劉玉忠, 王嘉慧

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

?

基于MDADT方法的離散切換系統(tǒng)L2增益分析

劉玉忠, 王嘉慧

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

主要研究一類離散時(shí)間的線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性和L2增益問題,將應(yīng)用一種模式依賴平均駐留時(shí)間(MDADT)的方法來分析這類離散時(shí)間線性切換系統(tǒng)的L2增益屬性。模式依賴平均駐留時(shí)間是指在系統(tǒng)每個(gè)切換模式下都有自己的平均駐留時(shí)間,這使得駐留時(shí)間與系統(tǒng)的模式相關(guān)。因此,旨在找到一個(gè)準(zhǔn)確的可容許的切換信號(hào)下的MDADT值,使得整個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。利用多Lyapunov函數(shù)方法得到系統(tǒng)穩(wěn)定及L2增益屬性的充分條件,該條件是典型的線性矩陣不等式,可用LMIs直接來求解。MDADT方法的引入,使得駐留時(shí)間小于一般情況下的平均駐留時(shí)間,從而使得系統(tǒng)全局一致指數(shù)穩(wěn)定的條件具有更少的保守性。

指數(shù)穩(wěn)定; 模式依賴平均駐留時(shí)間; 離散線性切換系統(tǒng);L2增益

0 引 言

切換系統(tǒng)是由一系列有限的子系統(tǒng)和一個(gè)切換規(guī)則構(gòu)成,其切換規(guī)則決定哪一個(gè)子系統(tǒng)被激活。帶有某種限制的切換信號(hào)可以看作穩(wěn)定或鎮(zhèn)定這類切換系統(tǒng)的一種有力的工具[1]。

在這些切換策略中,平均駐留時(shí)間(ADT)切換是較普遍也非常典型的一種,它保證了在有限時(shí)間內(nèi)僅有限個(gè)切換,并且在任意2種連續(xù)的切換模式中切換所需的平均時(shí)間應(yīng)不小于一個(gè)常量[2]。在近些年,ADT已經(jīng)在文獻(xiàn)[3-6]多次被用來分析很多切換性系統(tǒng)的穩(wěn)定問題。

然而,ADT切換的特性是計(jì)算在2種相鄰的不同切換中切換的平均時(shí)間,使之不小于一個(gè)正常數(shù)τa,文獻(xiàn)[7]介紹的就是應(yīng)用這種ADT切換來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于平均駐留時(shí)間依賴于2種獨(dú)立模式切換的子系統(tǒng)類Lyapunov函數(shù)的增長(zhǎng)率和Lyapunov函數(shù)的衰變率,從而產(chǎn)生了一定的保守性。為了更好的解決這一問題,文獻(xiàn)[8]中介紹了一種新的模式依賴平均駐留時(shí)間(MDADT),使得ADT的保守性大幅度降低。

盡管利用MDADT方法分析這種切換系統(tǒng)的穩(wěn)定已經(jīng)有了一些研究[8-9],但如何應(yīng)用MDADT方法來解決離散時(shí)間切換系統(tǒng)的L2增益問題仍然并不多見,這也促使了本文的研究。

1 問題描述

考慮如下的離散線性切換系統(tǒng):

(1)

其中:x(t)∈Rn和Z(t)∈Rm分別表示狀態(tài)變量和控制輸出;w(t)∈L2[0,∞)是擾動(dòng)輸入;σ(t)是切換信號(hào),在有限集合S={1,…,M}中取值,M是子系統(tǒng)個(gè)數(shù)。在切換序列0

記號(hào):Rn表示n維歐氏空間,P>0(≥0)表示P是正定實(shí)對(duì)稱矩陣(半正定)。

定義1 對(duì)切換信號(hào)σ(t),t2≥t1≥0,設(shè)Nσ(t1,t2)表示在區(qū)間(t1,t2)上的切換次數(shù),若存在正數(shù)N0和τa,使Nσ(t1,t2)≤N0+(t2-t1)/τa成立,則τa叫做平均駐留時(shí)間。

