杜文正， 張金星， 姚曉光， 謝 政， 馬長林

(第二炮兵工程大學(xué)二系，西安 710025)

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特種起重機(jī)伸縮臂振動(dòng)特性建模分析與試驗(yàn)

杜文正， 張金星， 姚曉光， 謝 政， 馬長林

(第二炮兵工程大學(xué)二系，西安 710025)

為研究某新型特種起重機(jī)作業(yè)過程中伸縮臂帶載伸展時(shí)的振動(dòng)特性，將伸縮臂等效為固定支撐的階梯式變截面懸臂梁和進(jìn)行伸展運(yùn)動(dòng)的變長度懸臂梁。基于梁振動(dòng)的微分方程與模態(tài)疊加理論建立了伸縮臂帶載伸展時(shí)臂架振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。采用Rayleigh-Ritz法，結(jié)合梁的邊界條件得到了各級臂振動(dòng)的固有頻率和在等效沖擊載荷作用下臂端的坐標(biāo)響應(yīng)，進(jìn)而得到振動(dòng)位移曲線。對理論結(jié)果分析可知，伸縮臂的自身臂架結(jié)構(gòu)和伸展速度是影響臂節(jié)振動(dòng)的主要因素，臂節(jié)剛度越小、伸展速度越快，臂架振動(dòng)位移越大。依托改裝后的HIAB-033T型起重臂為試驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)研究，試驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了理論分析的正確性。

起重機(jī)伸縮臂;振動(dòng)特性;數(shù)學(xué)模型;試驗(yàn)

某新型特種裝備將兩個(gè)起重臂安裝于車廂前后，作業(yè)時(shí)，雙機(jī)協(xié)同工作將大尺寸的吊重水平移動(dòng)至平行放置的平臺(tái)上，如圖1所示。

圖1 雙機(jī)協(xié)同工作水平轉(zhuǎn)載吊重Fig.1 Two cooperative cranes transport a load

為實(shí)現(xiàn)水平轉(zhuǎn)載，在起重臂回轉(zhuǎn)動(dòng)作的同時(shí)，其伸縮臂需協(xié)同進(jìn)行伸展，由于伸縮臂采用箱型結(jié)構(gòu)的多節(jié)臂嵌套而成，具有明顯的柔性特征，所以在帶載伸展的過程中，伸縮臂在沖擊載荷的作用下各級臂振動(dòng)較為劇烈，嚴(yán)重影響了臂節(jié)末端的精確定位，并且對臂節(jié)自身的穩(wěn)定性造成一定的影響，因此需要對起重機(jī)伸縮臂帶載伸縮作業(yè)時(shí)的振動(dòng)特性進(jìn)行研究。

目前，工程機(jī)械領(lǐng)域?qū)τ谄鹬貦C(jī)伸縮臂等類似結(jié)構(gòu)的研究主要集中在穩(wěn)定性分析及結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)[1-3]，主要采用有限元法對具有不同結(jié)構(gòu)形式臂節(jié)的伸縮臂的應(yīng)力分布進(jìn)行分析以確定容易發(fā)生失穩(wěn)的截面[4-5]；另有一部分學(xué)者針對該類機(jī)械臂存在的柔性特征，基于Hamilton原理或者Lagrange方程建立動(dòng)力學(xué)方程對機(jī)械臂在剛?cè)狁詈蠣顟B(tài)下的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了分析研究[6-7]，但其更多的關(guān)注在柔性變形下臂架大范圍剛性運(yùn)動(dòng)所受的影響，且對機(jī)械臂柔性變形的形式僅作簡單的假設(shè)，忽略了機(jī)械臂自身結(jié)構(gòu)形式不同對其柔性變形帶來的影響[8]。

對于伸縮臂振動(dòng)特性的研究，當(dāng)前更多的集中在對伸縮臂固有頻率的分析與求解上。劉錦陽等[9]采用頻譜分析的方法對帶中心剛體的懸臂梁進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，得到了柔性梁固有頻率隨剛性梁變化的一般趨勢，為柔性梁的固有頻率求解提供了理論依據(jù)；韓旭炤等[10]采用邊界元法對梁元件彎曲振動(dòng)公式進(jìn)行了推導(dǎo)，并提出了對梁固有頻率進(jìn)行局部區(qū)間細(xì)化的快速求解方法。但以上分析多側(cè)重于頻率分析，對振動(dòng)響應(yīng)關(guān)注不多。CEKUS[11]針對液壓驅(qū)動(dòng)的伸縮臂系統(tǒng)存在的振動(dòng)，將其垂直于軸線的振動(dòng)和軸向振動(dòng)等效為剛性桿與具有一定剛度的彈簧連接發(fā)生振動(dòng)，建立伸縮臂的振動(dòng)模型，對其振動(dòng)特性進(jìn)行研究，但該模型推導(dǎo)和運(yùn)算過程復(fù)雜，且模型簡化方法缺少相應(yīng)的理論依據(jù)。RAFTOYIANNIS等[12]通過建立起重機(jī)伸縮臂的簡化模型對其振動(dòng)特性進(jìn)行了研究，主要考慮了速度因素對特定工況下的伸縮臂振動(dòng)產(chǎn)生的影響，但是對其他因素的影響并未予以探討。

