周分工

“月-地檢驗(yàn)”是牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的事實(shí)依據(jù)，是“距離平方反比規(guī)律”推廣的前提.為完成“檢驗(yàn)”，牛頓時(shí)代需要知道：地球表面的落體加速度 ，地球自身的半徑 ，月地距離 ，月球公轉(zhuǎn)的周期 .對(duì)這些數(shù)據(jù)，高中教科書一句話帶過“在牛頓時(shí)代，已經(jīng)能夠比較精確地測(cè)定這些數(shù)據(jù)……”.學(xué)生不僅要問：歷史上這些數(shù)據(jù)是如何測(cè)量的呢？另外，教師不了解這些，教學(xué)過程中往往會(huì)缺乏底氣，甚至邏輯順序顛倒.筆者查閱資料，力圖對(duì)這些測(cè)量作一介紹.

1 地球半徑R的測(cè)量

公元前3世紀(jì)古希臘天文學(xué)家厄拉多塞內(nèi)斯（Eratosthenes）首次測(cè)出了地球的半徑 .他發(fā)現(xiàn)：夏至這一天，當(dāng)太陽直射到賽伊城的水井S時(shí)，在另一城（亞歷山大城，用A表示）觀察到太陽光與豎直方向的夾角θ=7.2°，如圖1所示.太陽離兩城足夠遠(yuǎn)，可認(rèn)為太陽光是平行的，由同位角相等知：兩城間的弧所對(duì)的圓心角SOA也是7.2°.又知：商隊(duì)旅行時(shí)測(cè)得S、A間的距離約為5000古希臘里.然后進(jìn)行如下推算：圓心角360°所對(duì)的圓弧長(zhǎng)為2πR，所以1°所對(duì)的圓弧長(zhǎng)為2πR360，那么n°所對(duì)的圓弧長(zhǎng)l=2πR360n=πR180n，得R=180lπn，代入l=5000古希臘里，n=7.2，算出R=39808古希臘里.現(xiàn)在一般認(rèn)為1古希臘里約為158.5米，那么他測(cè)得地球的半徑為39808×158.5米，約為6310千米.

2 月地距離r的測(cè)量

測(cè)出地球半徑，為測(cè)量月地距離奠定了基礎(chǔ)，公元前3世紀(jì)古希臘天文學(xué)家阿利斯塔克（Aristarchus）測(cè)定了地球到月球的距離.

首先，他發(fā)現(xiàn)太陽底下的圓形物體會(huì)形成圓形的陰影，如圖2，且離物體越遠(yuǎn)，陰影越小，直至縮成一個(gè)點(diǎn)，測(cè)量發(fā)現(xiàn)：物體下方本影區(qū)的高度為物體直徑的108倍.

同樣，地球在太陽底下也會(huì)形成本影區(qū)，如圖3中的ODEF所示，且本影區(qū)的長(zhǎng)度DO也為地球直徑de的108，即EO=108d；月球進(jìn)入這個(gè)本影區(qū)，便是月食現(xiàn)象.觀察月食發(fā)現(xiàn)：月球從D點(diǎn)進(jìn)入本影區(qū)開始月食，到F點(diǎn)離開本影區(qū)結(jié)束月食，DF的長(zhǎng)度為月球直徑dm的2.5倍，即

DF=2.5dm.

另外，月球運(yùn)動(dòng)到太陽與地球之間時(shí)，也會(huì)形成本影區(qū)，如圖3中的ABC所示，地球上的人進(jìn)入這個(gè)本影區(qū)，便會(huì)觀察到日全食現(xiàn)象.但發(fā)現(xiàn)日全食通常只能在地球上一塊非常小的區(qū)域才能看到，這說明：月球的本影區(qū)到地球上幾乎縮成了一個(gè)點(diǎn).

可認(rèn)為，三角形DFO與三角形ABC相似，其中DFO的高為DO-r=108dc-r，ABC的高為r-dc2，由三角形相似規(guī)律：高的比等于底邊長(zhǎng)的比，即

108de-rr-de2=DFAB=2.5dmdm

解得r=30.5de，即月地間的距離約為地球直徑的30倍，或者說月地間的距離約為地球自身半徑的60倍.

3 月球公轉(zhuǎn)周期T的測(cè)量

天文學(xué)上把月亮的圓缺變化，稱為月相變化.遠(yuǎn)古時(shí)代人們已經(jīng)注意到了月相的變化，并記錄了月相更替的周期，為29.53天，也是陰歷一個(gè)月的時(shí)間，但這個(gè)時(shí)間還不能算作月球公轉(zhuǎn)的周期.

如圖4，在位置1，月球被照亮的部分，能夠全部被人們觀察到，這是所說的“滿月”狀態(tài)，同樣在位置3， 也是“滿月”狀態(tài)，從位置1到位置3，便是一個(gè)月相更替周期，29.53天.由圖4還可看出，從位置1到位置2的時(shí)間內(nèi)，月球已經(jīng)繞地球公轉(zhuǎn)了一圈，這才是月球公轉(zhuǎn)的周期.

圖4中的角α，為月球繞地球一周之后又多轉(zhuǎn)的角度，可以寫成ω×29.53-2π，其中ω為月球公轉(zhuǎn)的角速度，可用公轉(zhuǎn)的周期T表示為：ω=2πT，即

α=2πT×29.53-2π

圖4中的角β，為29.53天內(nèi)地球公轉(zhuǎn)的角度，可以寫成ω′×29.53，其中ω′為地球公轉(zhuǎn)的角速度，可用公轉(zhuǎn)的周期365天表示為：

ω′=2π365 ，

即 β=2π365×29.53

顯然α=β，可算得：T=27.31天，即月球公轉(zhuǎn)的周期為27.31天.

4 落體加速度g的測(cè)量

牛頓之前的伽利略對(duì)落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律研究的已經(jīng)相當(dāng)完美，加之牛頓對(duì)動(dòng)力學(xué)的研究，可以猜測(cè)：牛頓時(shí)代已經(jīng)能夠知道g值的大小，但是筆者沒有查閱到：它是由誰最先測(cè)出的？又是如何測(cè)出的？倒是查閱到1784年利用阿特伍德機(jī)比較精確的測(cè)量了重力加速，但這已經(jīng)是萬有引力“發(fā)現(xiàn)”之后相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間了.

結(jié)語：本文陳述了R、r、T、g這是四個(gè)量的測(cè)定過程，展現(xiàn)了古人思考問題的巧妙與嚴(yán)謹(jǐn)，借以說明人們對(duì)自然現(xiàn)象的不斷思考和對(duì)未知世界的不倦探索，是物理學(xué)發(fā)展的原動(dòng)力.