張新春

皮亞諾公理與自然數(shù)的序數(shù)意義（一）

張新春

1.皮亞諾公理

有一個不可考的說法，說愛迪生小時候遇到什么事情都要打破沙鍋問到底，常常提出一些稀奇古怪的問題。這些問題中就包括這樣一個問題：為什么2+2=4？據(jù)說老師因此認為他是一個不折不扣的糊涂蟲，十足的低能兒。老實說，遇到一個小孩問這樣一個問題，即使是今天的老師也很難作出好的回答。除了對一個小孩來說，要理解這樣的問題的確很難之外，更重要的是這個問題問到了數(shù)學中最基礎(chǔ)的內(nèi)容。為什么2+2=4？要回答這個問題，我們得回答2是什么，+是什么意思，+2又是什么意思，4又是什么。只有有了這些定義，我們再根據(jù)這些定義得到2+2，看2+2與4是不是表示同一個東西。應該說明的是，以下的做法不能算作對2加2為什么等于4的回答：左手拿2枚棋子，右手也拿2枚棋子，然后把這些棋子合在一起，說：你看，這是不是4枚？給幼兒園和一年級的小朋友這樣講可以。但這里問題還很多，比如：拿棋子來說事，好像是這樣的，只能用棋子嗎？你肯定回答：別的東西也可以啊，比如蘋果。那有沒有什么東西不是這樣的呢？你肯定回答：當然沒有啊，用什么東西都是這樣的。是嗎？為什么是這樣？你肯定回答……慢點，你肯定覺得有點不太好回答了。我們這里要玩另一個路子，要避免棋子這一類具體的東西，要玩概念，要抽象。就像人家跟你討論“白馬非馬1”的命題，你不能牽一匹白馬來問人家：你看這是不是馬？這不是同一個問題，也不是同一種思考方式。

要討論2加2為什么等于4的問題，涉及兩個定義：一是自然數(shù)，二是自然數(shù)運算（這里是加法）。而這些定義都可由皮亞諾公理規(guī)定。

皮亞諾（Giuseppe Peano，1858～1932），意大利數(shù)學家。1858年8月27日生于皮埃蒙特的庫內(nèi)奧附近的斯皮內(nèi)塔村；1932年4月20日卒于都靈。他由未定義的概念零、數(shù)及后繼數(shù)出發(fā)建立起自然數(shù)的公理系統(tǒng)。1890年，他任都靈大學的數(shù)學教授。為了使自己的推理干凈利落，皮亞諾使用了許多符號，比如用∈表示屬于，用a+表示后繼于a的下一個自然數(shù)。皮亞諾在他的所有數(shù)學表述中都采用這些符號。他的《數(shù)學公式》一書就是顯著的例子。他在講課時也使用這些符號，因而學生們造了反。他試著用全部及格的辦法去滿足他們，但沒起作用，因而他被迫辭去他在都靈大學的教授職位2。

我們將用皮亞諾的公理體系回答為什么2+2=4的問題。當然，按我們上面的分析，首先得回答2是什么、4是什么的問題，即什么是自然數(shù)的問題。

（提醒你一下，接下來要討論的是數(shù)學最基礎(chǔ)部分的問題，要尋找數(shù)學的起點，也就是從什么都沒有開始討論，因此，請你忘記你現(xiàn)在所知道的所有數(shù)學知識）

公理1.0是自然數(shù)。

有了這條公理，我們終于有了一個自然數(shù)了，它就是0。它有什么性質(zhì)？它與現(xiàn)實世界有什么聯(lián)系？對不起，我們現(xiàn)在都不知道。如果只有0這一個自然數(shù)，當然沒什么意思。我們還得想辦法保證有其他的自然數(shù)，即一個自然數(shù)后面得跟著另一個自然數(shù)。用皮亞諾的話說，就是一個自然數(shù)后面有一個后繼數(shù)。于是，皮亞諾給出：

