盧立勤， 喬百杰， 張興武， 陳雪峰

(1西安交通大學(xué) 機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710049； 2中國船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院，北京 100094)

?

共軛梯度最小二乘迭代正則化算法在沖擊載荷識別中的應(yīng)用

盧立勤1,2， 喬百杰1， 張興武1， 陳雪峰1

(1西安交通大學(xué) 機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710049； 2中國船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院，北京 100094)

結(jié)構(gòu)動載荷識別反問題是典型的病態(tài)問題，需要應(yīng)用正則方法克服其病態(tài)特性而獲得穩(wěn)定的解。與直接正則化算法Tikhonov方法相比，共軛梯度最小二乘 (Conjugate Gradient Least Squares, CGLS) 迭代算法在載荷識別反問題的正則化過程有無須對傳遞矩陣求逆、無須明確正則化參數(shù)的優(yōu)點。提出共軛梯度最小二乘迭代正則化算法和啟發(fā)式迭代收斂終止準(zhǔn)則，用于三自由度仿真模型和殼結(jié)構(gòu)試驗?zāi)Ｐ偷臎_擊載荷識別，并與經(jīng)典的Landweber迭代正則化算法和直接正則化算法Tikhonov方法比較。仿真和實驗結(jié)果表明：CGLS迭代正則化算法在識別精度、收斂速度、計算效率和抗噪性方面有明顯優(yōu)勢。

共軛梯度最小二乘算法；Landweber算法；沖擊載荷識別；正則化

機械結(jié)構(gòu)動載荷識別在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測、可靠性分析和振動主動控制等領(lǐng)域中起著關(guān)鍵性作用[1-2]。在工程實際中，如飛機機翼、風(fēng)力發(fā)電機葉片等復(fù)合材料結(jié)構(gòu)易遭受到外來物的沖擊而產(chǎn)生缺陷[3]。然而，受安裝空間所限，目前技術(shù)難以對作用于結(jié)構(gòu)的外載荷直接測量或計算。因而人們不得不研究間接的載荷測量方法。載荷識別作為結(jié)構(gòu)動力學(xué)的第二類反問題，是一個典型的病態(tài)問題，需要用正則化方法來克服載荷識別反問題的病態(tài)特性。

一般來說，載荷識別正則化方法分為頻域法和時域法。經(jīng)典的頻域載荷識別方法，需要在各個頻點對頻響函數(shù)矩陣求逆，且對低頻、沖擊載荷識別精度較低[4]。時域載荷識別方法不同于傳統(tǒng)的頻域法，根據(jù)載荷與系統(tǒng)傳遞函數(shù)之間的卷積關(guān)系，通過解卷積獲取載荷的時域離散信號，能夠處理瞬態(tài)信號，因而可實現(xiàn)沖擊載荷的識別[5-6]。目前廣泛應(yīng)用的求解反問題的正則化方法有截斷奇異分解、Tikhonov、迭代以及基函數(shù)展開等方法[7]。迭代正則化算法如Landweber和共軛梯度迭代正則化算法不同于截斷奇異值分解、Tikhonov正則化方法，有不涉及傳遞矩陣求逆運算和不需要明確正則化參數(shù)的優(yōu)點，迭代過程即是正則化的過程，而被廣泛應(yīng)用在反問題求解中，但在載荷識別中的應(yīng)用較少。

