王偉民

很多人玩過(guò)蹺蹺板.即使目不識(shí)丁，從未聽(tīng)說(shuō)過(guò)“杠桿平衡條件”這一名詞的人，也會(huì)知道玩蹺蹺板時(shí)所發(fā)生的現(xiàn)象：當(dāng)兩人在蹺蹺板的兩端適當(dāng)位置平衡時(shí)，若其中一人不動(dòng)，另一人向外移動(dòng)，則向外移動(dòng)之人會(huì)隨著蹺蹺板而下沉；反之，若人沿蹺蹺板向里移動(dòng)，則蹺蹺板會(huì)帶著人一同向上蹺起.

天平恰如蹺蹺板.可是，對(duì)于托盤(pán)天平，如果對(duì)其天平盤(pán)進(jìn)行“加工改造”，將天平盤(pán)變成長(zhǎng)條狀，用這樣的“改進(jìn)型”天平測(cè)物體質(zhì)量或者玩游戲，很可能會(huì)發(fā)生人們意想不到的“怪”現(xiàn)象.

取一架托盤(pán)天平，去掉兩托盤(pán)，用透明膠帶將兩把塑料尺（20cm長(zhǎng)，鋼尺或木條亦可）的一端分別固定在兩邊的托盤(pán)支架上，另一端向天平的外側(cè)伸出——這相當(dāng)于將圓形的天平盤(pán)改裝成了“加長(zhǎng)”的條狀天平盤(pán).將天平橫梁調(diào)節(jié)平衡之后，取兩個(gè)相同的砝碼（20g的即可），分別放在天平盤(pán)支架的中間位置（即條狀天平盤(pán)的內(nèi)側(cè)），天平平衡.當(dāng)一側(cè)的砝碼保持不動(dòng)，而將另一側(cè)的砝碼沿“條狀”天平盤(pán)向外移動(dòng)時(shí)（如圖1），將會(huì)發(fā)生不可思議的“反?！爆F(xiàn)象——向外移動(dòng)砝碼一端的天平盤(pán)不但不會(huì)下沉，反而向上翹起，而且砝碼向外移動(dòng)的距離越大，天平盤(pán)翹起的高度也越大.

這究竟是什么原因呢？

實(shí)際上，這種“反?！爆F(xiàn)象的出現(xiàn)，與托盤(pán)天平的“特殊”構(gòu)造是密不可分的.圖2是托盤(pán)天平的結(jié)構(gòu)示意圖（實(shí)驗(yàn)室使用的托盤(pán)天平大多為這種結(jié)構(gòu)），兩邊的天平盤(pán)支架，通過(guò)固定在橫梁上兩個(gè)截面呈三角形棱柱的刀口A和B（刀口尖端朝上），對(duì)稱地架在橫梁兩端，使得在橫梁轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩個(gè)天平盤(pán)的支架可以繞兩刀口自由的轉(zhuǎn)動(dòng)；而橫梁的中間有一個(gè)尖向下的三棱柱刀口O，將橫梁支撐于固定在天平底座中間的支柱上；兩個(gè)天平盤(pán)支架的下端有兩個(gè)金屬條CD和DE（在天平底座內(nèi)部），一端與天平盤(pán)支架的下端相連，另一端與底座中間的支柱相連，并且在連接處可自由的轉(zhuǎn)動(dòng)，金屬條的作用是使得橫梁轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，天平托盤(pán)始終處于水平狀態(tài)（四邊形ACDO可近似看作平行四邊形，所以，橫梁轉(zhuǎn)動(dòng)托盤(pán)隨之升降時(shí)，AC始終保持與鉛直支柱OD平行）.

如圖2，設(shè)天平左右盤(pán)中等質(zhì)量的兩砝碼重力均為G，由于天平是一個(gè)等臂杠桿，所以O(shè)A=OB，當(dāng)兩砝碼放在“條狀”天平盤(pán)的內(nèi)側(cè)（即天平盤(pán)支架的正中間）時(shí)，有：G·OA=G·OB.

由杠桿平衡條件可知，此時(shí)天平橫梁平衡.

