，F(xiàn)2=0，

三、拋物線類不等式

總之，對(duì)于圓錐曲線類不等式，可通過(guò)它的定義求出它的中心、頂點(diǎn)，再畫(huà)圖、用圖，求解過(guò)程簡(jiǎn)單、易懂.它一方面“去絕對(duì)值”繞開(kāi)了分類討論，另一方面避免運(yùn)算繁雜造成的錯(cuò)誤，不僅加深了圓錐曲線定義的理解，而且對(duì)絕對(duì)值不等式有了新的認(rèn)識(shí).

G632

B

1008-0333(2016)31-0015-03