劉 鋒，何 卓,譚祥勇

(重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400054)

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核實數(shù)據(jù)下非線性模型的序列相關(guān)性檢驗

劉 鋒，何 卓,譚祥勇

(重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400054)

研究了核實數(shù)據(jù)下非線性模型的序列相關(guān)檢驗問題,并運用經(jīng)驗似然的方法構(gòu)造了檢驗統(tǒng)計量，證明了該檢驗統(tǒng)計量在零假設(shè)下的漸近分布。數(shù)值模擬結(jié)果顯示：提出的檢驗效果比較理想。

核實數(shù)據(jù)；非線性模型；序列相關(guān)性檢驗；經(jīng)驗似然

考慮如下非線性模型：

Y=f(X,β)+ε

檢驗一個模型的殘差是否存在相關(guān)性是一項非常重要的工作,若模型的殘差存在序列相關(guān)性，則作出的相關(guān)統(tǒng)計推斷將會失去有效性。對于序列相關(guān)性問題的研究見文獻(xiàn)[5-6]。關(guān)于核實數(shù)據(jù)下非線性模型的序列相關(guān)研究還比較少。本文研究了核實數(shù)據(jù)下非線性模型的序列相關(guān)檢驗的問題。本文主要利用經(jīng)驗似然的方法來構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量。關(guān)于經(jīng)驗似然更多的技術(shù)見文獻(xiàn)[7-10]。

1 方法和主要結(jié)果

(1)

這樣，對εi進(jìn)行序列相關(guān)檢驗相當(dāng)于對ei進(jìn)行序列相關(guān)檢驗。假設(shè)εi具有p階序列相關(guān)，則ei也具有p階序列相關(guān)。

令uk=E(eiei+k),U=(u1,u2,…,up)，k=0,1,…,p。由文獻(xiàn)[5]可知：零假設(shè)和備擇假設(shè)分別為

H0:U=0v.s.H1:U≠0

令zi1=eiei+1,zi2=eiei+2,zip=eiei+p，且記

Zi=(zi1,zi2,…,zip)Τ,i=1,2,…,N-p

則在零假設(shè)下有E(Zi)=0,i=1,2,…,N-p，因此問題就轉(zhuǎn)換成檢驗E(Zi)=0。

由文獻(xiàn)[10]可知：可以利用經(jīng)驗似然的思想來檢驗E(Zi)是否為0。

(2)

(3)

對于參數(shù)β的估計,在零假設(shè)和主要數(shù)據(jù)下，利用最小二乘的方法可得

(4)

(5)

(6)

由Lagrange乘數(shù)法求得滿足式(6)的pi由式(7)給出。

(7)

其中λ是方程(8)的解。

(8)

將式(7)代入式(6)可得

(9)

令c為不同地方取不同值的正常數(shù)。對任意向量a，用‖a‖表示Euclidean模。設(shè)Dm是Rd(m>d+1)或其子區(qū)域上所有連續(xù)函數(shù)q(·)組成的類，使0≤i1+i2+…+id≤m,偏導(dǎo)數(shù)

一致有界。

下面的定理需要滿足以上條件:

C1：E‖X‖2<∞；

C6：K(·)是非負(fù)有界的m階核函數(shù)，且具有有界支撐，其中m同C4中的定義；

C8：N/n→γ，其中γ≥0為常數(shù)。

以上條件的合理性見文獻(xiàn)[4]。

由定理1可知：在給定的顯著性水平α下，當(dāng)對數(shù)經(jīng)驗似然比的值大于漸進(jìn)分布的1-α分位數(shù)時，則拒絕零假設(shè),即認(rèn)為殘差存在序列相關(guān)性。

2 模擬結(jié)果

為簡單起見，假設(shè)如下模型：

(10)

其中：Xi～U(0,1)；η～N(0，0.16)。對于任意εi，滿足下面4個模型：

模型AR(1):εi=ρεi-1+ξi,|ρ|<1;

模型MA(1):εi=ρξi-1+ξi,|ρ|<1;

模型AR(2):εi=a1εi-1+a2εi-2+ξi;

模型MA(2):εi=a1ξi-1+a2ξi-2+ξi;

其中ξi～N(0,0.4)。

假設(shè)核實數(shù)據(jù)和主要數(shù)據(jù)分別為(n,N)=(20,100),(50，100),(40，200),(100，200),(60，300),(150，300)。 對于每組樣本量情況,取顯著性水平為0.05,各做2 000次模擬,結(jié)果見表1-4。

