朱志輝，王力東，龔 威，余志武,2，蔡成標(biāo)

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075；2.中南大學(xué) 高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410075；3.西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

?

基于改進(jìn)迭代模型的車(chē)-橋耦合系統(tǒng)豎向隨機(jī)振動(dòng)研究

朱志輝1,2?，王力東1，龔 威1，余志武1,2，蔡成標(biāo)3

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075；2.中南大學(xué) 高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410075；3.西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

采用改進(jìn)的車(chē)-橋耦合系統(tǒng)迭代計(jì)算模型，建立了基于虛擬激勵(lì)法(PEM)的列車(chē)-軌道-橋梁豎向隨機(jī)振動(dòng)分析模型.采用虛擬激勵(lì)法將軌道不平順精確地轉(zhuǎn)化為一系列豎向簡(jiǎn)諧不平順的疊加，并運(yùn)用分離迭代法求解車(chē)-橋耦合系統(tǒng)振動(dòng)方程.以CRH2高速列車(chē)通過(guò)5跨簡(jiǎn)支梁橋?yàn)槔?，?duì)改進(jìn)的車(chē)-橋耦合系統(tǒng)迭代計(jì)算模型的計(jì)算精度和效率進(jìn)行了驗(yàn)證．結(jié)果表明：在保持與傳統(tǒng)模型相同計(jì)算精度的前提下，改進(jìn)模型能使計(jì)算效率提高5倍左右.通過(guò)對(duì)列車(chē)-軌道-簡(jiǎn)支梁橋豎向隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)中確定性激勵(lì)引起的均值和軌道不平順引起的均方根進(jìn)行分析可知：橋梁豎向位移主要受列車(chē)自重控制，軌道不平順引起的橋梁豎向位移影響很小；橋梁和車(chē)體豎向加速度受軌道不平順影響顯著，改善線路條件能有效提高列車(chē)的乘車(chē)舒適性；同時(shí)，車(chē)速越高，橋梁和車(chē)輛隨機(jī)響應(yīng)的均方根越大，由軌道不平順引起的耦合系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的離散度越大.

車(chē)-橋耦合振動(dòng);迭代模型;赫茲接觸;虛擬激勵(lì)法;簡(jiǎn)支梁橋

在車(chē)-橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)研究中，軌道不平順是引起耦合系統(tǒng)振動(dòng)的重要激勵(lì)源.由于軌道不平順是一個(gè)近似各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)分布，由此引起的車(chē)-橋耦合振動(dòng)也是一個(gè)典型的隨機(jī)過(guò)程[1].潘家英[2]在分析列車(chē)通過(guò)廣西紅水河鐵路斜拉橋的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)主要隨車(chē)速及軌道不平順樣本函數(shù)的不同而變化，且具有較大的隨機(jī)性.夏禾[3]選取20個(gè)激勵(lì)樣本對(duì)車(chē)輛通過(guò)單跨橋梁時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)橋梁跨中橫向振幅和機(jī)車(chē)車(chē)體橫向振動(dòng)加速度變異系數(shù)分別高達(dá)38%和23.7%.因此開(kāi)展基于隨機(jī)振動(dòng)方法的車(chē)-橋耦合振動(dòng)研究對(duì)準(zhǔn)確評(píng)估車(chē)-橋耦合振動(dòng)特性顯得尤為重要.

在車(chē)-橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)研究中，計(jì)算效率和計(jì)算精度一直都是制約該問(wèn)題研究的重要因素.傳統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)研究常用的Monte Carlo法是一種基于大樣本容量的隨機(jī)分析方法，必須取足夠數(shù)量的樣本才能保證統(tǒng)計(jì)結(jié)果的可靠性[4].為降低隨機(jī)振動(dòng)分析的計(jì)算量，同時(shí)提高隨機(jī)振動(dòng)分析的準(zhǔn)確性，林家浩[5]提出了隨機(jī)振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法，其特點(diǎn)是將平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)分析轉(zhuǎn)化為諧響應(yīng)分析，將非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)分析轉(zhuǎn)化為時(shí)間歷程分析，并廣泛應(yīng)用于航空、地震、風(fēng)等多領(lǐng)域的研究工作.同時(shí)，LV[4],ZHANG[6],李小珍[7]等將虛擬激勵(lì)法用于車(chē)-橋耦合振動(dòng)，研究了列車(chē)荷載作用下車(chē)輛-簡(jiǎn)支梁橋和連續(xù)梁橋耦合系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)特性.在這些研究中，為簡(jiǎn)化所分析問(wèn)題的難度，通常假定鋼軌與橋面之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，忽略了軌道結(jié)構(gòu)彈性變形作用.

