李家才,韓錕,鮑天哲
(中南大學 交通運輸工程學院,湖南 長沙 410075)
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基于Bloch球面坐標的改進量子遺傳算法及其應用
李家才,韓錕,鮑天哲
(中南大學 交通運輸工程學院,湖南 長沙 410075)
為解決量子遺傳算法(QGA)用于連續(xù)多峰函數(shù)優(yōu)化易陷入局部極值的問題, 提出一種基于Bloch球面坐標的改進量子遺傳算法(GLBQGA):該算法通過引入新的全局-局部變異算子,在保證全局特性基礎上加入局部搜索機制,使算法在搜索到全局最優(yōu)近似解之后能通過局部鄰域搜索收斂到全局最優(yōu)精確解;算法還進一步優(yōu)化量子轉(zhuǎn)角取值方案,在保證搜索空間不變的同時提高搜索效率。在機車二系支承載荷均勻性分配優(yōu)化調(diào)整及短時交通流多步預測中的應用表明,GLBQGA有效克服了QGA早熟收斂的問題,在不顯著增加搜索時間的前提下提高了求解精度。
Bloch球面坐標;量子遺傳算法;調(diào)簧;交通流預測
量子遺傳算法((Quantum Genetic Algorithm,QGA)是一種用量子相位表示種群元素的概率優(yōu)化算法[1],它將量子的態(tài)矢量表達引入遺傳編碼,使得一條染色體可以表達多個態(tài)的疊加,并利用量子邏輯門實現(xiàn)染色體的演化[2]。由于單個染色體多樣性特征更好[3],該算法對種群規(guī)模的需求明顯降低[4],算法具有種群規(guī)模小、收斂速度快、全局搜索能力強[5-6]等優(yōu)點,近年來成為優(yōu)化領域的研究熱點。但測試發(fā)現(xiàn)QGA用于連續(xù)函數(shù)優(yōu)化時易出現(xiàn)早熟收斂,且易陷入局部極值[7],為克服這一缺陷,學者們提出了大量的改進量子遺傳算法,其中基于Bloch球面坐標的量子遺傳算法(Bloch quantum genetic algorithm,BQGA)[8]因使用三鏈基因編碼且沒有選擇、交叉和復制運算,獲得了搜索能力和優(yōu)化效率的綜合提高。但BQGA采用量子位沿Bloch球面較大幅度的旋轉(zhuǎn)作為變異操作,有可能使算法越過全局最優(yōu)解或產(chǎn)生振蕩,且BQGA在尋優(yōu)過程中搜索整個Bloch球面[6],無疑降低了搜索效率。因此,本文提出一種引入新的全局-局部變異算子的Bloch球面坐標量子遺傳算法(Global-Local Bloch quantum genetic algorithm, GLBQGA),以期改善BQGA算法的魯棒性、加快算法收斂速度,且提高算法求解精度。將GLBQGA算法應用于機車二系支承載荷均勻性分配優(yōu)化調(diào)整及短時交通流超前多步預測,應用結(jié)果表明了GLBQGA算法的有效性。
GLBQGA在文獻[8]提出的BQGA算法基礎上進行以下改進:
1)壓縮轉(zhuǎn)角參數(shù)取值范圍:將量子比特角度參數(shù)φ的取值區(qū)間由(0,2π)縮小到(0,3π/2),可在保證搜索空間不變的同時提高搜索效率。
2)引入全局-局部變異算子:在變異操作中引入全局-局部變異算子取代量子非門,通過改變算子的全局-局部變異權重系數(shù)控制搜索過程中全局變異和局部變異的比重,在算法前期以全局變異為主,使量子位沿Bloch球面大幅度旋轉(zhuǎn),充分利用整個解空間的信息進行全局搜索,克服早熟;而在算法后期以局部變異為主,變異操作僅在個體所在鄰域內(nèi)進行,充分利用已在最優(yōu)解附近分布個體所隱含的局部信息,提高算法的局部搜索能力,以找到全局最優(yōu)精確解。
3)引入自適應操作:算法搜索過程中自適應改變轉(zhuǎn)角步長和變異率,以改善收斂特性。
2.1 編碼及解空間變換
在GLBQGA里,用量子位的Bloch球面坐標作為染色體編碼。