近二十年來，沖擊載荷識別作為反問題得到廣泛的關(guān)注。GHAJARI等[8]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)用于識別作用在復(fù)合材料板的沖擊力。然而，訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要大量的樣本數(shù)據(jù)，這在實際應(yīng)用中往往是不可實現(xiàn)的。LI等利用小波多分辨率的特性，重構(gòu)作用于簡單梁結(jié)構(gòu)的簡諧和沖擊載荷。QIAO等應(yīng)用三次B樣條尺度函數(shù)和三次B樣條函數(shù)逼近作用在懸臂梁、殼結(jié)構(gòu)的沖擊載荷[9]。王林軍[10]將改進的Tikhonov正則化方法用于識別不同類型的動載荷，仿真算例表明優(yōu)于Tikhonov正則化方法。然而，上述基函數(shù)展開法為了逼近動載荷需要確定基函數(shù)數(shù)目。常曉通等將Landweber迭代算法應(yīng)用于橋梁模型的載荷識別，仿真結(jié)果表明識別精度可以滿足工程要求的穩(wěn)定近似解[11]。共軛梯度最小二乘迭代(Conjugate Gradient Least Squares, CGLS)算法是在共軛梯度(Conjugate Gradient, CG)算法的基礎(chǔ)上，用于求解非對稱和非正定系統(tǒng)方程[12]。CGLS作為一種高效的迭代正則化算法已經(jīng)被用在醫(yī)學(xué)成像[13]、數(shù)值傳熱學(xué)[14]等領(lǐng)域。

本文將CGLS迭代正則化算法應(yīng)用于三自由度仿真模型和殼結(jié)構(gòu)試驗?zāi)Ｐ偷臎_擊載荷識別中，并與經(jīng)典的Landweber迭代正則化算法作對比。然而，CGLS迭代正則化算法屬于“半收斂”算法，即隨著迭代步數(shù)的增加其解快速逼近最優(yōu)解，然后再逐漸偏離最優(yōu)解。為此，本文給出了CGLS迭代算法的啟發(fā)式迭代收斂終止準(zhǔn)則，可以最大精度的確定最優(yōu)迭代步數(shù)。

1 載荷識別反問題模型

(1)

式中，y(t)為系統(tǒng)響應(yīng)，如加速度、速度、位移和應(yīng)變等物理量，f(t)為激振力。傳遞函數(shù)h(t)表征機械系統(tǒng)輸入與輸出的數(shù)學(xué)關(guān)系，也就是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。式(1)描述的是一個正問題，即已知系統(tǒng)激勵和傳遞函數(shù)求響應(yīng)。對于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測，需要應(yīng)用反問題分析方法來確定作用在結(jié)構(gòu)上的未知激振力。由于實際測量的數(shù)據(jù)為離散數(shù)據(jù)，在計算中，需要先將連續(xù)的問題(1)進行離散處理：

(2)

式中，Δt為時間采樣步長，N為采樣點數(shù)。進一步，式(2)可以用矩陣和矢量寫成如下的緊湊形式：

Hf=y

(3)

式中，待識別載荷向量f∈RN，系統(tǒng)響應(yīng)向量y∈RN。傳遞矩陣H∈RN×N是一個具有Toeplitz結(jié)構(gòu)的下三角矩陣。由于傳遞矩陣H條件數(shù)很大，且實際測量的響應(yīng)信號y總是包含噪聲，導(dǎo)致很小的干擾就可以產(chǎn)生巨大的求解偏差。因此，載荷識別是典型的病態(tài)問題，直接對式(3)中的傳遞矩陣H求逆是不合適的。病態(tài)問題的上述特征并不意味著病態(tài)問題不可解，而是傳統(tǒng)的線性代數(shù)的方法如高斯消去法、LU、QR分解法等無法直接應(yīng)用于此類問題的求解。為使所求解有意義，一般借助正則化技術(shù)來獲得近似解。

2 迭代正則化算法

迭代正則化算法是按照某種規(guī)則構(gòu)造一組向量序列fm，使其為式(3)的較精確的近似解。迭代正則化算法具有以下優(yōu)點：迭代過程無須明確正則化參數(shù)，其迭代步數(shù)就有正則化的效果，且無須對矩陣進行求逆運算。本文著重研究Landweber和CGLS兩種迭代正則化算法在載荷識別中的應(yīng)用，并與經(jīng)典的Tikhonov正則化方法比較。

2.1 Landweber迭代算法

Landweber迭代正則化算法的基本格式：

fm=fm-1+ωHT(y-Hfm-1)

(4)