隨著研究的逐步深入，軌道結(jié)構(gòu)的彈性支承和變形作用在車(chē)-橋耦合振動(dòng)中的影響逐步引起了研究人員的重視[8-9].但當(dāng)車(chē)-橋耦合振動(dòng)研究考慮軌道結(jié)構(gòu)時(shí)，會(huì)使以往基于分離迭代方法的耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程計(jì)算效率、收斂性和計(jì)算精度問(wèn)題變得更為重要.吳定俊[10]、杜憲亭[11]等分別針對(duì)輪軌彈性接觸模型和密貼模型，討論了分離迭代算法的數(shù)值求解穩(wěn)定性問(wèn)題.研究結(jié)果表明雖然輪軌彈性模型在足夠小的時(shí)間積分步長(zhǎng)下可以收斂，但會(huì)導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)；同時(shí)，當(dāng)采用輪軌密貼模型時(shí)，由于簧下車(chē)輪質(zhì)量大于輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌質(zhì)量，從而導(dǎo)致密貼模型計(jì)算不收斂.ZHANG[12]、杜憲亭[13]為提高車(chē)-橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程求解效率，分別提出了全過(guò)程迭代法和精細(xì)Rung-Kutta混合積分法，但上述研究并未考慮軌道結(jié)構(gòu)對(duì)計(jì)算方法的影響.

針對(duì)車(chē)-橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)研究中存在的計(jì)算效率和迭代計(jì)算收斂性問(wèn)題，本文首先建立了改進(jìn)的列車(chē)-軌道-橋梁耦合系統(tǒng)迭代計(jì)算模型，并通過(guò)譜半徑理論和數(shù)值算例對(duì)比分析了改進(jìn)迭代計(jì)算模型的迭代穩(wěn)定性和精度.其次，推導(dǎo)了基于改進(jìn)迭代計(jì)算模型和虛擬激勵(lì)法的車(chē)-軌-橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析方法.以高速列車(chē)通過(guò)簡(jiǎn)支箱梁橋?yàn)樗憷?，分析了高速列?chē)-軌道-橋梁耦合系統(tǒng)豎向隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特征，討論了車(chē)速、軌道不平順以及軌道結(jié)構(gòu)的影響規(guī)律.

1 改進(jìn)的車(chē)-橋系統(tǒng)迭代計(jì)算模型

基于迭代算法的車(chē)-橋耦合振動(dòng)分析模型通常以輪軌接觸面為界，分為車(chē)輛子系統(tǒng)和橋梁子系統(tǒng)兩部分，每個(gè)子系統(tǒng)的組成如圖1(a)所示.依據(jù)D’Alembert原理，圖1(a)中基于平衡位置的車(chē)體輪對(duì)質(zhì)量塊的動(dòng)力平衡方程可以表示為：

(1)

kh(ut+uir-uw)

(2)

輪下質(zhì)量塊的動(dòng)力平衡方程可以表示為：

(mw+mv)g

(3)

式中:m,c,k分別表示質(zhì)量、阻尼、剛度，u表示位移；下標(biāo)v,w,t分別代表車(chē)體質(zhì)量塊、輪對(duì)質(zhì)量塊、輪下質(zhì)量塊；下標(biāo)p代表車(chē)輛懸掛系統(tǒng)，ir代表軌道不平順；kh為輪軌接觸剛度系數(shù)，g為重力加速度.

圖1 簡(jiǎn)化的輪軌線性赫茲接觸車(chē)-橋系統(tǒng)Fig.1 Simplified train-bridge system under the wheel-rail linear Hertz contact

根據(jù)文獻(xiàn)[10]可知，在傳統(tǒng)的車(chē)-橋耦合系統(tǒng)迭代計(jì)算模型中，車(chē)輛系統(tǒng)的迭代穩(wěn)定性在車(chē)-橋耦合振動(dòng)問(wèn)題中起控制作用.由于輪軌間接觸剛度kh通常在109N/m，為保證車(chē)-橋耦合系統(tǒng)迭代計(jì)算的收斂性，時(shí)間積分步長(zhǎng)一般在10-5s；同時(shí)，當(dāng)考慮軌道結(jié)構(gòu)時(shí)，mw通常大于mt，很難保證收斂.

為提高傳統(tǒng)迭代計(jì)算模型的計(jì)算效率，本文建立了改進(jìn)的車(chē)-橋耦合系統(tǒng)迭代計(jì)算模型(Improved iteration model for train-bridge coupled system, IIM)，如圖1(b)所示.通過(guò)建立包含輪軌接觸彈簧kh的車(chē)輛模型來(lái)提高車(chē)輛系統(tǒng)的迭代穩(wěn)定性.