在圖1所示的Bloch球面坐標中,任何量子位都與球面上的一點對應[6],而通過量子位的角度參數(shù)φ和θ可以確定球面上的任一點,因此量子位可用球面坐標表示為:
(1)
圖1 量子位的Bloch 球面表示Fig.1 Bloch sphere representation of a qubit
將pi定義為群體里的第i條染色體,其編碼如圖2所示:
圖2 染色體編碼Fig.2 Chromosome coding
圖2中,i=1,2,…Nind,Nind為種群規(guī)模,n為量子位數(shù)目。將量子位的三個坐標看作三條并列的基因鏈[7],每條基因鏈代表一組優(yōu)化解,則每條染色體含有以下三組優(yōu)化解:
(2)
采用線性變換實現(xiàn)定義在單位空間In=[-1,1]n內(nèi)的染色體向定義在優(yōu)化問題解空間內(nèi)的優(yōu)化解之間的變換,公式為:
(3)
式中,j=1,2,…n;bj和aj為優(yōu)化問題解空間的最大值和最小值。
2.2 搜索區(qū)域定義
傳統(tǒng)Bloch球面量子遺傳算法通常會對整個球面進行搜索[8],即轉(zhuǎn)角參數(shù)φij和θij的取值范圍分別為(0,2π)和(0,π)。這樣雖然擴充了最優(yōu)解的個數(shù),但也相應擴大了算法的搜索范圍。文獻[9]通過對連續(xù)問題可行解與Bloch球面對應關系的研究發(fā)現(xiàn),合理設置轉(zhuǎn)角參數(shù)的取值范圍可在保證實際搜索空間不變的前提下減少搜索時間。事實上,由圖3可知,當轉(zhuǎn)角φij的取值范圍壓縮到(0,3π/2)時,sinφ與cosφ仍然覆蓋(-1,1)的解空間,此時量子比特同樣可以遍歷整個Bloch球面?;诖耍疚膶ⅵ読j和θij的取值范圍重新定義為(0,3π/2)和(0,π),在保障搜索空間的同時進一步提高算法效率。
圖3 φij和θij的取值范圍Fig.3 Reasonable ranges of parameters φijandθij
2.3 最優(yōu)染色體選擇
每條染色體有三個基因鏈,對應三個目標函數(shù)值,應以最好的基因鏈代表該染色體,故按照式(4)確定該染色體的適應度:
(4)
選擇種群中適應度值最大的染色體為當代最優(yōu)染色體,其三個基因鏈中目標函數(shù)值最小者為當代最優(yōu)基因鏈。
2.4 量子染色體的更新
區(qū)別于傳統(tǒng)遺傳算法,BQGA中,量子染色體的更新一般是通過旋轉(zhuǎn)門改變量子相位來實現(xiàn)的。它可以使當前每個染色體向當代最優(yōu)染色體靠近,并在逼近過程中產(chǎn)生更加優(yōu)良的個體,從而完成種群進化。文獻[9]提出了一種較為有效的量子旋轉(zhuǎn)門,與原量子相位相乘后可使φ和θ分別旋轉(zhuǎn)Δφ和Δθ,其形式為:
U=
(5)
關于轉(zhuǎn)角方向,文獻[9]也給出了相應的規(guī)則,可以通過當前染色體與最優(yōu)染色體量三個量子位坐標的代數(shù)運算進行判斷。對于轉(zhuǎn)角大小,本文采用轉(zhuǎn)角值隨迭代步長隨代數(shù)單調(diào)下降的調(diào)整策略,使之具有一定的自適應性,具體為:
(6)
其中φ0的取值范圍是(0.005π,0.1π);θ0=k0φ0,k0∈(0,1)。
2.5 全局-局部變異操作
傳統(tǒng)的量子遺傳算法常采用量子非門作為變異算子,依據(jù)變異概率隨機選擇每條染色體的若干量子位施加變異。該方法實際是使量子位沿Bloch球面進行較大幅度的旋轉(zhuǎn),在算法前期可充分利用整個解空間的信息,有利于克服早熟。但在算法迭代后期,特別是算法已收斂至全局最優(yōu)解附近時,這種量子位沿Bloch球面較大幅度旋轉(zhuǎn)的變異操作不能對搜索空間的細節(jié)進行局部搜索,可能使搜索越過全局最優(yōu)解,甚至使搜索過程在全局最優(yōu)解附近產(chǎn)生振蕩而不能找到全局最優(yōu)精確解。在這種情況下,局部搜索顯得格外重要,此時應充分利用個體所隱含的局部信息,提高算法的局部搜索能力,使算法收斂到全局最優(yōu)精確解。