由表1～4可以看出：不論誤差服從何種模型，在零假設(shè)下，隨著樣本量的增加，檢驗的水平迅速收斂到給定的顯著性水平0.05；在備擇假設(shè)下，不管誤差序列是AR模型還是MA模型，經(jīng)驗似然比檢驗的功效都表現(xiàn)得非常好；同時，隨著核實樣本量的增加,似然比檢驗的水平和功效表現(xiàn)得越來越好。

表1 經(jīng)驗似然比檢驗，誤差服從AR(1)模型

表2 經(jīng)驗似然比檢驗，誤差服從MA(1)模型

表3 經(jīng)驗似然比檢驗，誤差服從AR(2)模型

表4 經(jīng)驗似然比檢驗，誤差服從MA(2)模型

3 定理的證明

由于T=n-p，根據(jù)條件C8，在本文中不區(qū)分Op(n)和Op(T)。

引理1 在零假設(shè)和條件C1～C8下，有

證明 見文獻(xiàn)[4]的定理2.3。

引理2 在零假設(shè)和條件C1～C8下，i=1,2,…,N,有

(11)

和

(12)

證明 式(11)的證明見文獻(xiàn)[4]的引理4.1。下面證明式(12)。

由引理1和式(11)易得式(12)成立。

引理3 在零假設(shè)和條件C1～C8下，有：

證明 對任意的整數(shù)k(1≤k≤p),有

其中：

對于Δ2,利用引理2,易得

且EΔ2=0,所以Δ2=op(1)。

同理可得Δ2=Δ3=op(1)。

對于Δ4有

且E(Δ4)→0,故Δ4=op(1)。

因此，可以得到

令α是任意p維非零向量，αΤZi是在零假設(shè)下的獨立隨機變量序列,則

Cov(αTZi,αTZj)=αTCov(Zi,Zj)α=0，i≠j

由m步相依隨機變量中心極限定理[11]，可得

其中Z=ααΤσ4。然后運用Cramer-Wold方法，能夠推導(dǎo)引理3。

證明 引理4的證明與引理3類似，故略去證明。

引理5λ是拉格朗日乘子，有

‖λ‖=Op(T-1/2)

證明 證明類似于文獻(xiàn)[10]中的引理3。

定理1的證明

對(8)的泰勒展開和引理4～5，能得到

通過簡單的計算和根據(jù)引理3～5，有

通過引理3和引理5可知定理1成立。

4 結(jié)束語

因時間、花費等原因,只能得到一部分精確的觀測值,取而代之的是得到具有觀測誤差的替代值。目前，對于核實數(shù)據(jù)的研究主要是對相關(guān)的參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析,但對于序列相關(guān)性的檢驗研究得還較少。因此，本文研究了核實數(shù)據(jù)下非線性模型的序列相關(guān)檢驗,采用了經(jīng)驗似然的方法構(gòu)造了檢驗統(tǒng)計量,并證明了其漸進(jìn)分布。通過數(shù)值模擬驗證了本文所提出的檢驗統(tǒng)計量的有效性。

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(責(zé)任編輯 陳 艷)

Testing for Serial Correlation in Nonlinear Model with Validation Data

LIU Feng, HE Zhuo, TAN Xiang-yong

(College of Mathematics and Statistics, Chongqing University of Technology,Chongqing 400054, China)

This paper considers the serial correlation testing for nonlinear model with validation data,and uses the empirical likelihood method to establish the testing statistic,and justifies the asymptotic distribution of the statistic. Simulation results indicate that the testing statistic performs well both size and power.

validation data; nonlinear model; serial correlation test；empirical likelihood

2016-06-18 基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11471060)；重慶理工大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項目(YCX2014234)

劉鋒(1973—)，男，湖南新化人，博士，副教授，主要從事非參數(shù)統(tǒng)計研究,E-mail:fliu@cqut.edu.cn。

劉鋒，何卓,譚祥勇.核實數(shù)據(jù)下非線性模型的序列相關(guān)性檢驗[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2016(11):155-161.

format：LIU Feng, HE Zhuo，TAN Xiang-yong.Testing for Serial Correlation in Nonlinear Model with Validation Data[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(11):155-161.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.11.025

O212

A

1674-8425(2016)11-0155-07