相對(duì)于傳統(tǒng)車(chē)-橋耦合系統(tǒng)迭代計(jì)算模型，圖1(b)所示改進(jìn)模型的輪對(duì)質(zhì)量塊動(dòng)力平衡方程為：

kh(ut+uir)

(4)

改進(jìn)模型在時(shí)間步t上第k次和第k+1次迭代之間的直接迭代格式為：

(5)

(6)

(7)

1.1 譜半徑分析

對(duì)于車(chē)-橋耦合迭代計(jì)算模型，可以通過(guò)建立耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程前后迭代步之間的遞推關(guān)系，根據(jù)迭代矩陣譜半徑的大小來(lái)判斷迭代計(jì)算穩(wěn)定性[10].以Newmark-β法數(shù)值積分格式為例，根據(jù)式(5)～(7)可建立改進(jìn)模型在t時(shí)刻上的迭代計(jì)算格式如下：

Xk+1=MXk+f(t)

(8)

式中:

(9)

上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置，M為迭代矩陣，其非零元素為：

(10)

其中，

λv=mv+qcp+nkp;λt=mt+qct+nkt;

λw=mw+qcp+nkp+nkh;

λp=qcp+nkp;n=βΔt2;q=γΔt

(11)

常數(shù)項(xiàng)f(t)為上一時(shí)間步系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、軌道不平順以及車(chē)輛重力的函數(shù)，因與收斂性無(wú)關(guān)，無(wú)需給出具體形式.

通過(guò)求解迭代矩陣M的特征值多項(xiàng)式，得相應(yīng)的譜半徑為：

(12)

其中，

(13)

通過(guò)與上述類(lèi)似的分析過(guò)程，可得傳統(tǒng)模型的迭代矩陣譜半徑如下：

(14)

其中，

(15)

根據(jù)一般高速列車(chē)的車(chē)輛參數(shù)，可以近似假定圖1所示的簡(jiǎn)化模型系統(tǒng)參數(shù)為：mv=6 800kg,mw= 1 200kg,mt=36kg,kp=1.04×106N/m,cp=4.0×104N·s/m,kt=1.6×108N/m,ct=5.2×106N·s/m,kh=1.35×109N/m.根據(jù)式(12)和式(14)可繪出如圖2所示的改進(jìn)模型和傳統(tǒng)模型的迭代矩陣譜半徑隨積分步長(zhǎng)的變化規(guī)律.

從圖2中可以看出，改進(jìn)模型和傳統(tǒng)模型的迭代矩陣譜半徑隨積分步長(zhǎng)的變化規(guī)律具有完全不同的變化趨勢(shì).傳統(tǒng)模型的譜半徑隨著積分步長(zhǎng)的增大呈開(kāi)口向上的拋物線形遞增；改進(jìn)模型的譜半徑隨積分步長(zhǎng)的增大以較為緩慢的趨勢(shì)遞增，且相同積分步長(zhǎng)下改進(jìn)模型的譜半徑均小于傳統(tǒng)模型.

積分步長(zhǎng)/(10-3·s)圖2 改進(jìn)模型和傳統(tǒng)模型譜半徑隨積分步長(zhǎng)變化規(guī)律Fig.2 The change rule of the spectral radiusof the improved model and the traditionalmodel with the integral step

1.2 線性赫茲接觸剛度

針對(duì)線性赫茲接觸剛度系數(shù)kh，目前主要有兩種取值方法，分別是切線斜率法[14]和割線斜率法[15].

1.2.1 切線斜率法

切線斜率法是指過(guò)非線性赫茲接觸剛度曲線中靜態(tài)輪軌力P0對(duì)應(yīng)的A0點(diǎn)作切線，切線的斜率即為kh的取值，如圖3虛線所示.

輪軌壓縮量/mm圖3 非線性和線性赫茲接觸曲線Fig.3 Nonlinear and linear Hertz contact curve

根據(jù)非線性赫茲接觸理論，輪軌豎向作用力P(t)與輪軌彈性壓縮量δZ(t)之間存在如下關(guān)系：

(16)

式中G為輪軌接觸常數(shù)(m/N2/3).

根據(jù)式(16)，可以求得A0點(diǎn)切線的斜率，即

(17)

其中δZ0(t)是靜態(tài)輪軌力P0對(duì)應(yīng)的輪軌靜壓縮量.