基于此,借鑒蟻群算法中的局部搜索機制[10],本文構造了如下變異算子:
(7)
其中λ為全局-局部變異權重系數(shù),λ∈(0,1)。該變異算子具有如下特征:
1)算子兼具全局和局部搜索特征,全局搜索和局部搜索力度由權重系數(shù)λ控制,λ越大,越突出全局搜索,當λ取1時該算子退化為標準的量子非門變異操作;
2)可通過改變權重系數(shù)λ控制 GLBQGA搜索過程中全局變異和局部變異的比重:在算法前期,以全局變異為主,λ取接近1的較大值,使量子位沿Bloch球面大幅度旋轉(zhuǎn),充分利用整個解空間的信息進行全局搜索,克服早熟;而在算法后期以局部變異為主,λ取接近0的較小值,使變異操作僅在個體所在鄰域內(nèi)進行,充分利用已在最優(yōu)解附近分布個體所隱含的局部信息,提高算法的局部搜索能力,以避免算法振蕩,提高算法精度。
對于很多優(yōu)化問題,特別是單峰性比較明顯的目標函數(shù),迭代后期的種群常常集中分布在最優(yōu)解附近,局部搜索顯得格外重要。此時GLBQGA算法中的局部搜索策略更有助于找到目標函數(shù)的全局最優(yōu)精確解。
對應于之前采用的自適應策略,變異概率Pm的取值公式為:
(8)
其中變異參數(shù)Pm0∈(0.01,0.1)。
2.6 精英保留機制
同傳統(tǒng)遺傳算法一樣,精英保留機制可以使得種群不會退化,進而保證GLBQGA算法在有限迭代內(nèi)以全概率收斂,具體策略為:
1)每一代最差染色體由這一代的最優(yōu)染色體替代;
2)每一代最優(yōu)染色體與歷史最優(yōu)染色體比較,若好于后者則將其替換,否則被其替換。
2.7 算法流程
步驟1:初始化各參數(shù):設置種群規(guī)模Nind,迭代次數(shù)Gen,轉(zhuǎn)角步長參數(shù)φ0、k0、全局-局部變異的權重系數(shù)λ和變異概率Pm;
步驟2:生成初始種群,結(jié)合具體優(yōu)化問題利用式(3)進行解空間變換,依據(jù)式(4)計算各染色體適應度,并將其最優(yōu)染色體和最優(yōu)基因鏈作為歷史最優(yōu)染色體和基因鏈;
步驟3:利用式(6)中的量子旋轉(zhuǎn)門更新染色體,利用式(8)中的全局-局部變異算子完成變異,得到新種群;
步驟4:進行解空間變換,計算各染色體適應度;
步驟5:執(zhí)行精英保留機制;
步驟6:判斷迭代次數(shù)是否達到設定值,若是則結(jié)束迭代,輸出歷史最優(yōu)基因鏈在解空間的自變量值和目標函數(shù)值;若否則轉(zhuǎn)步驟3。
機車輪(軸)重分配的均勻性直接影響到機車牽引粘著、制動和動力學性能[11]。具有兩系懸掛結(jié)構的機車,其二系支承載荷分布狀態(tài)是影響機車輪軸重量分配的重要因素,將其視為剛性車體與多個支承彈簧構成的超靜定空間力學系統(tǒng),通過優(yōu)化算法對二系支承載荷進行分配調(diào)整是改善輪(軸)重分配均勻性的有效途徑。
3.1 機車二系支承載荷優(yōu)化分配的數(shù)學模型
針對機車二系支承載荷調(diào)整優(yōu)化問題,文獻[11-14]構建了相應的優(yōu)化模型,比較常用的形式為:
(9)
3.2 GLBQGA算法的應用及結(jié)果
二系支承載荷調(diào)整優(yōu)化問題的編碼及解空間變換公式為:
(10)
其中j=1,2,…,n,n表示量子位數(shù),等于機車二系支承點的數(shù)量。
運用本文提出的GLBQGA算法對國產(chǎn)HXD1B型電力機車車體實車數(shù)據(jù)進行仿真調(diào)簧實驗,算法參數(shù)選擇如下:設置種群規(guī)模Nind=20,迭代次數(shù)Gen=200,轉(zhuǎn)角步長φ0=0.1π,參數(shù)k0=0.5,全局-局部變異的權重系數(shù)在前120代取λ=1,后80代取λ=0.1,變異概率Pm=0.05,最大加墊量ΔHmax=7 mm。仿真結(jié)果如表1所示。