2.2 CGLS迭代算法

CGLS是由CG算法發(fā)展而來。CG適用于良態(tài)(Well-Conditioned)系統(tǒng)，此時系統(tǒng)矩陣是對稱的且非奇異的，導(dǎo)致CG具有良好的收斂性。CGLS是求解大維數(shù)病態(tài)系統(tǒng)的優(yōu)秀迭代算法，此時系統(tǒng)矩陣可以是非對稱和奇異的。然而，當(dāng)CGLS求解病態(tài)反問題時，其收斂呈現(xiàn)出“半收斂”特性，即隨著迭代步數(shù)的增加其解快速逼近最優(yōu)解，然后逐漸偏離最優(yōu)解。因此，如何及時確定CGLS迭代步數(shù)進而獲得正則化解是非常重要。實際上，精確的預(yù)測CGLS的迭代步數(shù)是非常困難的。

CGLS迭代正則化算法的基本思想是將共軛梯度法應(yīng)用于求解下面的最小值問題：

(5)

由于CG迭代算法要求傳遞矩陣H是對稱正定的，對式(3)兩邊乘以HT，獲得正規(guī)方程：

HTHf=HTy

(6)

此時系數(shù)矩陣A=HTH是對稱正定的。共軛梯度法用來求解非對稱問題，獲得正規(guī)方程，稱為共軛梯度最小二乘法。CGLS迭代算法的基本流程如下：

初始化:f0=0,r0=y-Hf0,d0=HTr0,m=1

(7)

步驟 2fm=fm-1+αmdm-1

(8)

步驟 3rm=rm-1-amHdm-1

(9)

(10)

步驟 5dm=HTrm+βmdm-1

(11)

m=m+1

(12)

式中，m為迭代步數(shù)，αm為迭代步長，rm為殘差向量，βm為共軛系數(shù)，dm為迭代搜索方向?？芍?，CGLS迭代過程中僅僅涉及到矢量與矩陣H或者HT的乘積運算，迭代步數(shù)m扮演著正則化參數(shù)的角色。每次迭代結(jié)果fm都可以認(rèn)為是一個正則化解，即將原來的系數(shù)矩陣A=HTH投影到較小的m維子空間進行計算得到。

值得注意的是CGLS迭代算法是半收斂算法，不合適的迭代步數(shù)易造成“過估計”或“欠估計”。因此，在迭代過程中，迭代步數(shù)m的選取非常重要。當(dāng)測量響應(yīng)的噪聲信息可知的情況下，偏差準(zhǔn)則(Discrepancy Principle)可以用來確定迭代步數(shù)。然而在實際應(yīng)用中，噪聲信息是不可獲取的。HANKE提出了CGLS的啟發(fā)式迭代終止準(zhǔn)則，并應(yīng)用在解決圖像重構(gòu)反問題中。其研究結(jié)果表明，啟發(fā)式終止準(zhǔn)則確定的正則化解稍微小于最優(yōu)正則化解。而在實際應(yīng)用中，這種微小差距是可以忽略的。

本文將CGLS和啟發(fā)式迭代收斂終止準(zhǔn)則應(yīng)用到載荷識別反問題領(lǐng)域。構(gòu)造如下的啟發(fā)式迭代終止準(zhǔn)則的目標(biāo)函數(shù)：

(13)

(14)

3 仿真算例：三自由度系統(tǒng)沖擊載荷識別

為了評價所提方法相對已有載荷識別方法在計算精度、計算速度和抗干擾性方面的優(yōu)勢，首先，一個三自由度仿真模型(見圖1)被采用。除了本文介紹的兩種迭代正則化方法，作為被廣泛應(yīng)用的Tikhonov正則化方法也將用來識別沖擊載荷。其中，Tikhonov方法的正則化參數(shù)由交叉檢驗準(zhǔn)則確定。關(guān)于Tikhonov和交叉檢驗準(zhǔn)則的介紹，可參考文獻[7]。

