黃仁帥

（百色學(xué)院，廣西百色533000）

數(shù)學(xué)分析中關(guān)于極限概念的幾點(diǎn)教學(xué)體會(huì)*

黃仁帥

（百色學(xué)院，廣西百色533000）

極限理論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)理論，貫穿數(shù)學(xué)分析整個(gè)學(xué)科，在數(shù)學(xué)分析的理論體系中具有重要地位。在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，由于極限概念本身的抽象性，學(xué)生對(duì)極限概念難以理解。文章就學(xué)生在學(xué)習(xí)極限概念時(shí)感到困惑的原因進(jìn)行分析，并就教師在教學(xué)中如何把握極限概念的教學(xué)給予一點(diǎn)建議。

數(shù)學(xué)分析；極限理論；極限概念

數(shù)學(xué)分析的真正意義上的創(chuàng)立始于17世紀(jì)發(fā)展形成的微積分學(xué)科，但極限理論作為數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)理論卻是到19世紀(jì)末才得以完善。極限理論作為數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)分析學(xué)科。因此，學(xué)好極限概念是學(xué)習(xí)與掌握數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵。并且，數(shù)學(xué)分析作為數(shù)學(xué)專業(yè)的一門主干基礎(chǔ)課，對(duì)學(xué)好其他后續(xù)課程意義重大，這進(jìn)一步地突顯了學(xué)好極限概念的重要作用。

極限概念作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時(shí)要掌握的第一個(gè)重要概念，數(shù)學(xué)分析中的很多重要概念都是通過(guò)極限來(lái)定義，如導(dǎo)數(shù)定義為差商的極限、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義為部分和數(shù)列的極限、定積分定義為黎曼和的極限等。事實(shí)上，以上概念定義的敘述都只需在極限定義敘述的基礎(chǔ)上依具體問(wèn)題稍作修改即可。然而，從數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，由于極限概念抽象、定義敘述冗長(zhǎng)、符號(hào)關(guān)系復(fù)雜，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)極限概念理解模糊，難以掌握。因此，把握好極限概念這一部分的教學(xué)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析具有重大意義，直接關(guān)系著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析及后續(xù)數(shù)學(xué)相關(guān)課程的學(xué)習(xí)與掌握。文章就學(xué)生在學(xué)習(xí)極限概念時(shí)感到困惑的原因進(jìn)行分析，并就教師在教學(xué)中如何把握極限概念的教學(xué)給予一點(diǎn)建議。

一、極限概念的精確化歷程

極限概念是數(shù)學(xué)分析中最重要的概念，且是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析第一個(gè)要接觸的較復(fù)雜的概念，故而很多學(xué)生都覺(jué)得極限概念不好理解，難以弄清極限為何如此定義的緣由。因此，還需讓學(xué)生對(duì)極限的發(fā)展歷程有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)。

從極限概念的精確化歷程來(lái)看，由樸素極限思想的萌芽至極限概念的精確化共經(jīng)歷了約兩千多年[1]。據(jù)已有文獻(xiàn)，公元前五世紀(jì)開始已經(jīng)產(chǎn)生了一些樸素極限思想，如古希臘雅典時(shí)期形而上學(xué)學(xué)者Zeno的“神行太保Achilles永遠(yuǎn)追不上烏龜”悖論和Antiphon為解“化圓為方”問(wèn)題的窮竭法，中國(guó)古代梁國(guó)宰相施的“一尺之棰，日取其辦，萬(wàn)世不竭”與魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”等都涉及了極限的思想。

到了17世紀(jì)上半葉，隨著自然科學(xué)領(lǐng)域的重大突破（行星運(yùn)動(dòng)三大定律、自由落體定律、動(dòng)量定律等），人們迫切需要新的數(shù)學(xué)工具來(lái)解決所面臨的新問(wèn)題，“微積分”應(yīng)運(yùn)而生。然而，雖然微積分的誕生和發(fā)展在眾多領(lǐng)域都取得了豐碩的成果，并引發(fā)了世界范圍內(nèi)的一場(chǎng)科學(xué)革命，但由于Newton和Leibniz在17世紀(jì)下半葉分別建立的微積分缺乏穩(wěn)固的基礎(chǔ)，引發(fā)了數(shù)學(xué)發(fā)展史上的第二次危機(jī)。

在微積分創(chuàng)立后的一百多年中，由于基礎(chǔ)的不牢固，人們?cè)诜治鰡?wèn)題時(shí)得到了許多錯(cuò)誤的結(jié)論，這使得數(shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)到必須為分析建立嚴(yán)格的基礎(chǔ)。經(jīng)過(guò)眾多數(shù)學(xué)家的努力，尤其是法國(guó)數(shù)學(xué)家Cauchy和德國(guó)數(shù)學(xué)家Weierstrass的突出工作，最終消除了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)并從根本上解決了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。Cauchy對(duì)微積分的基本概念給出了明確的定義，將導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)等都看成是某種極限過(guò)程，為分析的嚴(yán)格化邁出了關(guān)鍵的一步。Weierstrass的突出貢獻(xiàn)在于為分析的嚴(yán)格化創(chuàng)造了ε-δ語(yǔ)言，使分析從直觀的描述性語(yǔ)言中解放出來(lái)，并依此建立了實(shí)數(shù)理論，使得分析的嚴(yán)格化得以最終完成。