表1 HXD1B型機車初始二系載荷分布及優(yōu)化結(jié)果
Table 1 Initial distribution and optimization results of secondary spring load of locomotive HXD1B
支承點編號123456初始載荷/kN左69.5269.7169.3968.9170.4269.64右70.6370.8370.0970.3268.6167.69初始均方差/kN0.9122優(yōu)化后載荷/kN左70.0169.9969.9669.2369.2169.64右70.1270.0970.0669.3369.6169.29加墊量/mm左4.113.744.263.771.082.38右2.502.073.351.644.546.16優(yōu)化后的均方差/kN0.4116
由表1可知,利用GLBQGA算法求解出的最優(yōu)加墊序列對二系支承載荷進行數(shù)值仿真,載荷均方差由初始的0.912 2 kN下降至0.411 6 kN。通過機車車體稱重調(diào)簧試驗臺[14]測試可知,該加墊序列顯著優(yōu)化了二系載荷分布。
為進一步驗證該算法在全局搜索上的優(yōu)勢,將GLBQGA算法與文獻[11]提出的標準遺傳算法進行比較,后者的有效性在機車二系支承載荷調(diào)整中已得到廣泛驗證[11-14]。由于GLBQGA中每個染色體含有三條基因鏈,而每條基因鏈實際相當于標準遺傳算法中的一個個體,因此后者的種群規(guī)模為60,迭代次數(shù)為200,其余參數(shù)的取值保持不變。兩種算法在200次迭代中的收斂曲線如圖4所示。
圖4 GA與GLBQGA的迭代曲線Fig.4 Iterative curves of GA and GLBQGA
由圖4可知:
1)標準遺傳算法在30代左右即完成收斂,而GLBQGA算法在50代以后仍有顯著的進化,在一定程度上克服了遺傳算法早熟的弱點;
2)相同種群規(guī)模下,后者的搜索結(jié)果明顯好于前者,且通過算法分析可知時間復雜度基本相似,說明GLBQGA算法有著更為強大的搜索全局最優(yōu)精確解的能力,而這種求解精度的提高與算法迭代后期的局部搜索機制密切相關。
交通誘導可以有效地改善城市交通擁擠,而實現(xiàn)城市交通誘導關鍵技術是對道路交通狀況的實時預測。從動態(tài)規(guī)劃的角度來說,多步預測相比于單步預測更為重要,但預測難度也更高?,F(xiàn)有的多步預測模型主要是基于循環(huán)一步外推法實現(xiàn)多步預測[16],即在單步預測基礎上,將上一步預測的結(jié)果作為下一步預測的初始條件輸入,通過多次遞推過程實現(xiàn)對特定步數(shù)的預測。然而每一步的預測值中均攜帶有誤差,遞推過程不可避免地會產(chǎn)生誤差放大效應,特別是一步預測已有較大誤差時,遞推后的多步預測可能會出現(xiàn)嚴重偏差。
考慮到短時交通流是一種前后關聯(lián)性較強的隨機過程,提出了一種基于GLBQGA算法的多步預測模型。該模型利用GLBQGA算法良好的學習能力,構建了當前時刻流量Xt與之前幾步時刻的流量Xt-n、Xt-(n+1)、Xt-(n+2)… (t為當前時刻,n為預測步長)之間的函數(shù)關系,并將所得規(guī)律外推實現(xiàn)多步預測,從而避開了傳統(tǒng)算法在遞推過程中產(chǎn)生的誤差累計效應。
4.1 多步預測模型的構建
4.1.1 模型基本結(jié)構
時間序列預測法在交通流預測領域有著廣泛的應用,該模型結(jié)構簡單,在數(shù)據(jù)充分的情況下有較高的預測精度[17],是很多改進多步預測算法的模型基礎[18-19],且取得了良好的預測效果。參考該設計思路,本文采用AR模型為基本模型結(jié)構,將實測數(shù)據(jù)序列擬合成一個線性參數(shù)模型,如式(11)所示:
(11)
4.1.2 編碼及解空間變換
根據(jù)交通流特性,GLBQGA算法的染色體在解空間變換后適宜采用[0,1]區(qū)間內(nèi)的有序?qū)崝?shù)編碼方式,具體的變換公式為:
(12)
由上式可得變換后的基因鏈:
(13)
4.1.3 目標函數(shù)設計
結(jié)合式(11),對于每一代進化中的基因鏈,建立如下目標函數(shù):
(14)
4.2 實驗結(jié)果與分析
筆者對長沙市湘府路某路段由西向東方向的機動車流量進行了視頻采集,每5 min統(tǒng)計一組,共100組,其中80組用于建模,20組用于預測。為了評價預測效果,選取平均絕對百分比誤差(MAPE)作為評價指標,計算公式為:
(15)
AR模型建模的主要步驟包括時間序列預處理、模型定階、模型參數(shù)估計與超前預測計算等。預處理采用一階差分使其相對平穩(wěn)化;模型定階選擇FPE(最小最終預報誤差)準則,經(jīng)計算判斷最優(yōu)擬合模型為AR(8);參數(shù)估計選擇較為成熟、計算簡單可靠的矩估計法[20]。對AR(8)模型進行差分逆運算,可得超前一步預測模型:
0.196Xt-3…-0.049Xt-8
(16)
依據(jù)傳統(tǒng)多步預測模型的建模思路,將超前一步的預測結(jié)果用于超前兩步預測中,再將預測值用于超前三步預測,以此類推實現(xiàn)超前任意步數(shù)的預測,例如AR超前3步預測模型,則需要代入超前一步和超前兩步的值,如式(17)所示:
0.196Xt-1…-0.049Xt-6
(17)
參考AR模型,本文多步預測基礎模型采用AR(8),如超前三步預測時,n=8,m=3,則超前三步預測模型如式(18)所示:
(18)
將式(18)和式(14)結(jié)合,構建GLBQGA算法的目標函數(shù),其它參數(shù)設定與3.2節(jié)一致。讀取前80個樣本進行AR(8)模型參數(shù)擬合,對后20個樣本進行預測,AR(8)模型和基于GLBQGA算法優(yōu)化的AR(8)模型超前三步預測曲線分別如圖5和圖6所示。
圖5 AR(8)模型超前三步預測曲線Fig.5 Three-step ahead forecasting results of AR(8) model
圖6 GLBQGA模型超前三步預測曲線Fig.6 Three-step ahead forecasting results of GLBQGA
AR(8)模型和基于GLBQGA算法優(yōu)化的AR(8)模型超前三步預測結(jié)果的MAPE指標如表2所示:
表2 AR(8)模型和GLBQGA算法優(yōu)化的AR(8)模型超前三步預測結(jié)果對比
Table 2 Comparison of Three-step ahead forecasting results of AR(8) and GLBQGA
預測模型后20個樣本超前三步預測結(jié)果的MAPE指標AR(8)26.75%GLBQGA算法優(yōu)化的AR(8)模型13.21%
從圖5、圖6和表2可知,GLBQGA算法優(yōu)化的AR(8)模型的預測效果優(yōu)于傳統(tǒng)的AR(8)模型,以超前三步預測為例,預測平均相對誤差由26.75%下降到13.21%,下降了50.62%。應用結(jié)果表明,相比傳統(tǒng)的AR模型,基于本文提出的GLBQGA算法所構建的短時交通流多步預測模型在超前多步預測時有著更高的精度,對實際交通流特性的刻畫也更為理想。
1)提出基于全局-局部變異的Bloch球面量子遺傳算法GLBQGA,該算法在傳統(tǒng)Bloch球面量子遺傳算法基礎上,通過引入全局-局部變異算子改進傳統(tǒng)BQGA算法的變異操作,使GLBQGA算法在搜索后期具備較強的局部搜索能力,有效避免了算法振蕩,提高了算法精度;通過合理限制量子轉(zhuǎn)角參數(shù)范圍在保證傳統(tǒng)BQGA算法搜索空間不變的前提下提高算法效率。
