梅冠華， 張家忠， 康 燦

(1. 江蘇大學 能源與動力工程學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013； 2. 西安交通大學 能源與動力工程學院，西安 710049)

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基于流-固耦合算法的跨/超聲速曲壁板氣動彈性分析

梅冠華1， 張家忠2， 康 燦1

(1. 江蘇大學 能源與動力工程學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013； 2. 西安交通大學 能源與動力工程學院，西安 710049)

采用流-固耦合算法研究了曲壁板在跨/超聲速氣流下的氣動彈性特征。首先，給出了曲壁板的Von Kármán幾何大變形運動方程，并對其進行了標準有限元離散。然后，簡述了流動的控制方程、數(shù)值解法、動網(wǎng)格和流-固耦合方式。最后，對曲壁板的氣動彈性響應進行了數(shù)值模擬和分析。結果表明彎曲造成壁板的初始氣動載荷非零，使得其與平壁板的氣動彈性特征大相徑庭：穩(wěn)定的曲壁板存在靜氣動彈性變形；馬赫數(shù)為2時，曲壁板失穩(wěn)后，其顫振負向峰值遠大于正向峰值，且彎曲高度的增大會誘發(fā)混沌型的振動；馬赫數(shù)為0.8和0.9時，曲壁板僅會發(fā)生正向變形；馬赫數(shù)為1.2時，失穩(wěn)后曲壁板的顫振中心偏向了負方向。所得結果為高速飛行器的壁板設計和顫振抑制提供了依據(jù)，所提算法可推廣應用于其它氣動彈性問題的數(shù)值分析。

壁板顫振；流-固耦合；氣動彈性

當前，隨著超聲速和高超聲速飛行器的研發(fā)熱潮，壁板氣動彈性顫振引起了學者們的廣泛關注。壁板顫振是指在外部高速氣流的沖擊作用下飛行器表面的壁板結構所誘發(fā)的自激振動現(xiàn)象，這是典型的由慣性力、彈性力和氣動力的共同作用而激發(fā)的氣動彈性問題。該類振動往往具有很強的非線性動力學特性，并將對飛行器的疲勞壽命、飛行性能、飛行安全和乘坐品質帶來不利影響。該問題的深入探討對于高速飛行器的壁板設計、顫振抑制和疲勞壽命估計都具有十分重要的意義[1-2]。

作為經(jīng)典的氣動彈性問題，壁板顫振已被眾多學者進行了深入研究，精確高效的數(shù)值方法被不斷引入，如Galerkin方法[3-4]、有限元方法[5-6]、Rayleigh-Ritz方法[7]、時滯慣性流形方法[8-9]等。所研究的壁板材料也更加貼近實際，如復合材料層合壁板[10]、功能梯度材料壁板[11]等。雖然壁板顫振的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果，然而在這些研究中，氣動載荷大多采用簡化氣動力模型近似表達，如線性/非線性活塞理論[12]、線性化勢流理論等，雖然它們便于應用，然而其適用范圍和精度都較為有限，尤其無法對非線性效應特別強烈的跨聲速流動進行描述。此外，簡化氣動力理論給出的氣動載荷是與固體位移、速度及其偏導數(shù)相關的函數(shù)，而并非是通過基于流動控制方程的計算流體動力學(CFD)所得出的，因此無法給出流場的細節(jié)信息，比如黏性邊界層、旋渦、流動分離、激波等，進而無法準確分析流體與固體間的耦合機理。事實上，這些正是壁板顫振定量分析中的開放性問題。