1.2.2 割線斜率法

割線斜率法是指取非線性赫茲接觸曲線中靜態(tài)輪軌力P0對(duì)應(yīng)的A0點(diǎn)和輪軌力變化范圍常見(jiàn)最大值P1對(duì)應(yīng)的A1點(diǎn)的連線的斜率作為kh的取值，如圖3點(diǎn)畫(huà)線所示.根據(jù)A0點(diǎn)的坐標(biāo)(GP02-3，P0)和A1點(diǎn)的坐標(biāo)(GP12-3，P1)，可得A0點(diǎn)和A1點(diǎn)連線的斜率為

(18)

2 車(chē)-橋豎向耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析

2．1 基于IIM的車(chē)輛模型

基于IIM的車(chē)輛模型如圖4所示，每節(jié)車(chē)輛由1個(gè)車(chē)體、2個(gè)轉(zhuǎn)向架和4個(gè)輪對(duì)組成，且均視為剛體，轉(zhuǎn)向架和輪對(duì)之間通過(guò)一系懸掛連接，車(chē)體和轉(zhuǎn)向架之間通過(guò)二系懸掛連接，懸掛系統(tǒng)均視為線性系統(tǒng).每節(jié)車(chē)共10個(gè)自由度，包括車(chē)體、轉(zhuǎn)向架的沉浮(Zc,Zt1,Zt2)和點(diǎn)頭(βc,βt1,βt2)以及輪對(duì)的沉浮(Zw1,Zw2,Zw3,Zw4).輪軌之間通過(guò)線性赫茲接觸彈簧kh聯(lián)結(jié).

圖4 基于IIM的車(chē)輛模型Fig.4 Vehicle model based on IIM

采用D’Alembert原理，可建立基于平衡位置的車(chē)輛運(yùn)動(dòng)方程如下：

(19)

式中:MV,CV,KV分別為車(chē)輛的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；UV和FV分別為車(chē)輛的位移向量和力向量.UV,MV,KV,FV的具體表達(dá)式如下：

(20)

(21)

(22)

其中，

(23)

式中，Zri(t)和ri(t)分別為第i(i=1～4)個(gè)輪對(duì)輪軌接觸處的鋼軌豎向位移和軌道不平順附加位移.

由于除輪軌接觸彈簧kh外，車(chē)輛的阻尼元件和彈簧元件布置方式相同，因此CV的表達(dá)式只需去掉KV中的kh，然后將K改為C即可.通常，列車(chē)由多節(jié)車(chē)輛編組形成，由于各節(jié)車(chē)輛相互獨(dú)立，可采用“對(duì)號(hào)入座”法則建立列車(chē)的運(yùn)動(dòng)方程.

(24)

2．2 軌道-橋梁模型

軌道橋梁系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可表示如下：

(25)

式中:MB,CB,KB分別為軌道橋梁系統(tǒng)的總體質(zhì)量矩陣、總體阻尼矩陣和總體剛度矩陣；UB和FB分別為軌道橋梁系統(tǒng)的位移向量和力向量.由于本文僅考慮車(chē)輛引起的車(chē)-橋耦合振動(dòng)，因此外荷載項(xiàng)FB(t)中僅包含車(chē)輛對(duì)軌道的作用力.其中，車(chē)輛各輪對(duì)作用于軌道的輪軌力可表示為：

(26)

2．3 基于虛擬激勵(lì)法的車(chē)-橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析

受軌道高低不平順隨機(jī)激勵(lì)的車(chē)-橋豎向耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可以寫(xiě)成如下形式[4]：

F1(t)+F2(t)

(27)

式中:M,K,C為耦合系統(tǒng)整體質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣；F1(t)為車(chē)輛自重引起的確定性激勵(lì)；F2(t)為軌道高低不平順引起的非平穩(wěn)隨機(jī)性激勵(lì).

實(shí)際線路上存在的軌道不平順是由不同波長(zhǎng)、不同相位和不同幅值的隨機(jī)不平順波疊加而成的.它是一個(gè)近似各態(tài)歷經(jīng)的弱平穩(wěn)過(guò)程，而對(duì)局部不平順來(lái)說(shuō)，又是一個(gè)非平穩(wěn)過(guò)程.因此，對(duì)于隨機(jī)性激勵(lì)F2(t)，可將其表示為如下形式：

F2(t)=Γ(t)G(t)x(t)

(28)

(29)

(30)

其中，Γ(t)為作用力指示向量，G(t)為慢變均勻調(diào)制函數(shù)矩陣，x(t)為軌道不平順引起的多點(diǎn)異相位平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)向量，n為列車(chē)輪對(duì)總數(shù).

由于假設(shè)軌道不平順為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，因此系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)均值μu是由確定性激勵(lì)F1(t)引起的[4]，而隨機(jī)性激勵(lì)F2(t)可以構(gòu)造為均勻調(diào)制多點(diǎn)異相位非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)的虛擬激勵(lì)：

(31)

(32)

(33)

從而可快速獲得系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的功率譜密度矩陣：

(34)

其中，

(35)

式中:h(t-τ,τ)為脈沖響應(yīng)函數(shù)，Sxx(ω)為x(t)的自譜密度矩陣.最后，根據(jù)隨機(jī)響應(yīng)的功率譜密度矩陣，可通過(guò)下式求得系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的均方根：

(36)

其中，Δω為頻率增量.