2)基于GLBQGA算法的機車二系支承載荷優(yōu)化調(diào)整實驗結(jié)果證明,在不增加時間復雜度的前提下,GLBQGA算法較標準遺傳算法有著更為強大的搜索全局最優(yōu)精確解的能力。
3) 針對短時交通流多步預測問題的特點,提出一種基于GLBQGA算法優(yōu)化AR模型的短時交通流多步預測方法,實驗結(jié)果表明其預測效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)AR模型,為交通流多步預測提供了一種新思路。
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An improved bloch spherical quantum genetic algorithm and its application
LI Jiacai, HAN Kun, BAO Tianzhe
(School of Traffic &Transportation Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)
An improved Bloch Spherical Quantum Genetic Algorithm (GLBQGA) was proposed to overcome the shortcoming of the quantum genetic algorithm (QGA), i.e., local optimization, when it is used for the optimization of continuous functions with many extreme values. In order to make sure the algorithm can converge to the exact solution of optimal local neighborhood search after searching global optimum approximation, a new variation of global-local operator was introduced, and a local search mechanism was established based on globally attributes. The quantum angular value program was further optimized, while ensuring the search space and improving the efficiency of search. Calculative examples were made in optimization of locomotive secondary uniform load distribution and application of short-time traffic flow prediction, and the results show that GLBQGA can overcome the QGA premature convergence problems, and improve precision without increasing search time significantly.
bloch spherical coordinate; quantum genetic algorithm; spring adjustment; traffic flow prediction
2016-03-05
國家自然科學基金資助項目(51305467)
韓錕(1977-),女,湖北隨州人,副教授,博士,從事載運工具智能測控技術及性能優(yōu)化研究;E-mail:hkun@csu.edu.cn
TP301.6;U260.72
A
1672-7029(2016)11-2262-08