鄭世旺

(商丘師范學(xué)院 物理與電氣信息學(xué)院，河南 商丘 476000)

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變質(zhì)量完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性與守恒量

鄭世旺

(商丘師范學(xué)院 物理與電氣信息學(xué)院，河南 商丘 476000)

針對(duì)變質(zhì)量的完整約束力學(xué)系統(tǒng)建立了相應(yīng)的Tzénoff方程,給出了Tzénoff方程Mei 對(duì)稱性共形不變性成立時(shí)所需的條件,進(jìn)一步研究了Mei對(duì)稱性共形不變性所能導(dǎo)出的守恒量，得到了直接用Tzénoff函數(shù)來(lái)表達(dá)的該守恒量的表達(dá)式和能夠?qū)С鲞@種守恒量的判定方程,最后用實(shí)例來(lái)說(shuō)明研究結(jié)果的應(yīng)用.

變質(zhì)量；完整約束系統(tǒng)，Tzénoff方程，共形不變性，守恒量

0 引 言

眾所周知，動(dòng)量守恒、動(dòng)量矩守恒、能量守恒等物理量的守恒規(guī)律，不但具有明顯的物理意義，而且在工業(yè)革命、航空航天技術(shù)、國(guó)防科技等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用.其實(shí)，在不同的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，也存在著具體的、形式不同的守恒量，在這些守恒量中，有的物理意義明顯，有的物理意義不明顯，還有的守恒量須進(jìn)一步探究其潛在的物理意義及其應(yīng)用．通過(guò)什么方法來(lái)尋找實(shí)際力學(xué)系統(tǒng)的守恒律呢？德國(guó)科學(xué)家Noether給出了一種方法[1].進(jìn)入新的世紀(jì)以來(lái),對(duì)稱性和守恒量的研究成為了我國(guó)學(xué)者的一個(gè)熱點(diǎn),并取得了豐碩成果[2-10].上世紀(jì)末,俄羅斯學(xué)者Galiullin等人首次研究了Birkhoff 系統(tǒng)的共形不變性或共形對(duì)稱性，提出了共形不變性和共形因子的概念[11].我國(guó)學(xué)者從2008年開始研究了Lagrange 系統(tǒng)的共形不變性及其守恒規(guī)律[12]，從此推動(dòng)了共形不變性及其守恒量的研究，現(xiàn)已擴(kuò)展到許多領(lǐng)域[13-17]．Tzénoff方程如同Lagrange方程、Appell方程、Birkhoff方程、Nielsen方程一樣是動(dòng)力學(xué)微分方程的一種，近10年來(lái)關(guān)于該動(dòng)力學(xué)方程對(duì)稱性與守恒量的研究取得了不少成就[18-24],但關(guān)于Tzénoff方程共形不變性的研究成果不多，目前才剛剛起步[25-26]．

由于空中飛行的導(dǎo)彈、火箭、衛(wèi)星、噴氣飛機(jī)等航天器一般都是屬于質(zhì)量變化的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，故變質(zhì)量動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究對(duì)航空、航天領(lǐng)域有重要的理論價(jià)值，但由于系統(tǒng)的質(zhì)量在不斷變化之中，使其動(dòng)力學(xué)研究變得更復(fù)雜、更困難，常質(zhì)量系統(tǒng)僅僅是其特殊情況．本文針對(duì)完整約束力學(xué)系統(tǒng)在質(zhì)量變化的條件下，研究了Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性及其守恒量，力求給出該系統(tǒng)Mei對(duì)稱性共形不變性的判定方程及其所能導(dǎo)出守恒量的具體形式及產(chǎn)生這種守恒量的必備條件，最后給出了研究結(jié)果的一個(gè)應(yīng)用．

1 變質(zhì)量完整系統(tǒng)的Tzénoff方程

若系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)量為N，時(shí)刻t時(shí)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和位矢分別為mi和ri,，在時(shí)間變化微量dt后,質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的變化量為dmi．則質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量可由廣義坐標(biāo)、廣義速度和時(shí)間來(lái)確定，即

(1)

系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù)為[27]

(2)

(3)

變質(zhì)量完整約束力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff方程應(yīng)為[24]

(4)

由方程(4)得

(5)

通過(guò)(5)式可直接求出廣義加速度[21]

(6)

(6)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得到廣義加加速度

(7)

若構(gòu)造Tzénoff函數(shù)為

(8)

則變質(zhì)量完整系統(tǒng)的Tzénoff方程將有更簡(jiǎn)單的形式

(9)