為深入研究更具一般性的與伸縮臂結(jié)構(gòu)相類似臂架的振動(dòng)特性，分析影響其振動(dòng)特性的具體因素，為伸縮臂的振動(dòng)特性的應(yīng)用或者振動(dòng)抑制提供理論依據(jù)和具體參考，本文對伸縮臂的結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化，建立伸縮臂伸展運(yùn)動(dòng)模型，基于Euler-Bernoulli梁理論及Rayleigh-Ritz法對其振動(dòng)特性進(jìn)行分析，并結(jié)合經(jīng)過改裝的HIAB-033T型折疊臂對理論分析結(jié)果進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。

1 伸縮臂模型簡化

在作業(yè)過程中，伸縮臂順序伸出，當(dāng)一節(jié)臂伸展到位后，臂架內(nèi)擋塊將其固定，其余臂節(jié)繼續(xù)伸出；已伸出臂節(jié)和前幾級臂節(jié)共同構(gòu)成階梯式的變截面懸臂梁?？紤]伸縮臂結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對伸縮臂做如下簡化：

(1)對各級臂進(jìn)行受力分析時(shí)，僅考慮橫向變形影響，不考慮軸向變形和剪切效應(yīng)，各級臂視為Bernoulli-Euler梁；

(2)臂節(jié)之間的配合間隙較小，對臂架振動(dòng)的影響忽略不計(jì)；

(3)各級臂以固定規(guī)律伸出，伸展到位后與已伸出部分等效為階梯形變截面梁;

(4)伸縮運(yùn)動(dòng)的臂節(jié)視為變長度的懸臂梁。

2 伸縮臂固有頻率與振型分析

根據(jù)對伸縮臂模型所進(jìn)行的簡化，將正在作業(yè)的伸縮臂分為固定不動(dòng)的固支臂節(jié)和進(jìn)行伸展運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)臂節(jié)兩部分。

2.1 固支臂節(jié)固有頻率求解與振型分析

根據(jù)伸縮臂模型的簡化，固支部分為階梯形變截面懸臂梁。如圖2所示，設(shè)其共有m段，wi(x,t)為第i段臂在點(diǎn)x處垂直于軸線方向的彎曲變形，則其無阻尼自由振動(dòng)方程為:

(1)

式中,(EI)i為第i段梁的剛度,mi為第i段梁單位長度質(zhì)量。由Rayleigh-Ritz[13]法，將wi(x,t)寫成如下形式:

(2)

式中,qin(t)為廣義模態(tài)坐標(biāo),Win(x)為第i節(jié)臂振型函數(shù)。

圖2 階梯形變截面懸臂梁Fig.2 Cantilevered beam with multiple steps

由振動(dòng)方程解的一般形式，第i段梁的振型函數(shù)可以表示為:

Wi(x)=Aicos(λi(x-xi-1))+Bisin(λi(x-xi-1))+

Cicosh(λi(x-xi-1))+Disinh(λi(x-xi-1))

(3)

式中，xi-1≤x≤xi，x0=0，xm=L，Ai、Bi、Ci、Di為常數(shù)，其值由梁振動(dòng)的邊界條件確定。

相鄰的兩段梁在連接處變形量、轉(zhuǎn)角、彎矩及剪力滿足連續(xù)性條件，由此可得：

(EI)i+1w″i+1(xi)=(EI)iw″i(xi)

(EI)i+1w?i+1(xi)=(EI)iw?i(xi)

(4)

將相鄰兩段梁的待定系數(shù)寫成矩陣形式：

(5)

則由式(4)連續(xù)性條件可知：

Zi+1=MiZi

(6)

式中,

式中，li為第i段梁的長度，γ1=sin(λili)；

γ2=cos(λili)；γ3=sinh(λili)；γ4=cosh(λili)；

α1,2=λi(c±1)/(2λi+1)，α3,4=(c±1)/2，

c=(EI)iλi2/[(EI)i+1λ2i+1]，i=1,2…m-1。

由式(6)遞推可得：

Zm=MZ1

(7)