定義3 對(duì)切換信號(hào)σ(t),?T≥t≥0,設(shè)Nσp(T,t)表示在區(qū)間[t,T]上第p個(gè)子系統(tǒng)被激活的切換次數(shù),Tp(T,t)表示在區(qū)間[t,T]上第P個(gè)子系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)間,其中p∈S,如果存在正數(shù)Nop和τap使得Nσp(T,t)≤Nop+Tp(T,t)/τap?T≥t>0,可以稱σ(t)有模式依賴平均駐留時(shí)間(MDADT)τap,稱Nop為模式依賴振動(dòng)界。

引理 考慮線性切換系統(tǒng)(1),令γ>0,0<λ<1,μ≥1。如果存在矩陣Pp>0,?(p,q)∈S×S,p≠q,使得

(2)

(3)

則滿足ADT

(4)

的任意切換信號(hào)下,系統(tǒng)有L2增益屬性,且當(dāng)w(t)=0時(shí)全局一致指數(shù)穩(wěn)定。

證明 對(duì)于系統(tǒng)(1),定義Lyapunov函數(shù)如下:

(5)

這里Pp為正定矩陣且滿足式(2)、式(3)條件,則由式(1)、式(2)、式(5)和Schur補(bǔ)引理可得到

對(duì)于?T>0,令t0=0,t1,t2,…ti,ti+1,…表示區(qū)間[0,T]上的切換時(shí)刻,則通過上式可得

(6)

令L(t)=γ2wT(t)w(t)-ZT(t)Z(t),另一方面,可由式(3)和式(5)得到

則由式(6)可知

然后,結(jié)合定義1和上式可得到

假設(shè)系統(tǒng)(1)零擾動(dòng)輸入,并且對(duì)于?j∈[t0,T),L(j)=0,于是由上式得

于是可得到結(jié)論,如果ADT滿足條件(4),當(dāng)T→∞時(shí),Vσ(t)(t)趨近于零,因此系統(tǒng)全局一致指數(shù)穩(wěn)定。

接下來分析系統(tǒng)(1)的L2增益屬性,在零初始狀態(tài)下,可以得到

(7)

對(duì)式(7)兩邊同時(shí)乘以eα·(tk-1-t0),得

由定義2可以斷定,當(dāng)系統(tǒng)(1)在任意切換信號(hào)下帶有式(4)條件的ADT且滿足條件式(2),式(3)時(shí)有L2增益屬性,并且是全局一致指數(shù)穩(wěn)定的。

2 主要結(jié)果

定理 考慮線性切換系統(tǒng)(1),令γ>0,0<λp<1,μp≥1,p∈S。如果存在矩陣Pp>0,?(p,q)∈S×S,p≠q,使得

(8)

(9)

則滿足MDADT

(10)

的任意切換信號(hào)下,系統(tǒng)有L2增益屬性且當(dāng)w(t)=0時(shí)全局一致指數(shù)穩(wěn)定。

證明 定義Lyapunov函數(shù)如下:

(11)

這里Pp為正定矩陣且滿足式(8)、式(9)條件,則由式(1)、式(8)、式(11)和引理,可直接得到

(12)

類似于引理,可由式(9)和式(11)以及上式得到

然后,結(jié)合定義3和上式可得到

假設(shè)系統(tǒng)(1)零擾動(dòng)輸入,并且對(duì)于?j∈[t0,T),F(j)=0,于是由上式得

(13)

于是可得到結(jié)論,如果MDADT滿足條件(10),當(dāng)T→∞時(shí),Vσ(t)(t)趨近于零,系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

接下來,分析系統(tǒng)(1)的L2增益屬性,在零初始狀態(tài)下,結(jié)合式(13)和引理可以得到

由定義2可以斷定,當(dāng)系統(tǒng)(1)在任意切換信號(hào)下帶有式(10)條件的MDADT且滿足條件式(8)、式(9)時(shí)有L2增益屬性,并且是全局一致指數(shù)穩(wěn)定的。

