楊謙 魏兵 李林茜 葛德彪 王飛

(1.西安電子科技大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,西安 710071;2.西安電子科技大學(xué)信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,西安 710071)

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時(shí)域非連續(xù)伽遼金法在諧振腔中的應(yīng)用

楊謙1,2魏兵1,2李林茜1,2葛德彪1,2王飛1,2

(1.西安電子科技大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,西安 710071;2.西安電子科技大學(xué)信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,西安 710071)

給出了時(shí)域非連續(xù)伽遼金(Discontinuous Galerkin Time Domain, DGTD)法的基本思想,從Maxwell方程出發(fā)得到弱解形式和矩陣方程,進(jìn)一步給出了DGTD步進(jìn)計(jì)算式.計(jì)算了空腔和填充諧振腔的諧振頻率,并與解析結(jié)果相比較.算例表明在諧振腔計(jì)算中DGTD可以達(dá)到很高的精度.

非連續(xù)伽遼金法;時(shí)域有限元;諧振腔

DOI 10.13443/j.cjors 2015111701

引 言

在計(jì)算電磁學(xué)中,時(shí)域方法因其能夠直接獲得觀察點(diǎn)的時(shí)域波形、通過(guò)簡(jiǎn)單的傅里葉變換可得到寬頻帶信息的特點(diǎn),近年來(lái)受到人們的廣泛關(guān)注.在時(shí)域數(shù)值算法中,時(shí)域有限差分(Finite Difference Time Domain,FDTD)方法[1]是目前電磁學(xué)領(lǐng)域內(nèi)被人們廣泛、深入的研究,并取得巨大成功應(yīng)用的方法.該方法原理直觀、編程簡(jiǎn)便、實(shí)用性強(qiáng),一直在時(shí)域方法中占主導(dǎo)地位.但由于FDTD方法采用規(guī)則網(wǎng)格剖分,其建模的能力弱,對(duì)彎曲表面的階梯近似,嚴(yán)重限制了將其應(yīng)用于復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)時(shí)的計(jì)算精度.另外一種時(shí)域算法為時(shí)域有限元(Finite Ele-ment Time Domain,FETD)方法,該方法采用非結(jié)構(gòu)單元擬合(如四面體),與真實(shí)目標(biāo)的差異小.但FETD每一時(shí)間步需要求解大型線(xiàn)性方程組,難以處理電尺寸較大目標(biāo)的電磁問(wèn)題.>非連續(xù)伽遼金法(Discontinuous Galerkin method)20世紀(jì)70年代就應(yīng)用于偏微分方程的求解[2],該算法思想被應(yīng)用于流體力學(xué)及時(shí)域有限體積(Finite Volume Time Domain,FVTD)法中[3].近年來(lái),人們基于FETD和FVTD的思想,提出了非連續(xù)伽遼金時(shí)域(Discontinuous Galerkin Time Domain, DGTD)[4-5,9]算法.DGTD既具有有限元方法采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格對(duì)復(fù)雜外形擬合好、便于采用高階基函數(shù)和計(jì)算精度高的優(yōu)點(diǎn),又具有FVTD方法完全顯式迭代、計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn).在多尺度問(wèn)題、波導(dǎo)不連續(xù)問(wèn)題等方面廣泛的應(yīng)用前景使得該算法成為近年來(lái)計(jì)算電磁學(xué)界的熱點(diǎn)之一.

本文詳細(xì)描述了基于棱邊基函數(shù)的三維DGTD方法的基本原理和實(shí)現(xiàn)思路,并將該方法應(yīng)用于空諧振腔和部分填充諧振腔諧振頻率的計(jì)算.

1 基于棱邊基函數(shù)的三維DGTD弱解形式及矩陣方程

DGTD可以看作由FETD方法改變邊界條件的處理方式得到.FETD是從支配方程和邊界條件出發(fā)將計(jì)算區(qū)域劃分為多個(gè)單元后導(dǎo)出矩陣方程并求解的方法,下面從Maxwell方程組出發(fā)描述DGTD的基本思想.

Maxwell旋度方程為

(1)

式中: ε為介電常數(shù); μ為磁導(dǎo)常數(shù); σ為電導(dǎo)率; σm為磁導(dǎo)率; E和Η分別為電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量; J與Jm分別為電流、磁流.

四面體單元在模擬任意形狀的幾何體,特別是不規(guī)則的幾何物體時(shí),比矩形塊、六面體等單元更加靈活和準(zhǔn)確.采用Galerkin加權(quán)法[6],對(duì)式(1)在四面體單元內(nèi)積分,可得

(2)

(3)

(4)

式中:E*、H*稱(chēng)為Numerical Flux,在兩個(gè)相鄰的四面體單元面兩側(cè)不相等但依賴(lài)于兩個(gè)相接面的切向場(chǎng);E、H為待計(jì)算單元場(chǎng)值;E+、H+為與待計(jì)算單元的相鄰單元場(chǎng)值.

將式(3)、(4)代入式(2),得到

E))]ds+σ∫v·EdΩ+∫v·JdΩ=0

H))]ds+σm∫v·HdΩ+∫v·JmdΩ=0.

(5)

四面體中電磁場(chǎng)可用Whitney-I型棱邊(矢量)基函數(shù)展開(kāi)為

(6)

此時(shí),未知量變?yōu)槔膺呁队?即四面體表面切向量,這里取實(shí)驗(yàn)函數(shù)為棱邊基函數(shù),并且整個(gè)計(jì)算域離散為許多小的四面體單元,將式(6)代入式(5)整理后得到適用于全域所有單元計(jì)算的矩陣方程:

(7)

2 DGTD步進(jìn)式

將得到的時(shí)域方程在時(shí)間域離散可得到時(shí)域步進(jìn)公式,時(shí)域步進(jìn)離散可采取不同方式[8-10],這里采用已經(jīng)廣泛應(yīng)用于FDTD中的蛙跳法[11].

