薛 紅，董瑩瑩

(西安工程大學理學院，陜西 西安 710048)

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雙分數(shù)Vasicek利率下重置期權(quán)定價

薛 紅，董瑩瑩

(西安工程大學理學院，陜西 西安 710048)

假定股票價格滿足雙分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程，利率滿足雙分數(shù)Vasicek利率模型，根據(jù)雙分數(shù)布朗運動隨機分析理論及保險精算方法，討論了重置期權(quán)的定價問題，建立相應(yīng)的金融市場模型并獲得了雙分數(shù)Vasicek利率下重置期權(quán)定價公式.

雙分數(shù)布朗運動；Vasicek利率；保險精算；重置期權(quán)

重置期權(quán)是現(xiàn)代金融市場中廣泛應(yīng)用的一種新型期權(quán)[1],其敲定價格可以按照一定的規(guī)則作出調(diào)整,以便使持有者擁有更多的獲利機會，深受投資者喜愛重視.文獻[2-5]是在常數(shù)利率下對重置期權(quán)進行研究得到的結(jié)果.但大量實證研究表明，在實際金融市場中，利率具有均值回復(fù)的特征，長期利率的波動會小于短期利率的波動，在利率水平較高時，其波動也較大.文獻[6]假設(shè)股票價格滿足布朗運動，利率滿足擴展的Vasicek模型，運用鞅理論及Gisanov定理，獲得了重置看漲期權(quán)的定價公式.文獻[7]假設(shè)股票價格滿足布朗運動，利率滿足Vasicek模型，借助多元正態(tài)分布函數(shù)與無套利理論，得到了重置期權(quán)的一組顯示定價公式和近似計算方法.文獻[8]假設(shè)股票價格遵循幾何布朗運動，利率滿足Vasicek模型，利用偏微分方程方法，獲得了重置期權(quán)的定價公式.近幾年，不少學者提出了雙分數(shù)布朗運動，文獻[9-12]給出了雙分數(shù)布朗運動的定義、性質(zhì)及其在期權(quán)定價中的應(yīng)用.文獻[13-17]是隨機利率下幾種金融衍生產(chǎn)品的定價.本文是在股票價格服從雙分數(shù)布朗運動、利率滿足Vasicek模型、建立雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下的金融市場數(shù)學模型，利用保險精算方法推導(dǎo)出重置期權(quán)的定價公式.

1 金融市場數(shù)學模型

考慮如下模型(A):利率rt和股票價格St分別滿足如下隨機微分方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

引理3 {St,t≥0}在[t,T]上的期望回報率滿足βu=μ,u∈[t,T].

證明 由引理2可知

由定義2可得

再由

2 隨機Vasicek利率下重置期權(quán)定價

定理1 標準歐式看漲期權(quán)在t時刻保險精算價格為

證明 由定義3得

綜上，定理得證.

定義5 重置看漲期權(quán)在t(t

定理2 用CRS(t,T1,T)表示重置看漲期權(quán)在時刻t的價格，重置時間為T1的重置看漲期權(quán)在時刻t的保險精算定價為

1)當t∈[T1,T]時，CRS(t,T1,T)=C(t,T,Y)I{ST1≥Y}+C(t,T,ST1)I{ST1

2)當t∈[0,T1]時，有

證明 1)當T1≤t≤T時，根據(jù)定理1易得結(jié)論.

由引理1，引理2和引理3可知，

再由A∩B={η1-η2>d1,η2+η4d3,η2+η4>d2},

合并上述Π1,Π2,Π3,Π4的計算式即證定理2.

注1 1)當K=1時，可得分數(shù)布朗運動環(huán)境下重置期權(quán)定價公式(見文獻[5])；

2)當T1=T時，可得雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下標準歐式看漲期權(quán)的保險精算定價公式(見定理1).

3 結(jié) 論

本文將重置期權(quán)定價理論作了進一步的推廣.由于雙分數(shù)布朗運動是一種比分數(shù)布朗運動更一般的高斯過程，它不僅無獨立增量性，也不具有平穩(wěn)增量性，即雙分數(shù)布朗運動可以描述分數(shù)布朗運動描述不了的股價變化非平穩(wěn)的情形，所以雙分數(shù)布朗運動較之于幾何布朗運動和分數(shù)布朗運動能更好地描述股票價格的波動；而且隨機Vasicek利率較常數(shù)利率更貼近實際的金融市場環(huán)境.故本文在雙分數(shù)Vasicek利率下對重置期權(quán)進行研究得到的定價公式更具有實際意義，同時豐富了重置期權(quán)定價研究的理論.

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Reset Option Pricing in Bi-fractional Vasicek Rate Environment

XUE Hong, DONG Yingying

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

Assume that stock price follows the stochastic differential equation driven by bi-fractional Brownian motion, and interest rate satisfies Vasicek rate model which driven by bi-fractional Brownian motion, the pricing problem of reset option is discussed using the stochastic analysis theory of bi-fractional Brownian motion and the actuarial approach. The mathematical model of financial markets in the bi-fractional Vasicek rate environment is established. The pricing formula of reset option in bi-fractional Vasicek rate environment is obtained.

bi-fractional Brownian motion; Vasicek rate model; actuarial approach; reset option

2016-03-08

陜西省自然科學基金項目(2016JM1031)；陜西省自然科學基礎(chǔ)研究計劃資助項目(2015JM1034)；西安工程大學研究生創(chuàng)新基金項目(CX201613)；陜西省教育廳專項科研基金項目(14JK1299).

薛 紅(1964—),男,教授,博士,主要從事隨機分析及金融工程等研究.E-mial:xuehonghong@sohu.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2016.06.016

O211 MSC2010: 91G20; 91G30; 91G80

A

1674-232X(2016)06-0650-06