考慮由車(chē)輪間距所產(chǎn)生的輪軌間隨機(jī)激勵(lì)的相位差，第j(j=1～n)輪對(duì)由軌道不平順引起的虛擬軌道不平順rj可以表示為：

(37)

(38)

式中，ω為軌道不平順的時(shí)間圓頻率，單位rad/s；λ為軌道不平順函數(shù)諧波分量的波長(zhǎng)，單位m.

因此，第j輪對(duì)所受虛擬輪軌力為：

(39)

相應(yīng)的，第j輪對(duì)作用于鋼軌的虛擬輪軌力為：

(40)

工程設(shè)計(jì)中，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的最大值往往是主要關(guān)注對(duì)象，本文采用3σ法則(即μu±3σu)確定車(chē)-橋耦合系統(tǒng)中橋梁和車(chē)輛隨機(jī)響應(yīng)的上下限值.

3 計(jì)算模型及驗(yàn)證

3.1 基本參數(shù)

以我國(guó)高速線路總里程中比例最大的32m預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支箱梁橋?yàn)檠芯繉?duì)象，建立如圖5所示的軌道-橋梁子系統(tǒng)有限元模型.橋梁模型按5跨簡(jiǎn)支梁建立，墩高為18m，主梁和橋墩截面如圖6所示.

圖5 軌道橋梁模型Fig.5 Track-bridge model

圖6 橋梁截面示意圖(單位：mm)Fig.6 Schematic diagram of bridge (unit:mm)

有限元模型中，主梁和橋墩均采用空間梁?jiǎn)卧x散；鋼軌采用空間梁?jiǎn)卧x散，并通過(guò)剛臂考慮線路偏心[16].鋼軌節(jié)點(diǎn)和剛臂節(jié)點(diǎn)之間通過(guò)彈簧-阻尼器聯(lián)結(jié)，考慮軌下扣件和墊板的彈性支撐作用，豎向剛度和阻尼分別為4.76×107N/m和7.5×104N·s/m，橫向剛度和阻尼分別為2.5×107N/m和6×104N·s/m，橋面二期恒載取160kN/m.全橋節(jié)點(diǎn)數(shù)共計(jì)2 540個(gè)，單元數(shù)共計(jì)6 834個(gè).

選取我國(guó)CRH2高速列車(chē)按8車(chē)編組形成車(chē)輛系統(tǒng)，具體車(chē)輛參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[17].軌道不平順譜函數(shù)則根據(jù)我國(guó)規(guī)范《高速鐵路無(wú)砟軌道不平順譜》(TB/T33522014)的規(guī)定，采用分段擬合方式給出了適用于我國(guó)線路速度300～350km/h的高速鐵路無(wú)砟軌道不平順譜，具體擬合公式如下：

(41)

式中：f為空間頻率；A,k為擬合公式系數(shù).本文計(jì)算中取軌道高低不平順作為輪軌豎向激擾，其分段擬合系數(shù)如表1所示.

表1 軌道高低不平順功率譜擬合公式系數(shù)Tab.1 Fitting formula coefficient of track vertical profile irregularity PSD

圖7(a)和(b)分別給出了軌道高低不平順功率譜密度曲線和采用三角級(jí)數(shù)法[3]生成的不平順樣本曲線.同時(shí)，為模擬列車(chē)進(jìn)入橋梁之前的初始振動(dòng)狀態(tài)，計(jì)算時(shí)假定列車(chē)從距橋頭40 m處開(kāi)始勻速運(yùn)動(dòng).

空間頻率/m-1(a) 功率譜密度曲線

里程/km (b) 樣本曲線圖7 軌道高低不平順Fig.7 Track vertical profile irregularity

3.2 改進(jìn)模型的計(jì)算精度和效率

根據(jù)車(chē)-橋耦合振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法原理可知，單次計(jì)算的精度和效率是整個(gè)隨機(jī)計(jì)算過(guò)程的基礎(chǔ).為驗(yàn)證IIM的計(jì)算結(jié)果和效率，本文采用如表2所示的4種不同的輪軌接觸模型開(kāi)展車(chē)-線-橋豎向耦合振動(dòng)分析.其中，基于切線斜率法的動(dòng)車(chē)和拖車(chē)的

輪軌接觸剛度分別為1.44×109N/m和1.38×109N/m；基于割線斜率法的動(dòng)車(chē)和拖車(chē)的輪軌接觸剛度分別為1.53×109N/m和1.47×109N/m，即取P1=1.45P0[18].車(chē)速設(shè)為300 km/h，軌道不平順樣本值如圖7(b)所示.同時(shí)，本文所有計(jì)算均在64位8線程Intel Core i74790K(4.00 GHz,16 G內(nèi)存)計(jì)算機(jī)上完成.