式(7)為單個(gè)四面體迭代方程,在計(jì)算中需要循環(huán)四面體求解.規(guī)定E、Jm在整數(shù)時(shí)間步采樣;H、J在半整數(shù)時(shí)間步采樣,并采用中心差分,此時(shí)式(7)可寫(xiě)為迭代式

(8)

將式(8)整理得

(9)

式中系數(shù)為:

3 算例

算例1 首先計(jì)算金屬諧振腔的諧振頻率并與解析結(jié)果比較以說(shuō)明本文方法的正確性. 邊長(zhǎng)為2m金屬諧振腔模型如圖1(a)所示,設(shè)腔內(nèi)部為真空.計(jì)算所得諧振頻率數(shù)值解與解析解比較如圖1(b)和表1所示.圖2還給出了TM110模的場(chǎng)分布時(shí)域快照.

(a) 諧振腔模型示意圖

(b) 諧振頻率數(shù)值解圖1 諧振腔模型和諧振頻率

本算例高斯脈沖激勵(lì)源的頻率上限為0.2GHz,若采用時(shí)間寬度更窄的高斯脈沖并將模型離散更細(xì)密則可進(jìn)一步提高計(jì)算精度.

表1 諧振頻率與數(shù)值解的相對(duì)誤差

(a) Ez分布(XOY面)

(b) Hy分布(XOY面)

(c) Ez三維分布圖2 TM110模場(chǎng)值分布

算例2 部分填充諧振腔的諧振頻率. 諧振腔尺寸同例1,設(shè)靠近下底面的部分填充相對(duì)介電常數(shù)為2的介質(zhì),如圖3所示.

根據(jù)電磁波理論,填充介質(zhì)前后諧振頻率的關(guān)系可以用微擾法求得[12],對(duì)于TM110模,有

(ω-ω0)/ω0≈-1/2(εr-1)δ/d．

(10)

式中:ω0為擾動(dòng)前頻率;ω為擾動(dòng)后頻率;δ為介質(zhì)板厚度;d為諧振腔高度;εr為相對(duì)介電常數(shù).當(dāng)εr=1.5,δ=0.2 m時(shí)諧振腔TM110模擾動(dòng)后頻率的理論值為0.103 342 821 GHz,而數(shù)值解為0.103 342 953 GHz(如圖4所示),相對(duì)誤差0.000 128%,DGTD在此算例中有很好的表現(xiàn)．

圖3 諧振腔底部有介質(zhì)板

圖4 TM110模擾動(dòng)后諧振頻率

圖5 諧振腔中心為介質(zhì)球

算例3 本算例將填充物更改為介質(zhì)球,球半徑為0.3m,位于腔體中心,相對(duì)介電常數(shù)為4,如圖5所示．諧振腔邊長(zhǎng)依然為2m,由于此算例無(wú)解析解,圖6給出數(shù)值解．在前面的算例中DGTD已有很好的表現(xiàn),可以相信此結(jié)果具有很好的精度．

圖6 諧振腔(中心為介質(zhì)球)諧振頻率

4 結(jié) 論

DGTD在電磁計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用,本文詳細(xì)描述了基于棱邊基函數(shù)的三維DGTD計(jì)算步驟,并將其應(yīng)用于諧振腔算例的計(jì)算、算例表明在諧振腔計(jì)算中DGTD具有很好的精度,鑒于DGTD具備的優(yōu)點(diǎn),此算法在散射、輻射等問(wèn)題中將有更多的研究．

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GEDB,WEIB.Electromagneticwavetheory[M].Beijing:SciencePress, 2011:186. (inChinese)

楊謙 (1989-),男,陜西人,博士研究生,主要研究方向?yàn)橛?jì)算電磁學(xué).

魏兵 (1970-),男,甘肅人,教授,博士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)殡姶爬碚?、?fù)雜系統(tǒng)中的場(chǎng)與波、計(jì)算電磁學(xué)等.

Analysis of resonant cavity by discontinuous Galerkin time domain method

YANG Qian1,2WEI Bing1,2LI Linqian1,2GE Debiao1,2WANG Fei1,2

(1.SchoolofPhysicsandOptoelectronicEngineering,Xi’dianUniversity,Xi’an710071,China; 2.CollaborativeInnovationCenterofInformationSensingandUnderstanding,XidianUniversity,Xi’an710071,China)

In this paper, the principle of discontinuous Galerkin time domain (DGTD) based on vector basis function is described. Weak solutions and matrix formulations from Maxwell equations are given, and the leapfrog equations are presented. The resonant frequencies of the resonator which contains vacuum and a medium plate are calculated respectively by DGTD. The numerical results which are compared with analytical solutions show that the DGTD technique could achieve high accuracy in dealing with resonator problems.

discontinuous Galerkin time domain (DGTD); finite element time domain(FETD); resonant cavity

10.13443/j.cjors.2015111701

2015-11-17

國(guó)家自然科學(xué)基金(61231003，61401344，61571348)

O441.4

A

1005-0388(2016)04-0707-06

楊謙, 魏兵, 李林茜, 等. 時(shí)域非連續(xù)伽遼金法在諧振腔中的應(yīng)用 [J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào),2016,31(4):707-712.

YANG Q, WEI B, LI L Q, et al. Analysis of resonant cavity by discontinuous Galerkin time domain method [J]. Chinese journal of radio science,2016,31(4):707-712. (in Chinese). DOI:10.13443/j.cjors.2015111701

聯(lián)系人： 楊謙 E-mail: zijiangy@126.com