趙競哲，石 霞

(1. 北京郵電大學理學院，北京市 100876；2. 北京郵電大學理學院，北京市 100876)

時滯對化學突觸耦合的神經元網絡放電節(jié)律的影響

趙競哲1，石 霞2

(1. 北京郵電大學理學院，北京市 100876；2. 北京郵電大學理學院，北京市 100876)

大腦中許多功能區(qū)可以呈現(xiàn)出不同形式的神經網絡振蕩活動，它們反映群體神經元的同步活動以及大腦的不同功能狀態(tài)。高頻節(jié)律反映的是大腦局部區(qū)域較快的信息處理，低頻節(jié)律則能夠反映外部的感覺輸入和內部的認知事件的動態(tài)驅動在不同腦區(qū)的傳播過程。這些不同形式的振蕩活動分別在大腦處理、傳遞和整合感覺信息，鞏固記憶，以及一些高級認知活動（如注意行為）中發(fā)揮重要的作用。其中，調整神經網絡活動的振蕩特性是實現(xiàn)這些腦功能的可能機制之一。本文發(fā)現(xiàn)突觸的連接強度增大，可以加強同步。隨著時滯的增大，在初始周期T的整數倍處，簇中spiking的個數會逐漸增加。神經元的頻率會屬于不同波段，且會出現(xiàn)混合振蕩的狀態(tài)。對于小的時滯，振蕩是低頻的。當時滯超過一定的值之后，網絡從低頻變?yōu)楦哳l低頻共存的狀態(tài)，出現(xiàn)了混合振蕩狀態(tài)，并且這種轉換快速且穩(wěn)定。

時滯；HH神經元模型；可塑性；節(jié)律

本文著錄格式：趙競哲，石霞. 時滯對化學突觸耦合的神經元網絡放電節(jié)律的影響[J]. 軟件，2016，37（11）：09-13

0 引言

作為大腦活動節(jié)奏控制器的神經元同步，可以形成腦電波的某些頻率[1]，具有很重要的作用，并且有時神經元的同步會誘發(fā)一些如帕金森綜合征等的疾病，因此關于腦電波頻率的研究引起了很多學者的注意。

1924年，德國醫(yī)生漢斯·貝格爾（Hans Berger）從一個顱骨受損的病人頭部，檢測到極為微弱的電流。隨后又經過腦科學界幾十年的研究成果，神經

科學界、國際腦波學會根據腦波頻率將腦電波分成：δ 波[1,3] θ 波[4,7] α 波[8,13] β 波[14,30] γ 波[30,100]。這些不同形式的振蕩活動分別在大腦處理、傳遞和整合感覺信息，鞏固記憶，以及一些高級認知活動（如注意行為）中發(fā)揮重要的作用。其中，調制神經網絡活動的振蕩特性是實現(xiàn)這些腦功能的可能機制之一。

在大多數的物理和生態(tài)系統(tǒng)中，時滯是普遍存在的。它主要來源于信號有限的傳播速度。由于時滯的出現(xiàn)，使得有限的動力系統(tǒng)變?yōu)闊o窮維的系統(tǒng)，從而誘導了更為復雜的非線性動力學特性，因此時滯耦合系統(tǒng)的非線性動力學行為引起了很多學者的關注。Ramana等人研究了時滯耦合的兩極限環(huán)的動力學行為。Rossoni等人研究了具有時滯和類脈沖作用的兩個耦合的 Hodgkin-Huxley神經元的發(fā)放行為。研究表明在時滯的作用下，兩耦合神經元可以達到振蕩消失現(xiàn)象和在同步等豐富的發(fā)放模式[2]。這些研究充分說明了時滯在耦合神經系統(tǒng)中有著重要的作用。

真實的神經系統(tǒng)通常都是動態(tài)的，因此我們不僅要考慮神經元動力系統(tǒng)和神經網絡拓撲結構的高度非線性和復雜性，還要討論神經網絡系統(tǒng)的時變性、魯棒性和易損性等問題，其中涉及的一個重要問題是學習和記憶功能，這與突觸可塑性[3-8]研究密切相關。

本文的目的是研究突觸可塑性參數對神經元發(fā)放和頻率的影響。我們選取了HH模型[9-11]，因為從生理學研究的角度，它是量化描述電生理現(xiàn)象很成功的一個模型。并且從非線性動力學和數學研究角度，其具有多變量、高度非線性和強耦合的特點。在本文中，我們首先建立了簇放電的神經元模型，然后研究了在神經元系統(tǒng)中，神經元的放電模式。最后我們探究了神經元節(jié)律的變化。

1 神經元模型

大腦神經網絡的神經元按照形態(tài)和功能一般可分為谷氨酸能的椎體細胞和γ-氨基丁酸能的中間神經元[12]。其中中間神經元主要分布在局部腦區(qū)內部，對局部腦區(qū)的神經網絡進行調節(jié)[13]。大量研究表明，中間神經元對大腦振蕩模式的產生及知覺、睡眠、記憶等相關功能都有重要作用[14]。

