王鋼林 劉沛清 / WANG Ganglin LIU Peiqing

(1. 中航工業(yè)航空研究院，北京 119001； 2. 北京航空航天大學(xué)，北京 100191)

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基于B樣條的機(jī)翼外形參數(shù)化方法研究

王鋼林1劉沛清2/ WANG Ganglin1LIU Peiqing2

(1. 中航工業(yè)航空研究院，北京 119001； 2. 北京航空航天大學(xué)，北京 100191)

描述了基于B樣條的機(jī)翼外形參數(shù)化方法在超臨界翼型和機(jī)翼氣動設(shè)計中的應(yīng)用研究。在機(jī)翼外形參數(shù)化過程中，通過B樣條曲線插值和擬合型值點生成機(jī)翼截面曲線和展向引導(dǎo)線，采用Coons-Gordon方法通過自由放樣和點陣插值獲得B樣條張量積曲面并進(jìn)行疊加，進(jìn)而獲得插值于機(jī)翼表面曲線網(wǎng)的B樣條曲面。還運(yùn)用CFD工具對不同機(jī)翼放樣面的氣動性能進(jìn)行了分析對比。通過研究，B樣條控制點可作為設(shè)計變量傳遞給氣動優(yōu)化程序，采用B樣條曲線或曲面表達(dá)式為各設(shè)計變量的線性組合，可以方便快捷獲取幾何梯度信息。

B樣條；參數(shù)化造型；Coons-Gordon；氣動優(yōu)化

0 前言

超臨界機(jī)翼設(shè)計是大型民用飛機(jī)設(shè)計的重點，精細(xì)而繁多的變量和約束被引入設(shè)計工作中，給單純依賴經(jīng)驗的設(shè)計方法帶來挑戰(zhàn)，自動化的優(yōu)化設(shè)計方法成為一種自然選擇。隨著多目標(biāo)多學(xué)科優(yōu)化逐漸興起，快速精確地生成翼型與機(jī)翼形狀，并實現(xiàn)參數(shù)化造型與優(yōu)化過程的整合，已成為當(dāng)前飛行器多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中的一個重要問題。使用遺傳算法等隨機(jī)優(yōu)化方法需要計算大量樣本，若采用精度較高的CFD模擬方法則總時間成本難以接受。使用梯度優(yōu)化算法則可大幅提高搜索效率，如離散共軛方法等[1]先進(jìn)方法已被應(yīng)用于各種氣動優(yōu)化設(shè)計平臺。在基于梯度的氣動優(yōu)化設(shè)計中，為了求解目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計變量的偏導(dǎo)數(shù)[2]，首先需完成氣動外形參數(shù)化并提取設(shè)計變量(如B樣條函數(shù)控制點坐標(biāo))，而后根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)方法借助CFD計算、網(wǎng)格變形等模塊進(jìn)行計算。

B樣條曲線和曲面具有良好的局部控制性質(zhì)和可微性。在大型飛機(jī)增升裝置設(shè)計中，B樣條曲線還可用于生成多段翼型、運(yùn)動機(jī)構(gòu)整流罩外形等，相對于傳統(tǒng)分段橢圓曲線、拋物線或三次曲線以及型函數(shù)法等造型手段，B樣條方法具有高度靈活、適用面廣、易于向三維推廣等優(yōu)勢，更加適用于計算機(jī)優(yōu)化設(shè)計平臺中的自動化成型。B樣條曲線可視為NURBS曲線的特例。國外已發(fā)表研究結(jié)果顯示，使用NURBS曲線逼近任意翼型，至多需要13個控制點便可以達(dá)到流場求解器所要求的幾何逼近精度。[3]但因加入控制點的權(quán)系數(shù)這一組變量，所以NURBS曲線逼近的求解過程變得更加復(fù)雜，而基于梯度的優(yōu)化算法的優(yōu)化效率對設(shè)計變量的個數(shù)不敏感，亦不追求對初始特定外形的精確逼近。