方程(4)和方程(9)雖然表面形式不同，其實(shí)是等價(jià)的．

2 變質(zhì)量完整約束力學(xué)系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性

設(shè)時(shí)間和廣義坐標(biāo)的無(wú)限小變換

或

(10)

其中ε是一無(wú)限小參數(shù)，ξ0,ξs為無(wú)限小生成元.于是有

(11)

(12)

(13)

其中

則稱這種方程的形式不變性為變質(zhì)量完整約束力學(xué)系統(tǒng)Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性．

若把(11)～(13)式代入方程(4)和(9)可得到

判據(jù) 若質(zhì)量變化的完整約束力學(xué)系統(tǒng)Tzénoff函數(shù)K，在生成元ξ0,ξs變換下，滿足方程

(14)

或

(15)

則Tzénoff方程具有Mei對(duì)稱性.

(16)

或

(17)

(18)

或

(19)

成為

(20)

反之,若Tzénoff方程(4)成立共形不變性,方程(16)和(18)相減得到

(21)

3 變質(zhì)量完整約束力學(xué)系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性所產(chǎn)生的守恒量

完整約束力學(xué)系統(tǒng)在質(zhì)量變化時(shí)，Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性由于限制條件較多,尋找守恒量較為困難,但若滿足下列條件，也可產(chǎn)生守恒量.

定理 完整約束力學(xué)系統(tǒng)在質(zhì)量變化時(shí)，對(duì)于Tzénoff方程Mei對(duì)稱性共形不變性的生成元ξ0,ξs，若存在函數(shù)G使

(22)

或

(23)

則系統(tǒng)直接產(chǎn)生一種新守恒量

(24)

或

(25)

(22)、(23)式中

下面僅以第一種情況進(jìn)行證明

證明 把(24)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并考慮到方程(4)和Mei對(duì)稱性共形不變性的判定方程(14)、(16)成立，有

4 應(yīng)用例子

已知變質(zhì)量完整力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù)為

(26)

其中

m(t)=m0e-γt, (m0和γ為常數(shù))

(27)

微粒分離的相對(duì)速度為

(28)

試研究該力學(xué)系統(tǒng)Mei對(duì)稱性的共形不變性和其導(dǎo)出的守恒量.

解 由式(27)、(28)和(3)可知P1=0, P2=0，把Tzénoff函數(shù)(26)代入變質(zhì)量完整系統(tǒng)的Tzénoff方程(4)，得

(29)

有

(30)

取ξ0=0,ξ1=q1,ξ2=q2,則有

(31)

有

(32)

所以,共形不變性的判定方程(16)成立,變質(zhì)量完整約束力學(xué)系統(tǒng)具有Mei對(duì)稱性的共形不變性,其共形因子

(33)

由(29)、 (32)式的關(guān)系,有

(34)

(35)

故Mei對(duì)稱性判據(jù)方程(14)成立,系統(tǒng)同時(shí)也具有Mei對(duì)稱性.

根據(jù)結(jié)構(gòu)方程(22)得到.

(36)

由(36)、(24)式得新守恒量

5 結(jié) 論

針對(duì)完整約束力學(xué)系統(tǒng)在質(zhì)量變化的狀態(tài)下，給出了兩種等價(jià)的Tzénoff方程，探究了該狀態(tài)Mei對(duì)稱性的共形不變性及其產(chǎn)生的守恒量，并給出了Mei對(duì)稱性共形不變性的兩種等價(jià)的判定方程及其所能產(chǎn)生的守恒量．該研究結(jié)果對(duì)探究變質(zhì)量系統(tǒng)在共形不變性條件下的守恒規(guī)律有一定的參考價(jià)值．

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[責(zé)任編輯：徐明忠]

Conformal invariance and conserved quantity of Mei symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems with variable mass

ZHENG Shiwang

(School of Physics and Electrical Information,Shangqiu Normal University,Shangqiu 476000,China)

The corresponding Tzénoff equation is established for the holonomic systems with variable mass.Then the conditions which needed to form the conformal invariance and conserved quantity of Mei Symmetry for Tzénoff equations are given.The conserved quantity derived from conformal invariance of Mei symmetry is further explored.By using the Tzénoff functions,the discriminating functions of conserved quantities and the criterion equations which deduce the conserved quantities are directly obtained.Finally,an example is given to illustrate the application of the research results.

variable mass;holonomic constraint systems;Tzénoff equations;conformal invariance;conserved quantity

2016-09-22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372169)

鄭世旺(1963—)，男，河南蘭考縣人，商丘師范學(xué)院教授，主要從事分析力學(xué)的研究.

O316

A

1672-3600(2016)12-0032-05