圖1 三自由度系統(tǒng)沖擊載荷識別Fig.1 The three-degrees-of-freedom system applied for impact load identification

為了定量評價兩種迭代算法以及Tikhonov正則化方法所識別載荷的精度，定義真實載荷和正則化載荷間的相對誤差為:

(15)

式中，fexact和fidentified分別為真實載荷和正則化算法識別的載荷。對于沖擊載荷識別而言，沖擊載荷的峰值力是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測一個重要指標(biāo)，定義峰值相對誤差為：

(16)

3.1 問題描述

用于沖擊載荷識別的三自由度彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)仿真模型如圖1所示。仿真參數(shù)設(shè)置如下：四個彈簧剛度系數(shù)k1=k4=32 000 N/m和k2=k3=16 000 N/m；三個點質(zhì)量m1=m2=m3=1 kg；四個阻尼系數(shù)c1=c4=100 Ns/m和c2=c3=50 Ns/m。對于離散點質(zhì)量系統(tǒng)，其系統(tǒng)控制方程如下：

f(t)=e(-10 000π(t-0.2)2)

(18)

點質(zhì)量m1的位移響應(yīng)，用來反演作用在點質(zhì)量m2的沖擊力f(t)。仿真時間為1s，采樣頻率為2 500 Hz， 傳遞矩陣H維數(shù)為2 500。計算環(huán)境為Matlab (R2012a)、Win7 32位、內(nèi)存4G和CPU i5-3450。系統(tǒng)響應(yīng)由Newmark算法實現(xiàn)。首先，令f(t)=δ(t)，應(yīng)用Newmark算法計算得到離散的脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)，進而獲得傳遞矩陣H。傳遞矩陣的條件數(shù)高達3.26E+007，表明該載荷識別反問題是嚴(yán)重病態(tài)的。

考慮到噪聲是載荷識別無法回避的，一個服從均勻分布的隨機噪聲被添加到位移響應(yīng)中，即：

yδ=y+e=y+εstd(y)η

(19)

式中，yδ為含噪聲響應(yīng)數(shù)據(jù)，y為Newmark算法計算得到的響應(yīng)數(shù)據(jù)，e為白噪聲，η為服從區(qū)間(-1,1)均勻分布的偽隨機數(shù)，std(y)為真實響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方差。研究不同噪聲水平下三種正則化方法的載荷識別精度，噪聲水平ε分別設(shè)定為5%, 10% 和20%。值得注意的是：除了人為添加的白噪聲之外，響應(yīng)數(shù)據(jù)中還包含Newmark的數(shù)值計算誤差。

3.2 分析與討論

以噪聲水平10%為例，圖2顯示了CGLS和Landweber (LW) 迭代過程。其中CGLS的最大迭代步數(shù)為50，Landweber最大迭代步數(shù)為200。Tikhonov(Tikh)方法的可選正則化參數(shù)數(shù)目為200。從圖2(a)可知，CGLS的啟發(fā)式終止準(zhǔn)則在第22步達到最小，隨后緩慢上升；從圖2(b)可知，CGLS的迭代過程的相對誤差在第26步達到最小值，隨后緩慢上升，符合“半收斂”迭代算法特點，而Landweber迭代算法在200步內(nèi)尚未收斂。經(jīng)過反復(fù)計算，本算例Landweber算法在500步左右趨向收斂。CGLS的收斂速度遠(yuǎn)快于Landweber方法。對比圖2(a)和圖2(b)，可知啟發(fā)式終止準(zhǔn)則可以用來確定CGLS的正則化迭代步數(shù)。