一些研究者已將B樣條方法應(yīng)用于氣動優(yōu)化中[3-4]，但多各表一處，缺乏對氣動外形參數(shù)化過程中各種B樣條算法的梳理總結(jié)。作者基于B樣條理論，編寫程序?qū)崿F(xiàn)了氣動外形曲線和曲面的擬合、插值等算法，將曲線網(wǎng)蒙面法用于超臨界機(jī)翼初始設(shè)計外形的參數(shù)化，以獲得優(yōu)化平臺所需的設(shè)計變量和梯度信息。

1 B樣條基礎(chǔ)

簡要介紹本文用到的B樣條基礎(chǔ)知識[5，8]。設(shè)U={u0,u1,…,un+p+1}是遞增的實數(shù)序列，則以U為樣條節(jié)點向量的第i個p次B樣條基函數(shù)Ni,p(u)由下面的遞歸形式給出：

(1)

當(dāng)計算中出現(xiàn)0/0型時約定其比值為0。

設(shè){Pi|0≤i≤n}?Rd為平面d=2或空間d=3內(nèi)的控制頂點序列，則p次B樣條曲線定義為：

為了統(tǒng)一記號的方便，本文中除特別注明的情況外，所有節(jié)點向量都定義在區(qū)間[0,1]上，并約定p次B樣條采用式(4)定義的節(jié)點向量：

其中兩端的0和1各出現(xiàn)p+1次，目的是使曲線插值首尾控制點P0和Pn。

將B樣條曲線以張量積形式推廣，可得B樣條曲面的表達(dá)式：

2 翼型曲線的B樣條參數(shù)化

2.1 曲線插值和最佳平方逼近

m+1個控制點Pi是未知量，通過全局曲線插值，離散的型值點信息被翻譯成了具有良好連續(xù)性的參數(shù)曲線。為保證精確描述翼型幾何外形，型值點個數(shù)一般不少于100個，因此方程組規(guī)模較大，控制點數(shù)較多，若希望用更少的控制點完成翼型的參數(shù)化，可采用最佳平方逼近的方法。

對于三次B樣條基函數(shù)而言，記為：

A=[N0,N1,…,Nn]

c=(P0,P1,…,Pn)T，

確定的

c=c*=(P0*,P1*,…,Pn*)T

圖1 目標(biāo)曲線與B樣條擬合曲線(分別有13和31個控制點)

圖2 弦長參數(shù)化法和向心參數(shù)化法擬合曲線在不同控制點數(shù)下的誤差平方和對比

在一定精度范圍內(nèi)，幾何精度更高不代表氣動性能更加接近。諸如局部最大誤差、頭部曲率半徑、切線或曲率連續(xù)性等幾何參數(shù)對翼型在不同飛行條件下的氣動性能都有重要影響。使用RANS-CFD數(shù)值模擬方法計算不同翼型在巡航狀態(tài)下的升阻力系數(shù)，計算用四邊形結(jié)構(gòu)網(wǎng)格數(shù)量約4萬，圓形計算域半徑約100倍翼型弦長。計算網(wǎng)格如圖3所示，計算結(jié)果見表1。

表1 不同擬合方案與目標(biāo)翼型的升阻力系數(shù)和升阻比(α=2°,Ma=0.71，Re=6.5×106)

圖4對比了部分翼型的表面壓力系數(shù)分布。目標(biāo)翼型上翼面超音速區(qū)壓力系數(shù)平順，13個控制點的擬合曲線由于上翼面外形不夠飽滿，翼型上最大負(fù)壓位置和激波位置略向后移，貢獻(xiàn)了更多的升力，但阻力系數(shù)增大，使得升阻比明顯低于其他翼型。使用31個控制點擬合得到的翼型升阻力系數(shù)更加靠近目標(biāo)翼型，但是壓力系數(shù)曲線具有局部波動。因為三次B樣條曲線是能確保整體二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的，所以壓力系數(shù)的波動是由于曲率的波動導(dǎo)致的。隨著控制點數(shù)增加，節(jié)點間距離靠近，抑制了局部曲率變化對擬合精度的影響，使用55個控制點后壓力系數(shù)曲線波動幅度減弱。

2.1 帶約束的曲線擬合

則問題轉(zhuǎn)化為求解帶S個插值約束條件的優(yōu)化問題。

記點集

λ=(λ0,λ1,…,λs)T

并令

分別令式(8)對Pi(i=0,1,…,n)和λj(j=0,1,…,s)的各偏導(dǎo)數(shù)等于0，將得到的線性方程組整理后得:

在原擬合問題上添加插值約束為局部形狀控制帶來方便，但需要添加與約束條件同等數(shù)量的控制點使方程組封閉。在控制點個數(shù)足夠多時，添加插值約束后整體擬合精度基本不變，但是會導(dǎo)致局部曲率波動增大。在使用31個控制點擬合的情況下，相對于無約束的擬合效果，添加約束后擬合翼型的升阻力系數(shù)與目標(biāo)翼型的差別略有增加(見表1)。通過適當(dāng)增加控制點，聯(lián)合應(yīng)用曲線擬合、插值以及切線約束等方法，可以更好地照顧對于局部精度的要求。在插值約束的同時可進(jìn)一步增加曲線端點處的切向約束，以精確刻畫翼型尾緣厚度與切角。但如非必要，為最佳平方逼近施加過多的約束條件是得不償失的。一方面，添加約束條件會帶來計算成本的增加；另一方面，插值約束對整體逼近造成干擾，使得難以對“不純粹”擬合方法的擬合精度做出合理預(yù)期

在使用基于梯度優(yōu)化算法的進(jìn)行翼型優(yōu)化設(shè)計時，在完成對初始外形的參數(shù)化后，選用B樣條曲線控制點坐標(biāo)作為設(shè)計變量，此時B樣條曲線可視為關(guān)于設(shè)計變量的線性表達(dá)式，則求解幾何外形對設(shè)計變量的梯度變得非常方便。對于B樣條曲面來說情況是類似的，所以易于向三維情形推廣，這也是B樣條幾何表示方法在先進(jìn)的氣動優(yōu)化研究中獲得關(guān)注和應(yīng)用的原因。

3 機(jī)翼的B樣條參數(shù)化造型

3.1 B樣條曲面自由放樣

翼型參數(shù)化是機(jī)翼參數(shù)化的基礎(chǔ)，在完成若干展向截面線的二維參數(shù)化后，下一步即需要生成機(jī)翼曲面，以在展向的相應(yīng)位置插值各個截面線，即通常說的放樣。對于CAD軟件而言，放樣方法被普遍采用，且被認(rèn)為最適用于交互設(shè)計[7]。當(dāng)能夠用B樣條曲面來完成放樣時，便完成了機(jī)翼的B樣條參數(shù)化。

截面線控制點是已知的，又可表示為

解出曲面控制點Pk,i，即得到機(jī)翼放樣曲面：

傳統(tǒng)飛機(jī)設(shè)計受制于圖形理論、計算機(jī)技術(shù)和制造工藝的限制，主要采用直紋曲面生成機(jī)翼外形。圖5是兩截面間的放樣。更多的截面線意味著可以選擇更高階的B樣條曲面進(jìn)行放樣，但v方向B樣條基函數(shù)次數(shù)應(yīng)滿足q≤r。現(xiàn)代大型運(yùn)輸機(jī)采用的超臨界機(jī)翼為滿足巡航性能需求，采用復(fù)雜的非線性曲面，且機(jī)翼尾緣存在彎折，簡單的線性放樣方法已不適用。圖6所示為一個截掉了翼梢小翼和翼根鼓包的超臨界機(jī)翼，由曲線網(wǎng)的形式呈現(xiàn)，如果選擇對其展向共七條截面線進(jìn)行放樣(三次B樣條)，得到的結(jié)果如圖7所示。

圖5 兩截面間的自由放樣曲面

圖6 超臨界機(jī)翼表面曲線網(wǎng)

圖7 超臨界機(jī)翼截面間的自由放樣

圖8中顯示放樣得到的機(jī)翼尾緣外側(cè)曲線向后突出，與實際平直的尾緣形狀不符。這是由于采用三次B樣條進(jìn)行放樣時機(jī)翼轉(zhuǎn)折處附近截面位置的變化影響了外側(cè)的放樣形狀。解決方法有兩個：(1)在機(jī)翼轉(zhuǎn)折附近增加兩到三個截面以屏蔽掉轉(zhuǎn)折信息的展向傳遞；(2)使用曲線網(wǎng)蒙面法，添加引導(dǎo)線約束曲面的輪廓。

