楊平

（廣東省肇慶市端州區(qū)肇慶中學(xué)高中部）

課堂實錄：一個疑問引發(fā)的風(fēng)波

楊平

（廣東省肇慶市端州區(qū)肇慶中學(xué)高中部）

在教學(xué)直線與雙曲線的位置關(guān)系時，為了讓學(xué)生更直觀地了解直線與雙曲線的交點情況，借用GeoGebra軟件進(jìn)行演示。在演示中通過一個學(xué)生的疑問引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、大膽質(zhì)疑、自主探究、實踐求證，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上深入探討了直線與雙曲線的相關(guān)知識。

直線；雙曲線；數(shù)形結(jié)合；GeoGebra

GeoGebra是一個結(jié)合幾何、代數(shù)與微積分的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，它是由美國佛羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter設(shè)計的，GeoGebra融合了代數(shù)與幾何兩大學(xué)科，做到了圖形與代數(shù)方程的同步變化，實現(xiàn)了真正的動態(tài)演示。可以通過在下方的命令輸入框輸入圓錐曲線方程的方式（如輸入“x^2+ y^2=1”）直接畫出圖形，甚至可以用向量運算的方式輸入（A+B+ C）/3來直接顯示△ABC的重心點。

一、波瀾不驚：常規(guī)教學(xué)在信息展示中傳授知識

在介紹直線與雙曲線的位置關(guān)系時，教師可以通過一個思考題來探究：討論直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=1的交點個數(shù)，并求此時k的取值范圍。

代數(shù)解析不再贅述。為了讓學(xué)生更形象地理解直線與雙曲線的位置關(guān)系，利用GeoGebra軟件進(jìn)行了下面設(shè)計：

①先在“輸入框”中分別輸入并回車：x^2-y^2=1，y=x，y=-x，得到雙曲線及其漸近線的圖象，可以很清晰地讓學(xué)生理解相切與只有一個交點的區(qū)別與聯(lián)系；

②在輸入框中輸入：y=kx-1，并回車，此時會彈出“創(chuàng)建滑動條”的對話框，根據(jù)需要產(chǎn)生一個關(guān)于變量k的滑動條（如下圖所示）。拉動滑動條，可讓學(xué)生與上面的代數(shù)式進(jìn)行驗證。

二、風(fēng)波乍起：點滴疑問在拓展思維中放飛思想

1.一個學(xué)生的積極歸納：

2.一個學(xué)生的無意提問：是否所有直線與雙曲線的位置關(guān)系都可以利用上面的數(shù)軸來實現(xiàn)呢？

3.要回答學(xué)生提出的問題，結(jié)合學(xué)生的嘗試和探討，教師可利用GeoGebra進(jìn)行如下設(shè)計：

（1）先實現(xiàn)雙曲線x2-y2=1及其漸近線的圖象；

（2）在輸入框中輸入：y=tan（a）*（x-p）+q，其中a∈［0，3.14］，p∈［-5，5］，q∈［-5，5］，從而形成過點M（p，q）的動直線d；

（3）在輸入框中分別輸入：y=（x-p）+q與y=-（x-p）+q，回車后形成過點M（p，q）的兩條與雙曲線漸近線平行的伴隨動直線；

（4）可以拖動點M，讓它位于不同的位置，再拖動參數(shù)a，觀察動直線d與雙曲線的交點情況。如下圖1所示：

圖1

圖2

（I）先研究直線與雙曲線只有一個交點的情形：將雙曲線包含兩個焦點的區(qū)域簡稱為雙曲線內(nèi)，含有原點的區(qū)域簡稱為雙曲線外，如上圖2所示。通過定位點M（p，q）在圖2中的不同區(qū)域，可以觀察到下列情形：

①當(dāng)點M在雙曲線內(nèi)時，有兩條與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線只有一個交點；

②當(dāng)點M在雙曲線上或點M在雙曲線的漸近線上（除原點）時，有三條直線與雙曲線只有一個交點：兩條與雙曲線漸近線平行的直線和一條與雙曲線相切的直線；

③當(dāng)點M在雙曲線外左（右、上、下）區(qū)域時，有四條直線與雙曲線只有一個交點：兩條與雙曲線漸近線平行的直線和兩條與雙曲線相切的直線；

④當(dāng)點M在原點處時，有兩條與雙曲線漸近線重合的直線與雙曲線只有一個交點。

（II）利用檢驗直線快速判斷直線與雙曲線的交點個數(shù)及此時所對應(yīng)的直線斜率的變化范圍。下面是點M在雙曲線外左區(qū)域的檢驗圖形及結(jié)論。

這樣，我們就可以很快得到上面右方的結(jié)論，這也形成了解決直線與雙曲線交點問題的幾何法。

三、余波陣陣：大膽猜想在細(xì)致觀察中迸發(fā)靈感

1.通過觀察圖形的變化，學(xué)生大膽猜測：切線的斜率應(yīng)該大于或小于。

2.從圖象上思考：當(dāng)點M位于漸近線上時，直線與雙曲線只有一條切線；當(dāng)點M在雙曲線上時，直線與雙曲線只有一條切線，這兩種情形是否都意味著Δ=0時斜率k有兩個相等的實數(shù)根？

∴（p2-a2）x2-2pqk+q2+b2=0（※）

（1）當(dāng)點M在x=±a上時，此時一條切線是x=±a，另一條切線的斜率為

（3）當(dāng)點M位于雙曲線上時，則有b2p2-a2q2=a2b2，而（※）的Δ=（-2pq）2-4（p2-a2）（q2+b2）=0，有兩個相等的實數(shù)根。

四、波光粼粼：興趣探究在自我實踐中彰顯智慧

1.學(xué)生很好奇地利用GeoGebra軟件進(jìn)行拋物線的自主學(xué)習(xí)。

2.學(xué)生很成功地利用GeoGebra軟件進(jìn)行了雙曲線與橢圓等軌跡方程的再探究。

郭沫若老先生說過：“教育的目的是養(yǎng)成自己學(xué)習(xí)、自由研究、用自己的頭腦來想、用自己的手來做的這種精神。”課堂是老師的生命力所在地，是學(xué)生智慧的發(fā)源地。為了讓學(xué)生動起來，讓課堂活起來，讓愛充滿整個課堂，讓學(xué)生在樸素的課堂生活中去品味自然科學(xué)，我們要用師生之間的愛喚起學(xué)生的求知欲，用技巧引導(dǎo)學(xué)生全面和諧的發(fā)展，給學(xué)生創(chuàng)造一個民主和諧的發(fā)展空間?！皵?shù)形結(jié)合拓思維，代數(shù)解析定經(jīng)緯”，這堂課借用學(xué)生的疑問，引導(dǎo)學(xué)生自主觀察、大膽猜想、實踐求證、合作交流，讓學(xué)生真正成為課堂的主人。最有意義的是學(xué)生學(xué)會了使用數(shù)學(xué)工具軟件，并使之成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要助力。

詹文藝.過定點的直線與雙曲線的公共點問題淺析［J］.學(xué)法指導(dǎo)，2013（41）：95-96.

·編輯楊國蓉

楊平，男（1979—），碩士研究生，廣東省肇慶市端州區(qū)肇慶中學(xué)高中部數(shù)學(xué)教師。