三種正則化方法的識別結(jié)果如圖3所示。在沖擊載荷的加載區(qū)，三種方法的識別結(jié)果均可以與真實載荷吻合，而在非加載區(qū)，CGLS和Landweber優(yōu)于Tikhonov方法。而從圖中很難辨認(rèn)哪一種方法精度更高。表1列舉了三種噪聲水平下，CGLS、Landweber和Tikhonov三種正則化方法的比較結(jié)果。將真實載荷作為參考，利用式(15)可以計算每個迭代步的相對誤差，其中最小相對誤差和對應(yīng)的峰值誤差和迭代步數(shù)可確定。從表1可知，隨著噪聲程度的增加，三種方法的識別精度都在下降，且正則化迭代步數(shù)也有不同程度下降。比較三種噪聲水平識別結(jié)果，CGLS的最小相對誤差和峰值誤差均低于其他兩種方法；而Landweber優(yōu)于Tikhonov方法。當(dāng)考慮正則化準(zhǔn)則時，CGLS的正則化相對誤差和峰值誤差亦均低于其他兩種方法；而Landweber亦優(yōu)于Tikhonov方法。比較三種方法的計算時間，可知GCLS遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他兩種方法。同時，CGLS識別結(jié)果的最小相對誤差和正則化相對誤差相差很小，且迭代步數(shù)相差亦不大，因此，啟發(fā)式終止準(zhǔn)則可以用來確定CGLS迭代算法的正則化代步數(shù)。

圖2 在噪聲水平10%情況下，CGLS和Landweber迭代過程Fig.2 The iteration history of CGLS and Landweber with the noise level 10%

圖3 在噪聲水平10%情況下，CGLS、Landweber和 Tikhonov正則化方法的載荷識別結(jié)果對比Fig.3 Comparison of the identified forces by CGLS, Landweber and Tikhonov regularization methods under the noise level 10%表1 不同噪聲水平下，CGLS、Landweber 和Tikhonov正則化方法對比Tab. 1The comparison among CGLS, Landweber and Tikhonov regularization methods with different noise levels

噪聲水平/%方法最小相對誤差/%最優(yōu)峰值誤差/%最優(yōu)迭代步數(shù)正則化相對誤差/%正則化峰值誤差/%正則化迭代步數(shù)耗時/sCGLS1.730.12301.940.04250.835LW4.830.415004.990.223007.20Tikh4.601.98-9.851.65-10.39CGLS3.330.24263.770.06220.8210LW5.890.275006.760.993007.69Tikh7.372.69-13.731.86-10.28CGLS6.480.502510.231.01170.8320LW8.660.1450011.651.183007.57Tikh11.854.52-19.261.80-10.55

4 試驗驗證：殼結(jié)構(gòu)沖擊載荷識別

4.1 殼結(jié)構(gòu)沖擊載荷試驗介紹

選擇一端自由一端固定的殼結(jié)構(gòu)作為沖擊載荷識別的試驗對象。敲擊點和加速度傳感器布置如圖4所示。懸臂殼結(jié)構(gòu)材料為45鋼，其幾何尺寸為圓心角90°、長500 mm、半徑200 mm、厚5 mm。物理參數(shù)為彈性模量210 Gpa、泊松比0.31、密度7 850 kg/m3。懸臂殼結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率分別為19 Hz、201 Hz和374 Hz。型號為PCB 086C01(靈敏度 12.37 mV/N)沖擊力錘作用于F點，其錘擊端內(nèi)嵌力傳感器可以保證實時測量沖擊力大小，作為參考信號計算識別載荷的相對誤差。安裝于R點的加速度傳感器(PCB 333B32 100 mV/g)，實時測量沖擊響應(yīng)。沖擊試驗時，加速度信號和力信號由LMS SCADASIII數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)同步記錄，采樣頻率為2 048 Hz。載荷識別過程分為三個基本步驟：測量系統(tǒng)傳遞函數(shù)、測量系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)和應(yīng)用正則化方法識別未知動載荷。

圖4 殼結(jié)構(gòu)沖擊載荷識別Fig.4 The shell structure applied for impact load identification