本文使用的是全局耦合的HH神經元模型，每個中間神經元都滿足下列動力學方程。

其中，σ是最大突觸電導；ija是連接矩陣，如果神經元i和j相連則為1，否則為0。synE為逆轉電位(如果synE足夠小，例如為-80 mV，則突觸為抑制性的；如果synE足夠大，例如為0 mV，則突觸為興奮性的)。

我們使用通過可塑性化學突觸耦合的神經元網絡，其中網絡為全耦合的抑制性中間神經元網絡，經計算神經元的初始為0時）平均周期（神經元兩次發(fā)放的平均時間間隔）T大約為10 ms。神經元數目為100，在[1,2]之間隨機取值，實驗模擬時間為1500 ms。

2 結果

我們首先研究中間神經元網絡的同步與放電行為。圖1展示了在沒有突觸后電流時，神經元的放電是混亂的。

我們可以看到隨著時滯d的增大（圖2），時空放電圖的“放電帶”越來越寬，我們隨機去其中一個神經元畫出其膜電位圖，發(fā)現(xiàn)隨著d的增加，神經元產生簇放電并且簇寬逐漸變大，每個簇間“尖峰”的個數在逐漸增多。

有趣的是，在數值結果中我們發(fā)現(xiàn)，簇間“尖峰”的個數的增多呈現(xiàn)出一定的周期性（圖2未顯示出）。

圖1 突觸后電流為0時，中間神經元網絡的發(fā)放狀態(tài)Fig.1 The state of the interneuron network when postsynaptic current is 0

圖2 抑制性突觸時滯d不同時，神經元的時空放電圖和與之對應的膜電位圖。時滯從上到下分別為10、30、60(ms)時，神經元網絡的放電與神經元的膜電位變化。其他參數為σ0.3=Fig.2 The spatiotemporal pattern of neurons and the corresponding membrane potential maps with different delay.The delay from top to bottom are respectively 10, 30, 60 (ms). Other parameter for σ0.3=

為了更好的觀察這一現(xiàn)象，我們研究了在取不同的σ時，隨著時滯的逐漸增大，每個簇間“尖峰”個數的變化。當σ的值比較小時，幾乎沒有規(guī)律，但是當σ大于某個值之后，每個簇間“尖峰”（spiking）個數呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，尤其是在σ＞0.1后變化基本相同，我們驚奇的發(fā)現(xiàn)，個數的增加大約出現(xiàn)在初始周期T的整數倍處，如圖3所示。

時滯delay變化是簇中spiking個數圖(σ ＞0.1后變化基本相同)可以看出在T的整數倍，個數會逐漸增加如圖3所示。

除了研究簇中spiking個數的變化，我們還觀察了單個神經元的頻率與時滯d的關系。隨著時滯的增大，神經元的振蕩頻率會屬于不同波段，并且存在低頻和高頻兩個區(qū)域，如圖5所示。

圖3 不同σ隨delay變化，一個周期內簇中spiking數的變化。σ的取值分別為0.005、0.01、0.02、0.05Fig.3 The number of spikes in one burst on delay with different σ. The value of σ is 0.005、0.01、0.02、0.05

圖4 σ＞0.1之后簇中spiking個數圖Fig.4 The number of spikes in one burst on delay after σ＞0.1

圖5 單個神經元的頻率變化。其中參數σ=0.3Fig.5 The change of frequency in single neuron

對于小的時滯（delay）d區(qū)域，振蕩是低頻的。當時滯d超過一定的值cd之后，網絡從低頻變?yōu)楦哳l低頻共存的狀態(tài)，出現(xiàn)了混合振蕩狀態(tài)。這種轉換快速且穩(wěn)定。當時滯τ較小時，抑制性突觸電流在一個周期內衰減較快，因此它們會在下一個循環(huán)的神經元放電之前消失，不會對下一個神經元放電產生影響。此時cd為10 ms，并且每次循環(huán)簇中spiking個數會每隔10 ms增加一個。也就是高頻振蕩的頻率大約在100 HZ左右。

對于較長的時滯（delay），一個周期內的突觸抑制性電流會延續(xù)到下一個周期。這些延續(xù)到下一周期的抑制性突觸電流會抑制神經元放電，促使周期之間增大，這也就造成了低頻頻率在逐漸減小的現(xiàn)象。對于足夠大的時滯（delay），神經元的頻率會維持在 α 波段?；旌系?α 和 γ 節(jié)律會在腦認知功能中起重要作用。高頻節(jié)律反映的是大腦局部區(qū)域較快的信息處理，低頻節(jié)律則能夠根據外部的感覺輸入和內部的認知事件動態(tài)驅動不同腦區(qū)的傳播過程。傳統(tǒng)的觀點認為具有快和慢抑制性突觸的神經元網絡是形成特殊類型振蕩的基本條件，但是我們的結果提供了一個全新的視角，我們發(fā)現(xiàn)長的時滯也會導致混合振蕩。