式中,M=Mm-1Mm-2…M2M1。

由階梯形懸臂梁兩端的邊界條件可得：

(8a)

(EI)mW″m(L)=0,((EI)mW″m(L))′=0

(8b)

由式(8a)可得：

C1=-A1,D1=-B1

(9)

將式(8b)寫成矩陣形式：

ΛZm=ΛMZ1=ΨZ1=0

(10)

式中,

將式(9)代入式(10)中并整理可得：

由于A1、B1不全為0，系數(shù)行列式必為0：

(11)

上式即為伸縮臂固支臂節(jié)的頻率方程，其解即為伸縮臂振動(dòng)的固有頻率，并由此可得階梯形變截面懸臂梁的振型函數(shù)。

2.2 運(yùn)動(dòng)臂節(jié)固有頻率求解與振型分析

將進(jìn)行伸展運(yùn)動(dòng)的最外端臂看做長度可變的懸臂梁，對于長度為l(t)、單位長度質(zhì)量為m2的懸臂梁的振型函數(shù)為:

(12)

懸臂梁的特征頻率由如下的超越方程給出：

(13)

該方程具有如下的近似解：

(14)

3 伸縮臂振動(dòng)響應(yīng)分析

如圖3所示為伸縮臂帶載伸展運(yùn)動(dòng)示意圖，A、B分別為固支臂節(jié)的鉸接點(diǎn)，C、D為運(yùn)動(dòng)臂節(jié)在固支臂節(jié)內(nèi)部的支撐點(diǎn)，C跟隨臂節(jié)一起運(yùn)動(dòng)，D固定于固支臂節(jié)末端。固支臂節(jié)長度為L1，運(yùn)動(dòng)臂節(jié)長度為L2，初始伸出長度為a0，運(yùn)動(dòng)臂節(jié)以速度v伸出，臂架末端施加載荷P。

圖3 伸縮臂帶載伸展運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.3 Telescopic boom crane stretching with payload

運(yùn)動(dòng)臂節(jié)在C、D兩點(diǎn)施加的載荷分別為PC、PD，則[14]：

PC=P+m2gL2-PD

(15)

3.1 固支臂節(jié)振動(dòng)響應(yīng)分析

固支臂節(jié)在移動(dòng)的集中載荷作用下的振動(dòng)方程為:

PD·δ(x-L)

(16)

式中，L=L0+L1。

根據(jù)Rayleigh-Ritz法及式(2)又可得下式：

PC·δ(x-vt)+PD·δ(x-L)

(17)

方程兩側(cè)同時(shí)乘以Wn(x)，并對其每一項(xiàng)從0到L進(jìn)行積分，變換后得下式：

方程(18)的解以Duhamel積分形式給出[15]：

(19)

3.2 運(yùn)動(dòng)臂節(jié)振動(dòng)響應(yīng)分析

對于運(yùn)動(dòng)臂節(jié)，設(shè)其根部平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)引起的附加載荷的影響函數(shù)分別為g1(x)、g2(x)，則[16]：

g1(x)=1，g2(x)=x

(20)

令w1(x,t)表示固定臂節(jié)的彎曲變形，由Rayleigh-Ritz法，運(yùn)動(dòng)臂節(jié)的彎曲變形可以寫為：

式中,Yn(x)為運(yùn)動(dòng)臂節(jié)的振型函數(shù);Φn(t)為與時(shí)間相關(guān)的廣義模態(tài)坐標(biāo)。

同理，對振動(dòng)方程進(jìn)行同3.1類似的變換，可得式(21)：

(21)

將運(yùn)動(dòng)臂節(jié)視為等截面的懸臂梁，根據(jù)懸臂梁函數(shù)的正交性[17]，可知在式(21)中:

(22)

式中,

(23)

式(21)具有如下形式的通解：

Φn(t)0=K1φ1n(x)+K2φ2n(x)

(24)

式中,

由式(24)，可以設(shè)式(21)具有如下形式的特解：

Φn(t)p=d1n(t)·φ1n(t)+d2n(t)φ2n(t)

(25)

將式(25)代入方程中進(jìn)行求解可得：

(26)

式中,

由φ1n、φ2n的表達(dá)式易知：

(27)

由式(22)～(27)可得方程(21)的解為：

(28)

K1=1，K2=-1

(29)

4 仿真與試驗(yàn)