表3給出了不同輪軌接觸模型計(jì)算得到的車(chē)-線-橋系統(tǒng)豎向響應(yīng)最大值及計(jì)算效率對(duì)比.從表3中可以看出，4種模型計(jì)算結(jié)果均吻合較好，其中鋼軌加速度的誤差為8.6%，表明切線斜率法和割線斜率法得到的線性化輪軌接觸剛度具有較高的計(jì)算精度.另一方面，由于通過(guò)切線斜率法得到的輪軌接觸剛度小于割線斜率法，因此CTH模型和NTH模型計(jì)算的鋼軌振動(dòng)加速度均小于CSH模型和NSH模型.和傳統(tǒng)迭代計(jì)算模型相比，改進(jìn)的迭代計(jì)算模型具有更高的計(jì)算效率，可以使計(jì)算時(shí)間縮短5倍左右.

表2 輪軌接觸模型Tab.2 Wheelrail contact model

表3 不同輪軌接觸模型下車(chē)-線-橋系統(tǒng)豎向響應(yīng)最大值及計(jì)算效率對(duì)比Tab.3 Comparing maximum value and computation efficiency of train-uack-bridge system vertical response with different wheelrail contact models

3．3 軌道結(jié)構(gòu)對(duì)車(chē)-橋系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)影響

在車(chē)-橋耦合振動(dòng)研究中，軌道結(jié)構(gòu)為上部車(chē)輛提供支撐和彈性減振作用.為分析軌道結(jié)構(gòu)對(duì)車(chē)-橋耦合系統(tǒng)豎向隨機(jī)振動(dòng)的影響，本文建立了如表4所示的兩種車(chē)-橋耦合系統(tǒng)計(jì)算模型，并采用虛擬激勵(lì)法計(jì)算兩種模型在相同計(jì)算條件下的隨機(jī)響應(yīng).當(dāng)不考慮軌道結(jié)構(gòu)時(shí)，將軌道結(jié)構(gòu)以參振質(zhì)量形式在橋梁自重中加以考慮，其余計(jì)算條件不變.

表4 車(chē)-橋耦合系統(tǒng)計(jì)算模型Tab.4 Calculation model of train-bridge coupled system

表5給出了兩種計(jì)算模型下橋梁和車(chē)輛隨機(jī)響應(yīng)最大值.從表5可以看出，軌道結(jié)構(gòu)對(duì)橋梁和車(chē)輛隨機(jī)響應(yīng)影響較為顯著.當(dāng)考慮軌道結(jié)構(gòu)時(shí)，由于軌道結(jié)構(gòu)剛度的影響，中跨橋梁跨中豎向位移均值、均方根和限值均比不考慮軌道結(jié)構(gòu)的模型2分別減小42.9%,9.5%和41.8%；同時(shí)，在列車(chē)動(dòng)力荷載作用下，軌道結(jié)構(gòu)自身的變形會(huì)增加軌面的動(dòng)態(tài)不平順度，加劇車(chē)輛對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力作用，從而使中跨橋梁跨中豎向加速度均值、均方根和限值比模型2分別增大12.2%,24.1%和17.4%.相比動(dòng)車(chē)，拖車(chē)車(chē)體豎向加速度均值和限值受軌道結(jié)構(gòu)影響較顯著，模型1比模型2分別減小62.5%和5.4%；均方根值則變化不大.因此，為得到更為合理的仿真結(jié)果，車(chē)-橋耦合振動(dòng)模型中應(yīng)該考慮軌道結(jié)構(gòu)的影響.

表5 兩種計(jì)算模型下橋梁和車(chē)輛豎向隨機(jī)響應(yīng)最大值Tab.5 Maximum value of vertical random response of bridge and train under two types of calculation models

4 車(chē)-橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分析

4.1 振動(dòng)響應(yīng)特征分析

基于IIM和切線斜率法的輪軌線性赫茲接觸，本文開(kāi)展了列車(chē)-軌道-簡(jiǎn)支梁橋豎向隨機(jī)振動(dòng)分析.車(chē)速為300 km/h，不平順空間頻率范圍取0.005～0.5(1/m)，并離散為100個(gè)頻點(diǎn).圖8～圖10分別給出了中跨橋梁跨中豎向位移、豎向加速度和動(dòng)車(chē)車(chē)體豎向加速度的均值、均方根和上、下限值時(shí)程曲線.