精準(zhǔn)地建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)對精確地識別動載荷是至關(guān)重要的。機械系統(tǒng)的傳遞特性可通過解析法[16]、數(shù)值法以及試驗法獲取。其中，模態(tài)試驗測試頻響函數(shù)，可適用于各類復(fù)雜的機械結(jié)構(gòu)，且較為成熟，可操作性強。模態(tài)試驗有錘擊法和激振器激勵法兩種，其中錘擊法更加便于操作。首先，應(yīng)用脈沖力錘在激勵點F處連續(xù)錘擊五次，同時由加速度傳感器測量響應(yīng)點R處加速度信號，由LMS IMPACT模塊獲得每次錘擊的頻響函數(shù)，取值五次平均，獲得激勵點與響應(yīng)點的平均頻響函數(shù)。其次，對LMS數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)得到頻響函數(shù)進行快速逆傅里葉變換，得到單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。最后，通過離散的脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)獲得傳遞矩陣H。

圖5 力傳感器和加速度傳感器實測數(shù)據(jù)Fig.5 The measured data by the force transducer and accelerometer

測量沖擊響應(yīng)時，力錘連續(xù)敲擊殼結(jié)構(gòu)F點兩次，分別標(biāo)記為Case 1和Case 2，且每次沖擊都是在前次沖擊響應(yīng)徹底衰減后再施加。由嵌入力錘的力傳感器和貼在結(jié)構(gòu)表面的加速度傳感器測的信號如圖5所示?？梢钥吹?jīng)_擊力信號是一個尖銳的脈沖信號，加速度響應(yīng)信號是一個快速振蕩衰減的信號。最后，由加速度響應(yīng)和傳遞矩陣，運用CGLS和Landweber兩種迭代算法以及經(jīng)典的Tikhonov方法獲得正則化解。為了應(yīng)用正則化算法識別每次沖擊載荷，在每次沖擊事件中，截取的數(shù)據(jù)長度為 2 050，即沖擊持續(xù)時間為1 s。CGLS總迭代步數(shù)均設(shè)置為1 000步，Landweber迭代步數(shù)分為5 000和30 000步兩種。Tikhonov方法的可選正則化參數(shù)數(shù)目仍舊為200。

4.2 分析與討論

由試驗?zāi)B(tài)計算獲得的傳遞矩陣H條件數(shù)高達9.40E+018，表明殼結(jié)構(gòu)載荷識別反問題是嚴(yán)重病態(tài)的。在此，利用CGLS、Landweber和Tikhonov正則化算法識別作用于殼結(jié)構(gòu)的沖擊載荷。圖6是CGLS迭代算法的啟發(fā)式終止準(zhǔn)則的收斂圖，可知Case 1和Case 2分別需要273和333步迭代獲得正則化解。圖7顯示了利用CGLS迭代算法重構(gòu)的兩次沖擊事件的正則化結(jié)果f273和f333，可以看出重構(gòu)的結(jié)果與實測的載荷結(jié)果一致，特別是在最大沖擊力附近，峰值相對誤差僅為5.98%和2.92%。

圖6 啟發(fā)式終止準(zhǔn)則在CGLS正則化算法中應(yīng)用結(jié)果Fig.6 The heuristic stoppong criterion applied for CGLS iteration regularization algorithm

圖7 CGLS、Landweber和Tikhonov 正則化方法的載荷識別結(jié)果對比Fig.7 Comparison of the impact loads identified by CGLS, Landweber and Tikhonov regularization methods

將實測載荷作為參考，利用式(15)可以計算每個迭代步的相對誤差，由圖8可知兩次沖擊的最小相對誤差的迭代步數(shù)分別是282和375。從表1可知，兩次沖擊的CGLS相對誤差分別為36.63%和32.14%，迭代過程中最小相對誤差分別為36.60%和31.82%?？芍獑l(fā)式終止準(zhǔn)則確定的正則化解非常接近于迭代過程中的最小相對誤差對應(yīng)的最優(yōu)解，因此將啟發(fā)式終止準(zhǔn)則用來確定CGLS算法的迭代步數(shù)是可行的。兩次沖擊事件中，Case 1識別過程中需要282次迭代獲得最小相對誤差36.60%，而Case 2需要375次迭代次數(shù)得到最小相對誤差31.82%。

