福建泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(362000)

崔紅光●

福建泉州第五中學(xué)(362000)

楊蒼洲●

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有技巧在定義
——橢圓定義應(yīng)用舉例

福建泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(362000)

崔紅光●

福建泉州第五中學(xué)(362000)

楊蒼洲●

一、運(yùn)用定義求長(zhǎng)度

解析 ∵|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=2.

解析 因?yàn)閨AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，

故△ABF2的周為4a．

二、運(yùn)用定義解焦點(diǎn)三角形

三、運(yùn)用定義求軌跡

解析 建立直角坐標(biāo)系，使x軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C，原點(diǎn)O與線段BC的中點(diǎn)重合．

即點(diǎn)A的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)的橢圓，且2c=6,2a=10．

即c=3，a=5,b2=a2-c2=25-9=16.

但當(dāng)點(diǎn)A在直線BC上，即y=0時(shí)，A,B,C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，

例6 已知一動(dòng)圓與圓O1:(x+3)2+y2=1外切，與圓O2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．

故|MO1|+|MO2|=10>|O1O2|，即M點(diǎn)的軌跡是以O(shè)1(-3,0),O2(3,0)為焦點(diǎn)的橢圓．

四、運(yùn)用定義求最值

例7 (2011年福建省數(shù)學(xué)競(jìng)賽暨2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(福建省賽區(qū))預(yù)賽試題)

解析 連接F2Q，直線F2Q分別交上、下半橢圓于點(diǎn)P1，P2．

五、運(yùn)用定義巧轉(zhuǎn)化

很多考查圓錐曲線的問(wèn)題都涉及到其定義問(wèn)題，特別是一些技巧的問(wèn)題都是利用定義解題的，所以我們?cè)诳紤]問(wèn)題時(shí)，一定要先考慮圓錐曲線的定義，這時(shí)候就要關(guān)注它的兩個(gè)焦點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的問(wèn)題．

解析 延長(zhǎng)F2M交PF1于點(diǎn)N，可知△PNF2為等腰三角形，且M為F2N的中點(diǎn).

例11 在△ABC中，A(-1，0)，C(1，0)，三邊長(zhǎng)滿足：BC>AC>AB，且sinA+sinC=2sinB.求動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀．

解析 由已知條件可以得：|BA|+|BC|=4，由橢圓定義得B點(diǎn)的軌跡是以A，C為焦點(diǎn)的橢圓的一部分．

在三角形ABC中，|AC|=2，

由正弦定理得：

B點(diǎn)的軌跡是以A，C為焦點(diǎn)的橢圓．顯然橢圓的焦點(diǎn)在x軸上．

2a=4a=2,c=1,

∴b2=3，又|BC|>|AB|，故B點(diǎn)的軌跡是橢圓的左半部分,且除去左頂點(diǎn)(-2，0).

G632

B

1008-0333(2016)31-0004-02