從圖8可以看出，中跨橋梁跨中豎向位移均值和均方根最大值分別為0.8 mm和0.001 mm左右，兩者相差近80倍；同時(shí)，由3σ法則得到的橋梁上、下限值十分接近.由此說(shuō)明，橋梁豎向位移主要受車(chē)輛自重控制，軌道不平順對(duì)其影響很小.從圖9可以看出，中跨跨中橋梁豎向加速度均值和均方根最大值分別在0.45 m/s2和0.12 m/s2左右，兩者處于同一數(shù)量級(jí)，前者為后者的4倍.表明在軌道不平順的影響下，橋梁豎向加速度離散度大，其受軌道不平順的影響顯著，改善線路條件能有效減低橋梁振動(dòng)加速度.

從圖10可以看出，動(dòng)車(chē)車(chē)體豎向加速度均值和均方根最大值分別在0.03 m/s2和0.037 m/s2左右，后者略大于前者.由此可知，動(dòng)車(chē)車(chē)體豎向加速度響應(yīng)受軌道不平順影響顯著，改善線路條件能有效提高列車(chē)的乘車(chē)舒適性.拖車(chē)隨機(jī)響應(yīng)與動(dòng)車(chē)類(lèi)似，文中未給出計(jì)算結(jié)果.

圖8 中跨跨中橋梁豎向位移隨機(jī)響應(yīng)Fig.8 Random response of vertical displacement of middle span midpoint

圖9 中跨跨中橋梁豎向加速度隨機(jī)響應(yīng)Fig.9 Random response of vertical acceleration of middle span midpoint

圖11和圖12分別給出了中跨跨中橋梁和動(dòng)車(chē)車(chē)體豎向加速度功率譜.從圖11可以看出，由列車(chē)重力荷載引起的確定性響應(yīng)功率譜的主要頻率小于7 Hz，而軌道不平順引起的隨機(jī)性功率譜主要分布在25～40 Hz之間.總體來(lái)說(shuō)，列車(chē)重力對(duì)橋梁豎向振動(dòng)起主要作用，但7 Hz以上的高頻振動(dòng)還主要是由軌道不平順引起的.

圖10 動(dòng)車(chē)車(chē)體豎向加速度隨機(jī)響應(yīng)Fig.10 Random response of vertical acceleration of trailer car body

頻率/Hz (a) 確定性響應(yīng)

頻率/Hz (b) 隨機(jī)性響應(yīng)圖11 中跨橋梁跨中豎向加速度功率譜Fig.11 PSD of vertical acceleration of bridge middle span midpoint

頻率/Hz (a) 確定性響應(yīng)

頻率/Hz (b) 隨機(jī)性響應(yīng)圖12 動(dòng)車(chē)車(chē)體豎向加速度功率譜Fig.12 PSD of vertical acceleration of locomotive car body

從圖12可以看出，動(dòng)車(chē)車(chē)體豎向加速度的確定性功率譜和隨機(jī)性功率譜均主要分布在0～9 Hz的低頻范圍，這是由于車(chē)輛懸掛系統(tǒng)的減振作用，高頻輪軌振動(dòng)被大大削弱.另外，車(chē)體隨機(jī)響應(yīng)功率譜隨列車(chē)運(yùn)行時(shí)間波動(dòng)并不顯著，說(shuō)明下部橋梁變形對(duì)車(chē)體振動(dòng)影響不大，車(chē)體振動(dòng)是一個(gè)近乎平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程.

4．2 車(chē)速影響分析

為研究車(chē)-橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)隨車(chē)速的變化規(guī)律，結(jié)合線路實(shí)際運(yùn)營(yíng)情況，本文選取了9種不同的車(chē)速開(kāi)展車(chē)-橋隨機(jī)振動(dòng)分析，其中車(chē)速?gòu)?00 km/h～400 km/h，按25 km/h遞增.表6給出了不同車(chē)速下車(chē)輛和橋梁隨機(jī)響應(yīng)最大值.從表中可以看出：

表6 不同車(chē)速下車(chē)輛和橋梁豎向隨機(jī)響應(yīng)最大值Tab.6 Maximum value of random response of train and bridge under different speeds

1)橋梁和車(chē)輛隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)的均方根隨車(chē)速的增大而增加，表明車(chē)速越高，由軌道不平順引起的耦合系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)離散度越大，以往根據(jù)單樣本計(jì)算的車(chē)-橋耦合振動(dòng)響應(yīng)的誤差越大.

