執(zhí)教：張麗萍點評：張新春

“找次品”教學實錄及點評

執(zhí)教：張麗萍點評：張新春

一、情景導入

師：張老師今天帶來3瓶口香糖給你們做見面禮。3瓶口香糖都一樣多、一樣重，可是其中有一瓶被我那淘氣的女兒悄悄地吃了幾片，你能想辦法幫我找到這一瓶嗎？

生1：用手掂一掂就知道哪個重哪個輕。（板書：掂）

生2：用天平稱。（板書：稱）

生3：數(shù)一數(shù)。（板書：數(shù)）

師：同學們想到了3種方法，你覺得哪種方法最好？為什么？

生4：我覺得稱是最好的，因為稱可以準確地稱出重量，比較快。

師：那如果用數(shù)的方法，我數(shù)過的口香糖你會不會吃？

生：不會，太臟了。

師：掂的辦法呢？（將2瓶口香糖放入學生手上，讓其感受掂的辦法不夠準確）

師小結：這樣看來，稱的辦法又簡捷又準確。

二、探究新知

師：張老師這里準備了一架沒有砝碼的天平，這架天平老師已經調試平衡了，你打算怎么稱呢？

生5：在天平的左右兩邊各放1瓶口香糖，還剩下1瓶。（教師根據(jù)學生的敘述進行操作）

師：這時候出現(xiàn)了什么情況？

生5：天平不平衡。（師記錄）

師：剛剛有同學說有兩種情況，還有一種什么情況？

生6：將輕的那瓶換下來，把另外一瓶放上去。（教師根據(jù)學生的敘述進行操作）

師：這時候天平怎么樣了？

生6：平衡。（師記錄）

師小結：3瓶口香糖不管怎么樣放，總會左邊1瓶，右邊1瓶，還剩下1瓶。會出現(xiàn)不平衡和平衡兩種情況。那你告訴老師，如果天平平衡了，輕的那瓶在哪里？

生7：就是剩下的這一瓶。（師用紅色粉筆標出）

師：那如果不平衡呢？

生8：輕的那瓶就是天平高的那一端的那瓶。

師：假定輕一些的這瓶口香糖是次品，那我們需要稱幾次可以找到這瓶次品？

生：1次。

師：不管是哪種情況，都只需要稱1次就可以找到次品。如果允許你稱1次，除了在3瓶當中可以找到1瓶次品，還可以在幾瓶當中找到1瓶次品呢？

生：2瓶，4瓶。

師：幾瓶是肯定稱1次就可以找到的？

生：2瓶。

師：有同學猜是4瓶，4瓶可以嗎？老師這里正好準備了4瓶口香糖，其中3瓶一樣重，有1瓶就是被吃了幾片的次品。稱1次就一定能找到次品嗎？

生9：不一定，如果稱1次（2瓶）天平是平衡的，那剩下的2瓶中不能確定哪一瓶是次品。但如果稱1次天平不平衡的話就可以找到次品。

教師操作，天平出現(xiàn)了不平衡。學生反饋還要考慮另一種情況，教師進一步強調“至少”“保證”的含義。

師：要保證找到次品，就只能考慮左右平衡的情況（教師操作）。你找到次品了嗎？（沒有）但是現(xiàn)在你能確定什么？次品在哪里？

生：次品在剩下的2瓶中。

師：雖然沒有找到次品，但是我們確定了次品所在的那一部分。次品所在的那一組我們稱之為“次品組”。還有別的稱法嗎？

生10：左邊2瓶，右邊2瓶。（教師操作，學生觀察后發(fā)現(xiàn)天平傾斜）

師：（用圖記錄：左邊2瓶，右邊2瓶）現(xiàn)在你可以確定什么？

生11：我確定次品在天平高的那一邊，高的那一邊就是次品組。

師：我們雖然沒有找到次品，但是找到了次品組（標出次品組）。不管是什么情況，1次只能找到次品組，還得再稱1次才能找到次品。所以在4個物品當中找1個次品至少得稱幾次？

生：2次。

師：現(xiàn)在請你告訴我稱1次最多在幾個物品當中找到次品？

生：3個。

師：4個必須稱幾次？

生：2次。

師：如果要在更多的物品當中找1個次品，用天平稱該怎么找呢？今天這節(jié)課我們就一起探究找次品中的數(shù)學問題。（板書課題：找次品）

三、深入探究

課件出示：工人師傅做了一批零件，對質量的精確度要求很高。現(xiàn)在抽測了9個零件，已知其中有8個一樣重，是正品，有1個輕了3克，是次品。至少稱幾次就能保證找到次品？

師：題目當中有哪幾個？

生：至少、保證。

師：現(xiàn)在請大家分組擺一擺，說一說，看到底至少需要稱幾次就能保證找到這個次品。

學生活動后反饋。

生12：我們這組發(fā)現(xiàn)需要稱3次。第一次是左邊放4個，右邊放4個，剩下1個，如果天平平衡，次品就是剩下的這一個。但1次不能保證找到。如果不平衡，把重的一邊拿下來，把輕的4個再分成每邊2個，輕的那一邊是次品組，再稱。（師記錄過程）

師：稱1次找到次品組，有4個，4個還需要稱幾次？

生12：2次。

師：還需要再分組進行嘗試嗎？

生：不需要，看到4個就一定得稱2次。

師：那一共要稱幾次呢？

生：3次。

師：還有沒有稱的次數(shù)更少的方案呢？

生13：我們這組發(fā)現(xiàn)只要稱2次。第一次是左邊3個，右邊3個，剩下3個。如果天平平衡，剩下的3個就是次品組。3個已經探究過了，只需稱1次就可以找到次品。如果不平衡，高的一邊的3個為次品組，也只需再稱1次。（師記錄過程）