3 結論

本文主要研究時滯對通過可塑性化學突觸耦合

的神經元網絡放電節(jié)律的影響。我們發(fā)現(xiàn)突觸的連接強度增大，可以加強同步。隨著時滯的增大，在初始周期T的整數倍處，簇中spiking個數會逐漸增加。接著我們關注時滯對神經元的放電節(jié)律影響。隨著時滯的增大，神經元的頻率會屬于不同波段，且會出現(xiàn)混合振蕩的狀態(tài)。對于小的時滯，振蕩是低頻的。當時滯超過一定的值之后，網絡從低頻變?yōu)楦哳l低頻共存的狀態(tài)，出現(xiàn)了混合振蕩狀態(tài)。這種轉換快速且穩(wěn)定。對于足夠大的時滯（delay），神經元的頻率會維持在 α 波段。混合的 α 和 γ 節(jié)律會在腦認知功能中起重要作用。傳統(tǒng)的觀點認為具有快和慢抑制性突觸的神經元網絡是形成特殊類型振蕩的基本條件，但是我們的結果提供了一個全新的視角，我們得到的結果對研究神經元的節(jié)律及其控制有一定的參考作用。

[1] Wang X J Neurophysiological and computational principles of cortical rhythms in cognition, Physiological Reviews, 2010, 90∶ 1195.

[2] ROSSONI E, et al. Stability of synchronous oscillations in a system of Hodgkin-Huxley neurons with delayed diffusive and pulsed coupling. Physical Review E, 2005, 71∶ 061904.

[3] ABARBANEL, H, HUERTA R, RABINOVICH M I. Dynamical model of long-term synaptic plasticity. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.2002, 99, 10132-10137.

[4] BLAIS B S, COOPER L N, Shouval H Z Effect of correlated lateral geniculate nucleus firing rates on predictions for monocular eye closure versus monocularretinal inactivation. Phys. Rev. E Stat. Nonlin. SoftMatter Phys. 2009, 80, 061915-1-9.

[5] Amitai Y, FRIEDMAN A, CONNORS B W, GUTNICK M J Regenerative activity in apical dendrites ofpyramidal cells in neocortex. Cereb. Cortex 1993, 3, 26-38.

[6] Bi G Q, Poo M M. Synaptic modificationsin cultured hippocampal neurons∶ dependence on spike timing, synaptic strength, and postsynaptic celltype. J. Neurosci. 1998,18, 10464-10472.

[7] APPLEBY P A, ELLIOTT T. Synaptic and TemporalEnsemble Interpretation of Spike-Timing-Dependent Plasticity. Neural. Comput. 2005, 17, 2316-2336.

[8] BLAKEMORE C, COOPER G F. Development of the brain depends on visual environment. Nature1970, 228, 477-478.

[9] HODGKIN A L, HUXLEY A F. Currents carried by sodium and potassium ions through the membrabce of the giant axon of Lologo, J.pjysiol. 1952, 116∶ 449-472.

[10] HODGKIN A L, HUXLEY A F .The compontents of membrance conductance in the giant axon of Lologo, J.pjysiol. 1952, 116∶ 473-496.

[11] HODGKIN A L, HUXLEY A F. A quantitative description of membrane and its application to conduction and excitation in nerve. J.pjysiol.1952, 116∶ 500-544.

[12] HALASY K, SOMOGYI P Subdivisions in the multiple GABAergic innervation of granule cells in the dentate gyrus of the rat hippocampus. Eur J Neurosci, 1993.5(5)∶ p.411-29. [13] MARSHALLS L, et al. Hippocampal pyramidal cell-interneuron spike transmission is frequency dependent and responsible for place modulation of interneuron diacharge. J Neurosci, 2002. 22(2)∶ p.RC197.

[14] MOSER E I. Neurobiology∶Interneurons take charge. Nature, 2003. 421(6925)∶ p.797-9.

The Effects of Delay on Oscillations Rhythm of Neuron Network With Inhibitory Synapses

ZHAO Jing-zhe, SHI Xia
(Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876, China)

Many functional areas of the brain can exhibit different forms of oscillatory brain activity, which reflect the synchronous activities of the group of neurons and the different functional states of the brain. The high frequency rhythm reflects the information processing of the local area of the brain. The low frequency rhythm is able to reflect the external sensory input and the internal cognitive events of the dynamic drive in different brain areas of the communication process. These different forms of oscillatory activity play an important role in brain processing, transmission and integration of sensory information, consolidation of memory, and some advanced cognitive activities (such as attentional behavior). Among them, adjusting the oscillation characteristics of neural network activity is one of the possible mechanisms to achieve these brain functions. Synchronization is enhanced as the synaptic connection increases. With the increasing of delay in the integer times the initial cycle of T, the number of spiking in one cluster will gradually increase. In particular, this paper have shown that short inhibitory delays could cause regular spiking, while a sufficiently long delay may lead to the appearance of mixed oscillations.

Delay; Hodgkin-huxley model; Synaptic; Oscillations rhythm

TN911

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2016.11.003

國家自然科學基金（11272065）

趙競哲(1991-)，女，研究生在讀。

石霞(1975-)，女，副教授，復雜網絡的非線性動力學研究。