圖8 自由放樣機(jī)翼的尾緣彎折現(xiàn)象

3.2 曲線網(wǎng)蒙面法的實現(xiàn)

本節(jié)將曲線網(wǎng)蒙面算法[8]應(yīng)用于帶引導(dǎo)線的曲面放樣，完成機(jī)翼外形的參數(shù)化表達(dá)，以便于向優(yōu)化平臺傳遞設(shè)計變量和變形的梯度信息。圖9是基于某型飛機(jī)翼型和機(jī)翼平面形狀初始設(shè)計由CAD軟件導(dǎo)出的雙向曲線網(wǎng)，由r+1=7條截面線(u曲線于弦向)和s+1=11條引導(dǎo)線(v曲線于展向)組成。分別記：

為表示截面線和引導(dǎo)線的B樣條曲線向量，其中每個參數(shù)式通過最佳平方逼近得到，且滿足插值曲線交點和端點切向約束條件，算法已在上文給出。

需指出的是，對所有截面線(或引導(dǎo)線)進(jìn)行擬合時，要統(tǒng)一以曲線上交點為界分段進(jìn)行型值點位置的參數(shù)化，以使任意一條截面線(或引導(dǎo)線)在與同一條引導(dǎo)線(或截面線)的交點位置的參數(shù)值相等，本文稱之為“參數(shù)一致化規(guī)定”。

使用三次B樣條得到的結(jié)果已經(jīng)在圖7給出。為便于觀察，圖中選擇各個曲面上三條截面線和五條引導(dǎo)線位置的曲線進(jìn)行顯示，以對比各個曲面對雙向曲線網(wǎng)和控制點陣的插值情況(原曲線網(wǎng)用虛線表示，實線為曲面在相應(yīng)位置的截線，實線覆蓋虛線即表示曲面插值曲線)。圖9(a)中，曲面L1插值所有截面線，而由于放樣時未考慮引導(dǎo)線的存在，故曲面L1在引導(dǎo)線位置存在偏差。類似地有所有引導(dǎo)線生成的自由放樣曲面，如圖9(b)所示，曲面插值所有引導(dǎo)線，由于未考慮截面線，所以在截面線位置存在較大偏差。

圖9 每個方向的放樣面、交點陣插值面和疊加后的曲面對部分引導(dǎo)線和截面線的插值情況

下一步，構(gòu)造曲面T(u,v)以插值所有的曲線網(wǎng)交點Ql,k。不妨先構(gòu)造r+1條曲線分別插值每截面線上的各s+1個交點，此曲線插值問題可作為式(6)的一個應(yīng)用加以解決。而后依式(10)～式(12)所述方法得到一個放樣面，此曲面插值于曲線網(wǎng)交點陣，但不插值各條曲線(圖9(c))

L1(u,v)、L2(u,v)和T(u,v)是定義在不同的節(jié)點向量上，通過節(jié)點加密使得L1(u,v)、L2(u,v)和T(u,v)在B樣條意義下是兼容的，即定義在相同的節(jié)點向量上，且有相同規(guī)模的控制點陣(有關(guān)節(jié)點插入和加密的實現(xiàn)方法，參見文獻(xiàn)[8])，將以上三個曲面做布爾運(yùn)算，用兩個放樣曲面之和減去一個插值點陣曲面，所得曲面即為要求的曲線網(wǎng)插值面S(u,v)，即，

S(u,v)的控制點Rj,i可以由下式來計算：

S(u,v)被稱作Gordon曲面，本節(jié)實現(xiàn)的曲線網(wǎng)蒙面法稱為Coons-Gordon造型方法[7-8]。最終，曲線網(wǎng)插值面以B樣條參數(shù)曲面的形式存在，其控制點可作為設(shè)計變量傳遞給優(yōu)化平臺，其空間坐標(biāo)可供后續(xù)模塊完成CFD前處理，B樣條曲面的導(dǎo)數(shù)可作為外形梯度信息供優(yōu)化算法調(diào)用。