當(dāng)左盤(pán)砝碼不動(dòng)，右盤(pán)砝碼沿條狀“天平盤(pán)”向外移到圖3所示的位置時(shí)，我們將右盤(pán)及其支架作為一個(gè)整體隔離出來(lái)，單獨(dú)進(jìn)行受力分析.由于兩邊的天平盤(pán)及其支架是對(duì)稱的，所以，它們的重力相等，兩側(cè)天平盤(pán)及其支架對(duì)天平橫梁的轉(zhuǎn)動(dòng)作用，效果可以相互抵消，我們完全不用考慮天平盤(pán)及其支架的重力對(duì)天平橫梁轉(zhuǎn)動(dòng)的影響（即使兩邊的天平盤(pán)及其支架的重力不等，通過(guò)調(diào)節(jié)橫梁上的平衡螺母，也可使得橫梁與天平盤(pán)的支架作為一個(gè)整體的重心，剛好在過(guò)中間刀口的鉛直直線上，我們?nèi)圆恍杩紤]天平盤(pán)極其支架的重力對(duì)橫梁平衡的影響.使用天平之前“調(diào)節(jié)橫梁，使橫梁平衡”的調(diào)節(jié)步驟，目的就在于此）.以下討論均不考慮天平盤(pán)及其支架的重力.

圖3中，在鉛直方向上，右盤(pán)支架受到砝碼對(duì)其豎直向下的壓力F4和刀口A對(duì)它豎直向上的支持力F3，由于在該方向上，不考慮自身重力時(shí)，支架只受這唯一的一對(duì)力的作用，所以這兩個(gè)力大小相等，同為砝碼重力G.因?yàn)橛疫叺捻来a所放位置不是正對(duì)著刀口A在“條狀”天平盤(pán)的內(nèi)側(cè)，而是向外偏移了一段距離，所以，如果不是因?yàn)樘炱降鬃鶅?nèi)部金屬條CD的支撐，“條狀”天平盤(pán)與支架作為一個(gè)整體將會(huì)繞刀口A按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng).但由于有金屬條CD的支撐，右邊的天平盤(pán)及支架是沒(méi)法繞A轉(zhuǎn)動(dòng)的，這樣，右盤(pán)支架的底端C處必然會(huì)受到金屬條CD對(duì)其水平向右的作用力F1，而與天平右盤(pán)支架相連的除所放砝碼外（砝碼對(duì)支架只有豎直向下的壓力），僅有C和A兩點(diǎn)，所以，天平右盤(pán)支架平衡時(shí)（實(shí)際上，就托盤(pán)天平而言，不光橫梁是一個(gè)杠桿，天平托盤(pán)的支架也是一個(gè)杠桿，支撐它的刀口便是支點(diǎn)），它必將受到刀口A對(duì)其向左的作用力F2，大小與F1相等；這就是說(shuō)，橫梁通過(guò)刀口A不僅給右盤(pán)支架一個(gè)豎直向上的托力F3，同時(shí)還會(huì)給支架一個(gè)水平向左的作用力F2，由于物體間力的作用是相互的，所以，右盤(pán)支架將會(huì)通過(guò)刀口A在給天平橫梁一個(gè)豎直向下壓力F3′（大小為G，圖中未畫(huà)出）的同時(shí)，還會(huì)給橫梁一個(gè)水平向右的作用力F2′.因?yàn)橥斜P(pán)天平橫梁上的三個(gè)刀口不在同一條直線上，圖3中，中間刀口點(diǎn)O在兩端刀口A、B兩點(diǎn)連線的上方（調(diào)查發(fā)現(xiàn)，不同廠家生產(chǎn)的、不同規(guī)格的托盤(pán)天平，三刀口均不共線，經(jīng)測(cè)量，中間刀口點(diǎn)O到兩邊刀口所在直線AB的距離大都為2mm左右.將托盤(pán)天平拿起，從其一端觀察，使兩端的刀口與人眼在一條線上，可以明顯的看到中間刀口與兩端刀口之間有一2mm左右寬的夾縫），所以，對(duì)于以O(shè)為支點(diǎn)的等臂杠桿橫梁AB來(lái)說(shuō)，在不考慮盤(pán)及支架的重力時(shí)，除支點(diǎn)O處的受力之外，它還受到三個(gè)力的作用，左右兩托盤(pán)支架對(duì)其豎直向下的壓力，大小相等均為砝碼重力G，和右邊的托盤(pán)支架對(duì)其水平向右的作用力F2′，由于力F2′的作用線未通過(guò)橫梁中間的刀口——支點(diǎn)O，而是在支點(diǎn)O的下方，所以，天平橫梁所受三個(gè)力的力矩之和不再為零，由力F2′的方向可以判斷，橫梁將失去平衡而繞支點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，即天平橫梁左端下沉，右邊上翹.