公理2.若n是自然數(shù)，則n有一個后繼數(shù)，也是一個自然數(shù)，記作n+。

（注意：后繼數(shù)在這里是不加定義的，什么是后繼數(shù)，暫時不知道，我們只說每一個自然數(shù)都有一個后繼數(shù)。后繼數(shù)有什么性質(zhì)暫時也沒說。當然，接下來肯定要說幾條來明確后繼數(shù)的性質(zhì)）

公理1告訴我們，0是自然數(shù)，公理2告訴我們，如果你有了一個自然數(shù)，那么這個自然數(shù)后面一定會跟一個尾巴，并且這個尾巴也是自然數(shù)。

有了以上兩條公理，我們就可以有很多自然數(shù)啦：根據(jù)公理1，0是自然數(shù)；根據(jù)公理2，0的后繼數(shù)——記作0+——也是自然數(shù)。根據(jù)0+是自然數(shù)，再次根據(jù)公理2，0+的后繼數(shù)——記作0++——也是自然數(shù)，這樣繼續(xù)下去，0+++、0++++、0+++++、……都是自然數(shù)。你可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一個問題：這樣下去，記錄很不方便。于是需要約定一些符號分別表示這些自然數(shù)。0+用1表示，而0++（也就是1+）用2表示，0+++（也就是1++或者2+）用3表示，而3+就用4表示……當然，如此下去，需要的符號也會很多，甚至沒完沒了。好在我們有辦法用有限幾個符號記錄無限多個自然數(shù)，那就是位值原則，這些是后話了。你應該已經(jīng)意識到了，到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)說清楚了2是什么，4是什么啦：2是0的后繼數(shù)的后繼數(shù)，也就是1的后繼數(shù)；而4則是0的后繼數(shù)的后繼數(shù)的后繼數(shù)的后繼數(shù)。

如上所知，有了公理1，我們就有了一個自然數(shù)“0”，而再加上公理2，我們可以有很多自然數(shù)。但僅僅有這兩條，還不足以說明有無限多個自然數(shù)。極端地講，可以只有兩個自然數(shù)，但完全符合公理1和公理2：按公理1，0是一個自然數(shù)，按公理2，它得有一個后繼數(shù)0+，0+也是一個自然數(shù)，再按公理2：0+也得有一個后繼數(shù)，那就讓它是0吧，你看看，蛇咬住了自己的尾巴。只用兩個數(shù)就符合了公理1和2。（當然，你可以更極端：0是自然數(shù)，它的后繼數(shù)就是它自己……）你還可以考慮一下鐘表上的數(shù)，0是鐘面上的一個數(shù)（不妨把鐘面上的12點當成0），而鐘面上的每一個數(shù)都有一個后繼數(shù)，也就是說鐘面上的數(shù)符合前面提到的關(guān)于自然數(shù)的公理1和公理2。但我們知道，鐘面上只有12個數(shù)。如果只有兩個自然數(shù)，或者12個自然數(shù)，抑或有限個自然數(shù)，都不是我們所希望的。我們希望有足夠多的自然數(shù)——要多少有多少——事實上就是無限多個。問題在哪呢？如何解決呢？看來，皮亞諾還要準備一條公理。您能想象出皮亞諾會準備一條什么公理來避免這一問題，從而使得自然數(shù)變得無限多嗎？下期我們接著講。

1.“白馬非馬”是中國哲學史上一個有名的辯論，由春秋戰(zhàn)國時期名家公孫龍?zhí)岢?，詳見馮友蘭.中國哲學史新編（上）[M].北京：人民出版社，2004.3.

2.[美]M.克萊因.古今數(shù)學思想（第四冊）[M].上海：上海科學技術(shù)出版社，2002.8.

數(shù)學教育的真功夫是對數(shù)學與數(shù)學教育的把握，唯此才能成就好的數(shù)學課堂。湖南數(shù)學教師的老朋友，《湖南教育》的申建春老師開通了微信公眾號“與數(shù)學老師談心”，請關(guān)注。