4.1 仿真結(jié)果分析

根據(jù)2、3節(jié)理論分析結(jié)果，結(jié)合該新型特種起重機(jī)伸縮臂的結(jié)構(gòu)尺寸，對不同條件下伸縮臂伸展過程的振動(dòng)特性及影響臂節(jié)振動(dòng)的因素進(jìn)行分析研究。

根據(jù)伸縮臂簡化模型，對伸縮臂一級臂節(jié)伸展到位與基本臂構(gòu)成固支臂節(jié)，二級臂正在進(jìn)行伸展的工況進(jìn)行分析研究。伸縮臂結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

表1 特種起重機(jī)伸縮臂結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameter of the special telescopic boom

取a0=0.5 m，E=209 GPa，v=0.05 m/s，在吊臂末端施加的集中載荷為P=3 kN，改變臂節(jié)伸展規(guī)律，使其分別以0.05 m/s、0.1 m/s、0.2 m/s的速度進(jìn)行伸展，得到臂節(jié)端部振動(dòng)曲線見圖4～圖8。

圖4 v=0.05 m/s時(shí)臂節(jié)端部振動(dòng)響應(yīng)曲線Fig.4 The vibration curves of the beams with a speed of 0.05 m/s

圖5 v=0.1 m/s時(shí)臂節(jié)端部振動(dòng)響應(yīng)曲線Fig.5 The vibration curves of the beams with a speed of 0.1 m/s

圖6 v=0.2 m/s時(shí)臂節(jié)端部振動(dòng)響應(yīng)曲線Fig.6 The vibration curves of the beams with a speed of 0.2 m/s

改變伸縮臂運(yùn)動(dòng)臂節(jié)的結(jié)構(gòu)尺寸，令I(lǐng)1=4.15、I2=3.88、I3=3.64，使其剛度減小后分別以0.1 m/s、0.2 m/s的速度伸展，得到伸縮臂振動(dòng)曲線，與未減小剛度之前對比進(jìn)行分析。

圖7 伸縮臂減小剛度以0.1 m/s速度伸展時(shí)的振動(dòng)曲線Fig.7 The boom’s vibration curves with a speed of 0.1m/s and a smaller stiffness

圖8 伸縮臂減小剛度以0.2 m/s伸展時(shí)的振動(dòng)曲線Fig.8 The boom’s vibration curves with a speed of 0.2 m/s and a smaller stiffness

對仿真結(jié)果進(jìn)行分析可知，隨著臂節(jié)的逐漸伸出，伸縮臂發(fā)生高頻振動(dòng)，且振動(dòng)位移隨著運(yùn)動(dòng)臂節(jié)的伸出逐漸增大。同時(shí)，伸縮臂各級臂的振動(dòng)特性受伸展規(guī)律的影響，對比圖4～圖6可知，增加伸臂速度，臂節(jié)的振動(dòng)幅度增加，伸臂速度越快，臂節(jié)的振動(dòng)位移越大越劇烈。同時(shí)也可以看出，隨著運(yùn)動(dòng)臂節(jié)的伸出，其振動(dòng)頻率具有減小的趨勢。

將圖7、圖8與未減小剛度時(shí)伸縮臂臂端的振動(dòng)曲線對比分析可知，當(dāng)伸縮臂的運(yùn)動(dòng)臂節(jié)以相同的速度伸展時(shí)，剛度小的臂節(jié)的振動(dòng)幅度越大，由此也表明伸縮臂的振動(dòng)位移同樣受剛度因素的影響。

4.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

圖9 伸縮臂帶載伸展試驗(yàn)Fig.9 The experiment of the boom stretching with payload

如圖9所示，選取以高強(qiáng)度鋼制成的截面矩較小且柔性特征明顯的HIAB-033T型折疊式起重臂為試驗(yàn)對象，對其機(jī)械和液壓系統(tǒng)加以改裝，使起重臂在比例閥的控制下作業(yè)，并在臂端等相應(yīng)位置安裝加速度計(jì)、位移和傾角傳感器，對理論分析結(jié)果進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。

給起重臂液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制伸臂動(dòng)作的電磁閥分別施加10 mA、8 mA、4 mA的電流，使伸縮臂一級臂作為運(yùn)動(dòng)臂節(jié)分別以0.05 m/s、0.1 m/s、0.2 m/s的速度伸展，得到其端部的振動(dòng)加速度，進(jìn)行積分得到相應(yīng)的振動(dòng)曲線，通過與運(yùn)動(dòng)臂節(jié)在三種速度下的振動(dòng)曲線進(jìn)行對比對仿真結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。振動(dòng)位移曲線如下。