二、極限概念的教學(xué)

用極限去研究函數(shù)是數(shù)學(xué)分析區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的一個(gè)顯著標(biāo)志，數(shù)學(xué)分析中幾乎所有的概念都離不開極限。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的學(xué)生必須學(xué)好極限，教數(shù)學(xué)分析的教師必須教好極限。

從以往的教學(xué)情況來(lái)看，對(duì)于極限的定義[2]：

大多學(xué)生會(huì)有以下兩點(diǎn)疑惑：

1.關(guān)于正數(shù)“ε”。首先，ε具有絕對(duì)的任意性，這樣才能使得數(shù)列{an}無(wú)限的趨近于a。另外，ε又具有相對(duì)的固定性，這樣才能估算an與a的接近程度。正是ε的這種兩重性給學(xué)生帶來(lái)了很大的困惑，導(dǎo)致學(xué)生不理解Mε（M為正的常數(shù)）、等在本質(zhì)上是一樣的，也不理解為什么有時(shí)候可以將ε限定在一些較小的范圍內(nèi)

2.關(guān)于“?N∈N+”。一方面，正整數(shù)N是通過(guò)解不等式“|an-a|＜ε”來(lái)確定的，即N的值跟ε有關(guān)。另一方面，正整數(shù)N并不是唯一的，它并不是關(guān)于ε的函數(shù)。這種跟ε“若即若離”的模糊感，使得許多學(xué)生不敢輕易確定正整數(shù)N的取值。再者，由于常常將N看成是一個(gè)充分大的正整數(shù)，故而很多時(shí)候在證明的開始就限定了N要大于某些正數(shù)，如N≥7或N＞9等，這進(jìn)一步使得學(xué)生對(duì)極限概念的邏輯結(jié)構(gòu)的理解混亂不清。

針對(duì)上述兩點(diǎn)，要求教師在講授極限概念時(shí)必須反復(fù)強(qiáng)調(diào)以下兩點(diǎn)：

1.關(guān)于正數(shù)“ε”，必須強(qiáng)調(diào)ε在給定之前是任意的，并且應(yīng)該是較小的一個(gè)正數(shù)，但在給定之后就是一個(gè)常數(shù)。ε的絕對(duì)任意性是通過(guò)無(wú)限多個(gè)相對(duì)固定性來(lái)進(jìn)行刻畫的，是一個(gè)運(yùn)動(dòng)的無(wú)限過(guò)程，不能用靜止、不變的觀點(diǎn)來(lái)進(jìn)行分析。

2.關(guān)于“?N∈N+”，強(qiáng)調(diào)N的是由相對(duì)固定的ε代入不等式“|an-a|＜ε”求解得到。接著，由于ε絕對(duì)任意性，N的取值又隨ε的變化而變化。但是，由于N的不唯一性，所以不能說(shuō)N是ε的一個(gè)函數(shù)，只是說(shuō)跟ε有關(guān)而已。

為加深學(xué)生對(duì)上述兩點(diǎn)的理解，在教學(xué)中除了采用講授、討論、練習(xí)相結(jié)合的方式外，還可以通過(guò)Matlab軟件的畫圖功能對(duì)一些數(shù)列的極限過(guò)程進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

然后通按回車鍵，可再現(xiàn)數(shù)列{an}隨n的變化所生成的點(diǎn)列的圖形，最終得到的圖形如圖1。要想觀察數(shù)列{bn}散點(diǎn)圖，只需將程序中的“an=sin（10./n+pi/2）”改寫成“bn=sin（20./ n+pi/2）”，然后重復(fù)上述操作即可得圖2。

圖1　數(shù)列{an}的圖像

圖2　數(shù)列{bn}圖像

可以看到，雖然兩個(gè)圖像步調(diào)不太一致，但隨著n變得越來(lái)越大，兩個(gè)數(shù)列最后都趨向于1。

通過(guò)這樣的方式，不僅讓抽象的極限概念用圖形直觀的表現(xiàn)出來(lái)，也利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)以致用的意識(shí)，使課堂變得更有趣。

三、結(jié)束語(yǔ)

極限概念作為數(shù)學(xué)分析的第一個(gè)重要概念，教師必須把握好這一概念的教學(xué)。從多個(gè)角度入手進(jìn)行分析講解，將極限概念中各個(gè)量的抽象關(guān)系理清楚，并給學(xué)生以直觀的展示。

[1]馬知恩，王綿森.高等數(shù)學(xué)疑難問(wèn)題選講[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]胡良劍，孫曉君.MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2006.

The limit theory is the basis of mathematical analysis,which runs through the whole course of mathematics analysis,and plays an important role in the theoretical system of mathematical analysis.In the teaching practice,it is found that students cannot understand the concept of limit because of the abstract nature of the limit concept itself.This paper makes an analysis of the reasons why students feel confused in the concept of learning limit,and gives some advice on how to grasp the concept of limit in teaching.

mathematical analysis;limit theory;limit concept

O171

A

2096-000X（2016）24-0120-02

廣西高校中青年教師基礎(chǔ)能力提升項(xiàng)目（KY2016LX354）；百色學(xué)院校級(jí)教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目（2016JG54）

黃仁帥（1987-），男，廣西賀州人，百色學(xué)院教師，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。