我們不妨通過(guò)一個(gè)例子來(lái)看一下，當(dāng)右盤(pán)砝碼向外移動(dòng)的距離較遠(yuǎn)時(shí)，對(duì)橫梁平衡的影響程度.

圖3中，當(dāng)右盤(pán)砝碼向外運(yùn)動(dòng)時(shí)，為使天平橫梁重新平衡，我們可在天平右盤(pán)中刀口的正上方位置，添加一個(gè)質(zhì)量合適的小砝碼.假如兩側(cè)原有的砝碼質(zhì)量均為20g，量得天平橫梁兩端刀口間距AB=10cm，AC=4cm，O到直線AB的距離約為2mm，當(dāng)右盤(pán)砝碼向外移到刀口A的外側(cè)12cm處時(shí)，假設(shè)在天平右側(cè)天平盤(pán)支架刀口的正上方位置，再添加一個(gè)質(zhì)量為x克的砝碼，天平方能平衡，我們看一下x的大小.

對(duì)于可繞刀口A轉(zhuǎn)動(dòng)的右側(cè)天平盤(pán)這個(gè)變形的杠桿而言，它共受5個(gè)力的作用（仍未考慮盤(pán)自身的重力）：F1、F2、F3、F4及添加砝碼對(duì)其豎直向下的壓力F5（圖中也未畫(huà)出），其中的F2、F3和F5三個(gè)力的作用線過(guò)支點(diǎn)A，對(duì)杠桿（天平右盤(pán)）的轉(zhuǎn)動(dòng)不產(chǎn)生影響，由杠桿平衡條件可得：

F1·4cm=F4·12cm

所以F1=3F4=3G 所以F2=F1=3G

所以F2′=F2=3G

而對(duì)饒中間刀口轉(zhuǎn)動(dòng)的橫梁來(lái)說(shuō)，由杠桿平衡條件得：

x·10-3 g·5cm=F2′·0.2cm

（兩邊天平盤(pán)支架對(duì)橫梁豎直向下的壓力相等，其力矩之和為零，故不再考慮）

所以x·10-3 g·5cm=20·10-3 g· 0.2cm

所以x=0.8

已經(jīng)平衡的天平，當(dāng)一側(cè)的天平盤(pán)增添或減少0.8g 的砝碼時(shí)，將會(huì)對(duì)天平橫梁的平衡產(chǎn)生很大的影響，難怪對(duì)于“加長(zhǎng)”的天平盤(pán)，當(dāng)物體向外移動(dòng)較大的距離時(shí)，已平衡的天平會(huì)明顯的失去平衡而向上翹起.

而通常的天平盤(pán)都不大，即使將物體或砝碼放在天平盤(pán)的邊緣，偏離中心點(diǎn)的距離一般不超過(guò)2cm，如果仍用上面的方法計(jì)算的話，以20g的砝碼在天平盤(pán)中偏離中心點(diǎn)1.2cm為例，為使天平重新平衡，經(jīng)計(jì)算可知，天平盤(pán)中心處所增添砝碼的質(zhì)量?jī)H為0.08g，該數(shù)值小于天平的感量0.2g，我們不會(huì)明顯看出已平衡的天平會(huì)因在盤(pán)中移動(dòng)物體或砝碼位置而失去平衡的現(xiàn)象.

從上面的分析我們可以看出，在制作天平時(shí)，如果能保持橫梁上的三個(gè)刀口嚴(yán)格在一條直線上，即便天平盤(pán)做得很大，因兩邊的物體或砝碼沒(méi)有放在天平盤(pán)的中間位置，而使橫梁受到天平盤(pán)支架水平力的作用時(shí)，該水平力的作用線也會(huì)通過(guò)橫梁中間刀口的支點(diǎn)，對(duì)橫梁的轉(zhuǎn)動(dòng)不會(huì)產(chǎn)生絲毫的影響.