2)不同車(chē)速下，橋梁跨中豎向隨機(jī)振動(dòng)位移最大值為0.85 mm，滿足我國(guó)《鐵路橋涵設(shè)計(jì)基本規(guī)范》(TB 10002.199)中關(guān)于預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支梁跨中豎向撓度小于L/800的規(guī)定.跨中橋梁豎向隨機(jī)振動(dòng)加速度最大值為0.98m/s2，滿足我國(guó)《高速鐵路設(shè)計(jì)規(guī)范》中關(guān)于無(wú)砟軌道橋梁橋面豎向振動(dòng)加速度小于5 m/s2的規(guī)定.動(dòng)車(chē)和拖車(chē)車(chē)體豎向隨機(jī)振動(dòng)加速度最大值分別為0.168 m/s2和0.202 m/s2，滿足我國(guó)《高速鐵路設(shè)計(jì)規(guī)范》中關(guān)于橋上列車(chē)車(chē)體豎向振動(dòng)加速度半峰值小于1.3 m/s2的要求.同時(shí)，不同車(chē)速下耦合系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的最大值遠(yuǎn)低于規(guī)范要求，表明我國(guó)現(xiàn)有高速鐵路線路簡(jiǎn)支橋梁安全富余度較大，線路平順等級(jí)較高.

5 結(jié) 論

通過(guò)建立基于IIM和虛擬激勵(lì)法的列車(chē)-軌道-橋梁耦合系統(tǒng)豎向隨機(jī)振動(dòng)分析模型，開(kāi)展了高速鐵路列車(chē)-簡(jiǎn)支梁橋豎向隨機(jī)振動(dòng)研究，主要得到如下結(jié)論：

1)改進(jìn)的車(chē)-橋耦合迭代計(jì)算模型在保持與傳統(tǒng)模型相同精度計(jì)算結(jié)果的前提下，能使計(jì)算效率提高5倍左右.

2)在車(chē)-橋耦合系統(tǒng)中，軌道結(jié)構(gòu)的彈性作用對(duì)橋梁和車(chē)輛動(dòng)力響應(yīng)具有顯著影響，建立合理的列車(chē)-軌道-橋梁耦合系統(tǒng)模型能更加準(zhǔn)確地計(jì)算車(chē)輛及橋梁系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng).

3)由于軌道隨機(jī)不平順的激勵(lì)作用，采用基于虛擬激勵(lì)法的車(chē)-橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析模型能更加精確和高效地開(kāi)展車(chē)-橋隨機(jī)振動(dòng)分析.

4)高速鐵路簡(jiǎn)支梁橋豎向位移主要受列車(chē)自重控制，軌道不平順對(duì)其影響很?。粯蛄汉蛙?chē)輛豎向加速度受軌道不平順影響顯著，改善線路條件能有效提高列車(chē)的乘車(chē)舒適性；同時(shí)，車(chē)速越高，橋梁和車(chē)輛隨機(jī)響應(yīng)的均方根越大，由軌道不平順引起的耦合系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)離散度越大.

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Study on Vertical Random Vibration of Train-bridge Coupled System Based on Improved Iteration Model

ZHU Zhi-hui1,2?, WANG Li-dong1, GONG Wei1, YU Zhi-wu1,2, CAI Cheng-biao3

(1. School of Civil Engineering, Central South Univ, Changsha, Hunan 410075, China；2. National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, Central South Univ, Changsha, Hunan 410075, China；3. State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong Univ, Chengdu, Sichuan 610031, China)

By using the improved iteration model for train-bridge coupled system, the analysis model of train-track bridge vertical random vibration based on Pseudo Excitation Method (PEM) was established. PEM was applied to transform the random track irregularities into the superposition of a series of vertical harmonic irregularities, while the iteration calculation was applied to solve the equation of the train-bridge coupled system. Taking a five-span simply-supported beam bridge passed through by a CRH2 high-speed train as numerical example, the accuracy and efficiency of the improved iteration model for train-bridge coupled system was verified. The results show that the calculation efficiency of the improved model is about 5 times that of the conventional model under the same calculation accuracy. The mean value and the root mean square (RMS) of the vertical random vibration response for train-track-simply supported beam bridge, which are caused by deterministic load and track irregularities, respectively, were calculated. It can be seen that the vertical displacement of the bridge is mainly controlled by the weight of the train, but the excitation of track irregularity has little effect on it. The vertical acceleration of the bridge and car bodies are significantly influenced by track irregularities, and the improvement of the track condition can effectively improve the riding comfort. The RMS of the train-bridge coupled system random vibration and the discrete of the vibration caused by track irregularities increase with the acceleration of train speed.

train-bridge coupled vibration; iteration model; Hertz contact; pseudo excitation method; simply supported beam bridge

1674-2974(2016)11-0120-11

2015-12-13

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378511, 51678576), National Natural Science Foundation of China(51378511, 51678576); 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題(TPL1601)

朱志輝(1979-)，男，河南潢川人，中南大學(xué)副教授，工學(xué)博士?通訊聯(lián)系人，E-mail:zzhh0703@163.com

U213

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