下面，比較CGLS、Landweber和Tikhonov三種正則化算法的載荷識別性能。從圖8可知，在1 000步內(nèi)，CGLS相對誤差快速下降然后緩慢上升，符合“半收斂”迭代算法特點，而Landweber相對誤差一直緩慢下降，且在5 000步內(nèi)尚未收斂。在5 000步時，兩次沖擊事件的Landweber解的相對誤差分別46.52% 和46.04%，峰值相對誤差分別為19.20%和17.31%。CGLS迭代1 000步需要的時間為10 s左右，而Landweber迭代5 000步需要27 s左右。實際上，本文中的兩次沖擊事件應(yīng)用Landweber算法5 000步之后收斂變得非常緩慢，在30 000步尚未達到和CGLS相同的識別精度。兩次沖擊事件的Landweber解在30 000步時的相對誤差分別37.60%和33.36%，峰值誤差為6.65%和4.75%。而迭代30 000步，Landweber需要耗費的時間高達214 s。可知，Landweber相對CGLS迭代算法收斂速度非常慢，且識別精度低于CGLS。進一步比較兩種迭代算法與Tikhonov正則化方法，從表2中可知，Tikhonov的最小相對誤差和最優(yōu)峰值誤差均大于其他兩種方法。值得注意的是，Tikhonov的正則化相對誤差和正則化峰值誤差大于CGLS而小于Landweber，且其所需的時間亦大于CGLS而小于Landweber。

圖8 CGLS和Landweber兩種正則 化迭代算法隨迭代步數(shù)的相對誤差Fig.8 The relative error of iteration histories of both CGLS and Landweber iteration regularization algorithms

比較三自由度仿真模型和殼結(jié)構(gòu)試驗?zāi)Ｐ?，可知后者的系統(tǒng)矩陣更加病態(tài)，CGLS在兩種模型中均優(yōu)于其他兩種載荷識別方法。

5 結(jié) 論

本文提出利用CGLS迭代正則化算法識別作用于三自由度仿真模型和殼結(jié)構(gòu)試驗?zāi)Ｐ偷臎_擊載荷，并與其他載荷識別方法比較，得到以下結(jié)論：

表2 兩個沖擊事件下， CGLS和Landweber迭代算法對比結(jié)果Tab.2 The comparison between CGLS and Landweber iteration regularization algorithms with two impact cases

(1)CGLS迭代正則化算法結(jié)合啟發(fā)式終止準(zhǔn)則可以高精度重構(gòu)作用于三自由度仿真模型和殼結(jié)構(gòu)試驗?zāi)Ｐ偷臎_擊載荷；

(2)測試響應(yīng)數(shù)據(jù)誤差越小，CGLS正則化算法需要的迭代步數(shù)越多，且收斂速度越慢；

(3)與傳統(tǒng)的Landweber迭代正則化算法和直接正則化算法Tikhonov方法相比，CGLS迭代正則化算法識別精度高、收斂速度快、計算效率高和抗噪性能強。

[1] 喬百杰, 趙彤, 陳雪峰. 功率流測量以及振動能量參數(shù)估計試驗研究 [J].振動與沖擊，2014, 33(7):194-197. QIAO Baijie, ZHAO Tong, CHEN Xuefeng. Tests for power flow measurement and vibrational energy estimation [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(7):194-197.

[2] QIAO B J, ZHAO T, CHEN X F, et al. The assessment of active vibration isolation performance of rotating machinery using power flow and vibrational energy: experimental investigation [J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 2016,230(2):159-173.

[3] 郝扣安, 王振清, 周利民. 不同鋪層厚度復(fù)合材料的低速沖擊特性與損傷模式研究 [J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2013, 34(7):661-671. HAO Kouan, WANG Zhenqing, ZHOU Limin. Impact behaviors and damage modes of composites under low-velocity impact with different layup thicknesses [J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2013, 34(7): 661-671.

