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        有技巧在定義
        ——橢圓定義應(yīng)用舉例

        2016-12-16 02:34:06福建泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)362000
        數(shù)理化解題研究 2016年31期
        關(guān)鍵詞:泉州焦點(diǎn)橢圓

        福建泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(362000)

        崔紅光●

        福建泉州第五中學(xué)(362000)

        楊蒼洲●

        ?

        有技巧在定義
        ——橢圓定義應(yīng)用舉例

        福建泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(362000)

        崔紅光●

        福建泉州第五中學(xué)(362000)

        楊蒼洲●

        一、運(yùn)用定義求長(zhǎng)度

        解析 ∵|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=2.

        解析 因?yàn)閨AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,

        故△ABF2的周為4a.

        二、運(yùn)用定義解焦點(diǎn)三角形

        三、運(yùn)用定義求軌跡

        解析 建立直角坐標(biāo)系,使x軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C,原點(diǎn)O與線段BC的中點(diǎn)重合.

        即點(diǎn)A的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)的橢圓,且2c=6,2a=10.

        即c=3,a=5,b2=a2-c2=25-9=16.

        但當(dāng)點(diǎn)A在直線BC上,即y=0時(shí),A,B,C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,

        例6 已知一動(dòng)圓與圓O1:(x+3)2+y2=1外切,與圓O2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.

        故|MO1|+|MO2|=10>|O1O2|,即M點(diǎn)的軌跡是以O(shè)1(-3,0),O2(3,0)為焦點(diǎn)的橢圓.

        四、運(yùn)用定義求最值

        例7 (2011年福建省數(shù)學(xué)競(jìng)賽暨2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(福建省賽區(qū))預(yù)賽試題)

        解析 連接F2Q,直線F2Q分別交上、下半橢圓于點(diǎn)P1,P2.

        五、運(yùn)用定義巧轉(zhuǎn)化

        很多考查圓錐曲線的問(wèn)題都涉及到其定義問(wèn)題,特別是一些技巧的問(wèn)題都是利用定義解題的,所以我們?cè)诳紤]問(wèn)題時(shí),一定要先考慮圓錐曲線的定義,這時(shí)候就要關(guān)注它的兩個(gè)焦點(diǎn),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的問(wèn)題.

        解析 延長(zhǎng)F2M交PF1于點(diǎn)N,可知△PNF2為等腰三角形,且M為F2N的中點(diǎn).

        例11 在△ABC中,A(-1,0),C(1,0),三邊長(zhǎng)滿足:BC>AC>AB,且sinA+sinC=2sinB.求動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡的形狀.

        解析 由已知條件可以得:|BA|+|BC|=4,由橢圓定義得B點(diǎn)的軌跡是以A,C為焦點(diǎn)的橢圓的一部分.

        在三角形ABC中,|AC|=2,

        由正弦定理得:

        B點(diǎn)的軌跡是以A,C為焦點(diǎn)的橢圓.顯然橢圓的焦點(diǎn)在x軸上.

        2a=4a=2,c=1,

        ∴b2=3,又|BC|>|AB|,故B點(diǎn)的軌跡是橢圓的左半部分,且除去左頂點(diǎn)(-2,0).

        G632

        B

        1008-0333(2016)31-0004-02

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