3 結(jié) 論

本文討論了一類離散時(shí)間線性切換系統(tǒng)的L2增益問題,通過應(yīng)用MDADT切換的方法進(jìn)行研究,所提出的MDADT切換使得駐留時(shí)間與系統(tǒng)的模式相關(guān),比ADT切換具有更少的保守性。最后通過結(jié)合多Lyapunov函數(shù)和MDADT的方法,給出離散時(shí)間切換系統(tǒng)全局一致指數(shù)穩(wěn)定且具有L2增益的充分條件。

[1]LINH,ANTSAKLISPJ.Stabilityandstabilizabilityofswitchedlinearsystems:asurveyofrecentresults[J].IEEETransAutomatControl, 2009,54(2):308-322.

[2]SUN M, ZHAO J, HILL D J. Stability and L2-gain analysis for switched delay systems:a delay-dependent method[J]. Automatica, 2006,42:1769-1774.

[3]ZHU X L, YANG H, WANG Y. New stability criterion for linear switched systems with time-varying delay[J]. Inter J Robust and Nonlinear Contr, 2004,24(2):214-227.

[4]CHEN Q X, YU L, ZHANG W A. Delay-dependent output feedback guaranteed cost control for uncertain discrete-time systems with multiple time-varying delays[J]. IET Contr Theory and Appl, 2007,1(1):97-103.

[5]LIBERZON D, MORSE A S. Basic problem in stability and design of switched systems[J]. IEEE Contr Syst Magazine, 1999,19(5):59-70.

[6]HESPANHA J P, MORSE V N. Stability of switched systems with average dwell time[J]. IEEE Confer Decis and Contr, 1999,38:2655-2660.

[7]ZHAO X, LIU H, WANG Z. WeightedH∞performance analysis of switched linear systems with mode-dependent average dwell time[J]. Inter Jour Syst Science, 2013,44(11):2130-2139.

[8]ZHAO X, ZHANG L, SHI P. Stability and stabilization of switched linear systems with mode-dependent average dwell time[J]. IEEE Trans Automat Control, 2012,57(7):1809-1815.

[9]ZHAO X D, ZENG Q S. Stabilization of jump linear systems with mode-dependent time-varying delays[J]. Optimal Contr Appl and Methods, 2011,32:139-152.

[10]ZHANG L, BOUKAS E K, SHI P. Exponential stability analysis and stabilization of discrete-time nonlinear switched systems with time delays[J]. Int J Innov Comput Inf Control, 2008,18(11):1188-1207.

[11]ZHAI G S, HU B, KAZUNORI Y. Disturbance attenuation properties of time-controlled switched systems[J]. Journal Frank Inst, 2001,338:765-779.

An MDADT-Based approach forL2-gain analysis of discrete-time switched systems

LIUYuzhong,WANGJiahui

(College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

In this article, we study the stability and theL2gain analysis problem for a class of discrete-time switched linear systems. A mode-dependent average dwell time (MDADT) approach is applied to analyze theL2gain performance for these discrete-time switched linear systems. The proposed switching law is the average dwell time (ADT) switching in that each mode in the underlying system has its own ADT. Therefore, in this article, we aim at finding a more general MDADT such that a set of admissible switched signals can be found and the underlying system is stable. Taking advantage of multiple Lyapunov functional method, a sufficient condition is obtained to guarantee the globally uniformly exponentially stable (GUES) with theL2gain performance for the underlying systems. The condition is a typical linear matrix inequality, we can use LMIs to solve it; because MDADT is less than the commonly average time, a less conservative result is presented with this approach.

exponential stability; mode-dependent average dwell time; discrete-time switched system;L2gain

2016-07-06。

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201313)。

劉玉忠(1963-),男,遼寧新賓人,沈陽師范大學(xué)教授,博士。

1673-5862(2016)04-0409-04

TP273

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.04.006