3.3 不同放樣面對比分析

用上文描述的方法分別在圖6所示截面間完成自由放樣、帶前后緣引導(dǎo)線(共3條)放樣和帶全部11條引導(dǎo)線放樣，以生成B樣條曲面表示的機(jī)翼外形曲面。本節(jié)采用CFD數(shù)值分析方法，模擬上述三個機(jī)翼在巡航狀態(tài)下的流場，對比不同引導(dǎo)線放樣面的幾何外形和氣動力系數(shù)。計算用六邊形結(jié)構(gòu)網(wǎng)格數(shù)量約250萬，如圖10所示。計算邊界與機(jī)翼距離：弦向大于40倍弦長，展向大于10倍展長，上下大于40倍弦長。來流條件：Ma=0.785，Re= 2.5×107。

圖10 機(jī)翼附近的網(wǎng)格

表2是計算得到的三個機(jī)翼放樣面在1°、2°和3°時的升阻力系數(shù)和升阻比，氣動力系數(shù)參考平均氣動弦長為4.254m，參考面積63m2。自由放樣得到的機(jī)翼在各迎角下的升力系數(shù)和阻力系數(shù)均比其他兩個機(jī)翼高約1%～2%。3條引導(dǎo)線放樣得到的機(jī)翼升力系數(shù)最小，升阻比最小。11條引導(dǎo)線放樣得到的機(jī)翼在各個迎角下具有最小的阻力系數(shù)和最大的升阻比。

自由放樣得到的機(jī)翼平面形狀與帶引導(dǎo)線放樣得到的外形略有差異，主要表現(xiàn)為自由放樣曲面尾緣外側(cè)位置存在局部外凸，如圖11所示(亦如圖8所示)。因此，考慮到自由放樣機(jī)翼實際上具有更大的機(jī)翼面積，根據(jù)表2可以認(rèn)為11條引導(dǎo)線放樣

表2 三個機(jī)翼放樣面的升阻力系數(shù)和升阻比

得到的機(jī)翼巡航狀態(tài)下的氣動性能更好。為便于進(jìn)一步分析，沿機(jī)翼展向(圖示外露展長為b)，各放樣截面之間，自內(nèi)而外分別在7%b、17%b、23%b、32%b、50%b、80%b共六個位置截取剖面，以對比各機(jī)翼曲面在截面位置的幾何外形和表面壓力系數(shù)。截面位置標(biāo)示在圖11中。

圖11 自由放樣和帶引導(dǎo)線放樣機(jī)翼平面形狀對比

圖12～圖14為圖11所示各截面外形和表面壓力系數(shù)對比。

如圖12所示，7%b位置處，11引導(dǎo)線曲面的截線上翼面最高位置相對較低，因而上翼面壓力形態(tài)比較平緩，而下翼面最低位置附近相對突出，正壓力系數(shù)略??；自由放樣面截線最大厚度位置和激波位置略靠后，是其升力系數(shù)的貢獻(xiàn)因素。7%b截線位置靠近翼根，機(jī)翼展向變化梯度較大，自由放樣和不同引導(dǎo)線放樣對外形的引導(dǎo)和約束比較明顯，使得附近截面外形存在差異。

如圖13所示，在17%b、23%b、32%b位置，三個曲面的截線外形沒有明顯差別，原因是在這一段區(qū)域展向變形已經(jīng)趨于平緩，且附近布置了四個放樣截面，密集的放樣截面提供了更多的幾何約束，引導(dǎo)線對外形的改變已不明顯。另外，雖然中間的三個截面外形差別不大，但自由放樣面激波位置偏后這一現(xiàn)象在所有截面位置都存在，這可能是在展向受到外側(cè)截面激波位置偏后的影響，如圖14所示。

圖12 7%b處截面外形和表面壓力系數(shù)對比

圖13 三個截面外形和表面壓力系數(shù)對比

如圖14所示，在50%b位置，自由放樣面截面翼型厚度在下翼面略減小，弦長也小于其他兩個翼型。結(jié)合圖11中的機(jī)翼平面形狀來看，自轉(zhuǎn)折位置向后，由于提供的放樣截面少、間隔大，前文已經(jīng)指出，自由放樣曲面的尾緣發(fā)生彎折。發(fā)展至80%b位置，自由放樣面截面弦長明顯增加，翼型厚度明顯增大，翼型后部變化明顯，上翼面負(fù)壓力系數(shù)增加，下翼面正壓力系數(shù)減小。不同于翼根附近，在機(jī)翼展向外側(cè)，幾何變化呈現(xiàn)出明顯的線性特征，所給翼面引導(dǎo)線也近似直線，因此，在保持前后緣外形相同的情況下，使用11條直引導(dǎo)線與只用3條引導(dǎo)線的放樣效果幾乎相同。