師：為什么兩種方案都是分成3組，一個只要稱2次，另一個需要稱3次呢？你發(fā)現(xiàn)了什么秘訣？

生14：我發(fā)現(xiàn)第二種方案中次品組只有3個。次品組里的數(shù)量為3時再稱1次就能找到次品，如果次品組里的數(shù)量為4時得再稱2次才能找到次品。

師：你說得很好。這兩種方法都能保證找到次品，哪一種方案更好呢？（第二種方案）次數(shù)最少的當然就是最好的方法。今天我們一起研究的就是找次品的最佳策略。（板書：最佳策略）

四、自主探究

課件出示：探究5、6、7、8個物品的分組情況。

師：請自己選擇一個你喜歡的物品個數(shù)進行探究。

學生動手探究，然后匯報。教師根據(jù)學生的反饋，將方法記錄在表格中。

師：大家仔細觀察，這么多稱法中哪些是保證找到次品又是次數(shù)最少的？你有什么話要跟大家說？

教師根據(jù)學生的回答找出每個數(shù)據(jù)的最優(yōu)策略。

師：仔細觀察，你們發(fā)現(xiàn)怎樣的策略是最佳策略了嗎？

學生回答，教師引導學生發(fā)現(xiàn)，要想2次就稱出次品，所有的分組里面只能看到2或3。允許稱2次，在4～9個物品中可以找到次品。

師：現(xiàn)在有10個物品，其中有1個是次品，用天平至少稱幾次才能保證找到次品？

學生分析得到10個物品中至少要稱3次才能保證找到次品。

師：允許稱3次除了在10個物品中可以找到次品，還可以在幾個物品中找到次品？

學生猜想15，18，21，27。

師：還有大的嗎？

生：沒有。

師：稱3次，每一次最大不能超過9，所以稱3次最多在27個物品中找到次品。那么稱4次呢？稱5次呢？請大家課后再進行研究。這節(jié)課就上到這里，下課！

“找次品”是一個關于最佳策略的課題。9個物品中，有8個完全一樣，另一個稍輕（或稍重），稱之為次品。我們需要用一架沒有砝碼的天平通過稱量找出這個次品。一般而言，要解決這個問題并沒有什么難度，只需一次次進行兩兩比較即可。我們的問題是：怎樣保證稱量次數(shù)最少，即要尋找最佳策略——通常表述為：分成3份，盡量平均分。

策略本身并不重要，重要的是尋找這一策略的過程。在這個過程中，學生需要進行嘗試與調整，通過觀察與推理、概括與總結、分類與比較等活動尋找并確認最佳策略。

為了讓學生很好地經歷上述過程，張老師從一個簡單的生活問題著手：3瓶口香糖中有1瓶少了幾片，如何用天平稱量的方法把那一瓶找到。在解決問題的過程中，學生要經歷觀察、比較與推理的過程：天平兩邊各放一瓶，如果不平衡如何，如果平衡又如何。在天平不平衡的情況下，次品由觀察而得到，在天平平衡的情況下，次品由推理而得到。在解決這個問題的過程中，通過對比，學生體會到了兩個很重要的詞：保證、至少。

在解決從9個物品中找次品的過程中，張老師創(chuàng)造性地給出了“次品組”的概念。這一概念有很好的概括性。事實上，尋找次品的過程就是不斷縮小次品組規(guī)模的過程。9個物品，若平分（4+4+1），則通過一次稱量，能保證次品組的規(guī)模不超過5個。若平均分成3份，則可保證次品組的規(guī)模為3個。這是最佳策略。

從9個物品中找次品的問題解決后，張老師繼續(xù)引導學生研究從5、6、7、8個物品中找次品的問題。通過這一系列研究，師生嘗試總結出一般結論：通過1次稱量，可以解決3個以內物品中找次品的問題；通過2次稱量，可以解決9個以內物品中找次品的問題；通過3次稱量，可以解決27個以內物品中找次品的問題。

在整個解決問題的過程中，教師的思路是清晰的，學生的活動是充分的。

在此，我們需要提及，所謂“盡量平均分成3組”是由天平的特征決定的：天平有兩個托盤，每個托盤上只能放相同數(shù)量的物品，一般情況下，還可以有一些物品沒有被放到天平上。在研究找次品的問題時，我們的出發(fā)點應該是往天平上放多少個物品。如果放得太少，我們希望次品就在天平上，而我們擔心的是次品沒有被放上天平，從而使得次品組規(guī)模太大。若放得太多，我們希望次品沒有被放上天平，而我們擔心的是次品在天平上?？傊瑸榱舜_保次品組不至于太大，我們不能往天平上放得太多，也不能放得太少，定量分析一下，不難得到：平均分成3份最佳。比如，從100個物品中找次品，我們當然可以在天平兩邊各放50個，這樣能保證接下來只要從50個物品中找次品即可?；蛘呶覀冊谔炱絻蛇吀鞣?0個，剩下20個不放到天平上去。這樣，我們可以保證接下來只要從40個物品中找次品即可。若往天平兩邊各放20個物品，剩下60個不放到天平上，則我們擔心次品正好在沒放上天平的60個中，從而，我們只能保證接下來從不超過60個物品中找次品。這種稱量反不如前面的了。做一點分析，我們就不難得到盡量平均分成3份是獲得最佳策略的充分條件。本課中，教師對這方面的分析稍顯不夠。

（作者單位：芙蓉區(qū)古曲中路育才第二小學長沙市教育科學研究院）