圖10 一級臂以不同速度伸展時(shí)端部振動(dòng)曲線Fig.10 The vibration curves of the second beam with different speed

將伸縮臂一級臂以不同速度進(jìn)行伸展時(shí)臂端的振動(dòng)曲線與仿真結(jié)果對比分析可知，試驗(yàn)過程中伸縮臂的振動(dòng)位移隨著臂節(jié)的伸出有逐漸增大的趨勢，且隨著運(yùn)動(dòng)臂節(jié)速度的增加，伸縮臂的振動(dòng)幅度隨之增大，試驗(yàn)結(jié)果與仿真分析相一致，驗(yàn)證了速度因素對伸縮臂振動(dòng)的影響。同時(shí)振動(dòng)曲線的頻率也具有減小的趨勢。另外，對比可知，試驗(yàn)所測結(jié)果比仿真結(jié)果略大，這是由于伸縮臂各級臂之間存在配合間隙且臂節(jié)之間的導(dǎo)向滑塊存在一定彈性，從而造成伸縮臂的振動(dòng)位移更大。

為驗(yàn)證剛度因素對伸縮臂振動(dòng)的影響，將伸縮臂的一級臂完全伸出并將其根部固定支撐，使具有更小截面矩的二級臂分別以不同的速度伸展測得臂端振動(dòng)曲線作為對比試驗(yàn)。

圖11 小剛度臂節(jié)以不同速度伸展時(shí)端部的振動(dòng)曲線Fig.11 The vibration curves of the beam with different speeds and smaller stiffness

對圖11所測結(jié)果進(jìn)行分析可知，當(dāng)具有更小剛度的伸縮臂二級臂在相同載荷作用下以兩種速度向外伸展時(shí)，與相同條件下一級臂端部振動(dòng)曲線相比，二級臂端部的振動(dòng)位移更大，由此表明剛度因素同樣能夠影響伸縮臂振動(dòng)，進(jìn)一步驗(yàn)證了仿真結(jié)果的正確性。

5 結(jié) 論

本文通過建立起重機(jī)伸縮臂更具一般性的簡化模型，根據(jù)梁振動(dòng)理論，采用Rayleigh-Ritz法分析推導(dǎo)了伸縮臂各臂節(jié)固有頻率和坐標(biāo)響應(yīng)，通過理論分析和試驗(yàn)可以得出以下結(jié)論：

(1)影響臂節(jié)振動(dòng)的主要因素為伸縮臂自身結(jié)構(gòu)和伸展運(yùn)動(dòng)速度，臂節(jié)結(jié)構(gòu)對應(yīng)的剛度越小，伸展速度越快，振動(dòng)越劇烈。

(2)隨著運(yùn)動(dòng)臂節(jié)的逐漸伸出，其高頻振動(dòng)的頻率有逐漸降低的趨勢。

(3)試驗(yàn)結(jié)果與理論分析結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了理論分析結(jié)果的正確性。

研究結(jié)果對于起重機(jī)伸縮臂帶載伸展的動(dòng)力學(xué)分析提供了一定的參考，對于伸縮臂伸展過程的穩(wěn)定性及安全性能分析具有借鑒意義。

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Mathematical vibration model and experiments of special telescopic crane boom

DU Wenzheng, ZHANG Jinxing, YAO Xiaoguang, XIE Zheng, MA Changlin

(The Second department of The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China)

To analyse the vibration of a special telescopic crane boom stretching with payload，the telescopic boom was equivalent to a fixed cantilevered beam with multiple steps and a stretching beam with varying length. Based on the equation of the beam’s vibration and the theory of modal superposition, the mathematical vibration model of the special telescopic crane boom was established. Using the Rayleigh-Ritz method, the natural frequency of the transverse vibration was calculated according to the boundary conditions, the responses at the generalized coordinates of each joint arm were derived, and the deformation curve was then obtained. The analysis of the theoretical results shows that the stiffness of the beam and the stretching speed are the main factors influencing the vibration of the beam. The smaller the stiffness and the faster the speed, the larger the deformations. The experiments were done on a remoulded HIAB-033T boom, and the experiment results were consistent with the theoretical results, which verifies the correctness of the mathematical vibration model.

telescopic crane boom; transverse vibration; mathematical model; experiment

國家自然科學(xué)基金(51505485)；軍內(nèi)科研項(xiàng)目(133053)

2015-05-29 修改稿收到日期：2015-11-06

杜文正 男，博士，副教授，1974年6月生

張金星 男，碩士，1991年7月生

TH213.5

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.025