引導(dǎo)線的布置直接影響到各截面型值點對應(yīng)的參數(shù)值和任意展向截面上節(jié)點參數(shù)的分布形態(tài)。反映到機(jī)翼的三維設(shè)計中，在不同展向位置上，翼型變形和扭轉(zhuǎn)可產(chǎn)生豐富的外形變化，但需要對放樣效果進(jìn)行更精細(xì)的控制以得到最優(yōu)的氣動外形。

圖14 兩個截面外形和表面壓力系數(shù)對比

4 結(jié)論

本文根據(jù)基于梯度優(yōu)化算法氣動優(yōu)化程序?qū)缀螀?shù)化造型和求解外形梯度信息的需求，選擇具有良好局部控制性和幾何外形表達(dá)能力的B樣條方法，對B樣條曲線帶約束擬合、B樣條自由放樣法以及基于B樣條曲面的Coons-Gordon曲線網(wǎng)蒙面法等造型方法在翼型和機(jī)翼參數(shù)化造型中的應(yīng)用進(jìn)行了研究。

對于一般的超臨界翼型而言，使用30～50個控制點可使得對型值點的最大擬合誤差控制在翼型弦長的10-4量級。將要求局部插值的曲線擬合問題視為帶約束條件的優(yōu)化問題加以解決，可以在不大量增加控制點情況下做到在造型時對局部形狀的嚴(yán)格控制。B樣條曲面自由放樣算法是二維參數(shù)化向三維參數(shù)化過渡的橋梁。超臨界機(jī)翼的非線性外形使其有別于傳統(tǒng)直放樣機(jī)翼，用Coons-Gordon曲線網(wǎng)蒙面法復(fù)現(xiàn)了某型飛機(jī)超臨界機(jī)翼曲面。增加機(jī)翼前后緣和翼面引導(dǎo)線可以有效約束和引導(dǎo)機(jī)翼曲面的空間輪廓和表面脈絡(luò)。

B樣條方法具有良好的控制能力和交互性能，且便于實現(xiàn)和幾何文件的信息轉(zhuǎn)換。在完成初始外形的參數(shù)化后，B樣條曲線或曲面控制點可以直接作為氣動優(yōu)化的設(shè)計變量，B樣條參數(shù)式成為設(shè)計變量的線性表達(dá)式，簡化了氣動優(yōu)化中梯度信息的傳遞和計算。B樣條方法可以運(yùn)用于更復(fù)雜的氣動外形參數(shù)化造型中，例如可以向翼梢小翼、翼根鼓包、發(fā)動機(jī)短艙甚至飛翼等進(jìn)行推廣，并進(jìn)行氣動精度與幾何精度的綜合研究。另外，作者認(rèn)為用NURBS方法完成參數(shù)化是今后最有希望的選擇之一，但是需要克服三維造型時算法的改進(jìn)和實現(xiàn)問題。

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A Method of Shape Parameterization Based on B-spline for Wing Design

(1.Chinese Aeronautical Establishment，Beijing 119001，China；2. Beijing University of Aeronautics and Astronautics， Beijing 100191， China)

The paper describes the application of B-spline parameterization method on the supercritical airfoil and wing design. Wing section curves and span wise guide lines are generated by B-spline curve fitting and interpolation. Two lofting surfaces and a points-interpolation surface were overlaid by Coons-Gordon method, and bidirectional curve network on wing surface is interpolated.The aerodynamic characteristics of different loft surfaces were compared with CFD analysis. The research results show B-spline control points are passed to aerodynamic optimization process as design variables, and the B-spline expression can be treated as a linear combination of the design variables, which provides an easy access to the geometry gradient information.

B-spline; shape parameterization; Coons-Gordon; aerodynamic optimization

10.19416/j.cnki.1674-9804.2016.03.002

V211.41

A