[4] 張磊, 曹躍云, 楊自春, 等. 總體最小二乘正則化算法的載荷識別 [J].振動與沖擊，2014, 33(9):159-164. ZHANG Lei, CAO Yueyun, YANG Zichun, et al. Load identification using CG-TLS regularization algorithm [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(9):159-164.

[5] LI Z, FENG Z P, CHU F L. A load identification method based on wavelet multi-resolution analysis [J]. Journal of Sound and Vibration, 2014, 333(2):381-391.[6] QIAO B J, ZHANG X W, LUO X J, et al. A force identification method using cubic B-spline scaling functions [J]. Journal of Sound and Vibration, 2015, 337: 28-44.

[7] ASTER R C, BORCHERS B, THURBER C H. Parameter estimation and inverse problems [M]. Academic Press, 2013.

[8] GHAJARI M, KHODAEI S Z, ALIABADI M H. Impact detection using artificial neural networks [J]. Key Engineering Materials, 2012, 488(3): 767-770.

[9] QIAO B J, CHEN X F, XUE X F, et al. The application of cubic B-spline collocation method in impact force identification [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2015, 64: 413-427.

[10] 王林軍. 正則化方法及其在動態(tài)載荷識別中的應(yīng)用 [D]. 長沙：湖南大學(xué), 2011.

[11] 常曉通, 閆云聚, 劉鎏. Landweber 迭代正則化方法在動態(tài)載荷識別中的應(yīng)用 [J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2013,34(9): 948-955. CHANG Xiaotong, YAN Yunju, LIU Liu. Applications of Landweber iteration regularization method in dynamic load identification [J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2013, 34(9): 948-955.

[12] HANKE M. Conjugate gradient type methods for ill-posed problems [M]. CRC Press, 1995.

[13] RUBK T, MEANEY P M, MEINCKE P, et al. Nonlinear microwave imaging for breast-cancer screening using Gauss-Newton’s method and the CGLS inversion algorithm [J]. Antennas and Propagation, IEEE Transactions on, 2007, 55(8): 2320-2331.

[14] HUANG C H, WANG S P. A three-dimensional inverse heat conduction problem in estimating surface heat flux by conjugate gradient method [J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 1999, 42(18): 3387-3403.

[15] KALTENBACHER B, NEUBAUER A, SCHERZER O. Iteration regularization methods for nonlinear ill-posed problems [M]. Walter de Gruyter, 2008.

[16] QIAO B, CHEN X, LUO X, et al. A novel method for force identification based on the discrete cosine transform [J]. ASME Journal of Vibration and Acoustics, 2015, 137: 051012.

Application of conjugate gradient least squares iteration regularization algorithm in impact load identification

LU Liqin1,2, QIAO Baijie1, ZHANG Xingwu1, CHEN Xuefeng1

(1. The State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China;2. Systems Engineering Research Institute, Beijing 100094, China)

Regularization methods should be developed to overcome the ill-posedness of inverse problem of structural dynamic load identification for getting a stable solution. The conjugate gradient least squares (CGLS) iterative regularization algorithm has several advantages over direct regularization methods such as the Tikhonov method on solving inverse problems: the inversion of matrix is not required, and no explicit regularization parameter is required. A CGLS iteration regularization algorithm with the heuristic stopping rule was proposed and as examples was applied to reconstruct the impact load acting on a three-degree-of-freedom system and a shell structure. The results were compared with those by the classical Landweber iteration regularization algorithm and Tikhonov regularization method. Simulations and experiments demonstrate that the CGLS algorithm for impact load identification works better in the aspects of accuracy, convergence rate, cost time and anti-noise.

conjugate gradient least squares algorithm; Landweber algorithm; impact load identification; regularization method

國家自然基金項目 (51225501;51405370)

2015-05-28 修改稿收到日期：2015-12-11

盧立勤 男，博士生,高工，1978年生

張興武 男，博士,講師，1984年生

TB123；O32

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.026