近年來，伴隨著計算機軟硬件技術的飛速發(fā)展，學者們開始嘗試將CFD和計算結構動力學(CSD)相結合，發(fā)展流-固耦合算法來分析壁板的氣動彈性特征，如此不僅能更加精確地反映該問題的本質，而且為跨聲速氣流下該問題的求解提供了有效手段。DAVIS等[13-14]基于Euler方程的氣動力理論，采用流-固耦合算法分析了跨聲速氣流中的二維壁板顫振問題，并與簡化氣動力理論所得結果進行了對比，說明了Euler氣動理論在分析跨聲速壁板顫振問題時的精確性。隨后，GORDINER等[15]采用Navier-Stokes方程求解氣動載荷，對三維壁板顫振問題進行了研究，發(fā)現(xiàn)邊界層的存在推遲了顫振的發(fā)生。之后，HASHIMOTO等[16]同樣采用Navier-Stokes氣動力理論分析了跨聲速三維壁板顫振問題，在與相關實驗結果[17]取得一致的同時，其研究還發(fā)現(xiàn)湍流邊界層不僅對于顫振可以起到穩(wěn)定作用，在特定條件下還能引起不穩(wěn)定效應。國內研究方面，竇怡彬等[18]采用流-固耦合算法對超聲速二維壁板顫振特性進行了分析，發(fā)現(xiàn)流場內激波和膨脹波的交替變化誘發(fā)了壁板的極限環(huán)顫振。梅冠華等[19-20]發(fā)展了一種基于有限元方法的流-固耦合算法，并用其詳細分析了超聲速和跨聲速二維壁板氣動彈性問題，初步分析了流-固耦合結果與簡化氣動理論所得結果間的差異及其形成原因，其結果與Davis的流-固耦合結果吻合較好。安效民等[21]采用流-固耦合算法對跨/超聲速二維壁板顫振進行了詳細研究，并對超聲速三維壁板顫振進行了探究，與他人結果取得了很好的一致。

目前，在壁板顫振的流-固耦合研究中關注的基本都是平面壁板，事實上，受幾何外形影響，飛行器表面的壁板大多呈現(xiàn)為一定程度的彎曲，而并非是理想的平面壁板。從理論上說，該彎曲可以看作是對平面狀態(tài)的一種擾動，而該擾動的引入往往會給系統(tǒng)的特性帶來顯著影響。因此，采用流-固耦合算法研究壁板彎曲對其氣動彈性特性的影響，這在理論上和實際上都具有重要意義。

為研究初始彎曲對壁板氣動彈性特性的影響，也作為先前研究工作的進一步深入，對文獻[19-20]中基于有限元方法的流-固耦合算法適當改動，在時域內對曲壁板顫振問題進行了分析。首先，采用Von Kármán幾何大變形理論給出了曲壁板運動方程，并用標準有限元方法對該方程進行離散。然后，簡述了流動控制方程、求解方法、動網(wǎng)格和流-固耦合方式。最后，采用所發(fā)展的流-固耦合算法對超聲速和跨聲速氣流下曲壁板的氣動彈性響應行了分析，著重考察了無量綱動壓、相對彎曲高度、馬赫數(shù)、厚度比對系統(tǒng)特性的影響。

1 曲壁板的運動方程及其數(shù)值解法

二維曲壁板顫振模型如圖1所示：曲壁板置于剛性平面上，其上表面處于沿x方向的高速氣流中，下表面對應著空腔。流體的來流速度、馬赫數(shù)和密度分別為U∞、Ma∞和ρ∞。平板的長度、厚度、單位長度質量、彈性模量和泊松比分別為a、h、ρm、E和μ。平板上表面由流場所施加的氣動載荷為p，下表面空腔壓力與來流壓力相同，皆為p∞。

圖1 二維曲壁板顫振示意圖Fig.1 Schematic of two-dimensional curved panel flutter

假設曲壁板的曲率恒定，應變-位移關系采用Von Kármán幾何大變形理論表示，則其控制方程為：

(1)

式中:板的彎曲剛度D=Eh3/[12(1-μ2)]，大變形產(chǎn)生的中面拉伸載荷Nx為：

(2)

式中:氣動載荷Δp為平板的上下表面壓力差，即：Δp=p-p∞。式(1)和式(2)中的Rx為恒定的曲率半徑，對最大彎曲高度H?a的淺殼，可用拋物線方程近似描述其初始形狀，即：

(3)

則曲率半徑為Rx=a2/8H。壁板兩端為簡支邊界條件，滿足w=0，?2w/?x2=0。

將壁板沿長度方向均勻劃分為N個單元，則單元長度l=a/N。對其中的任意單元，設其兩端整體坐標分別為x1和x2，引入坐標變換ξ=(x-x1)/l，將整體坐標[x1,x2]轉化為局部坐標[0,1]。在局部坐標系下，采用Hermite單元，則單元上的位移w可以表達為w=Neqe，其中qe={w1θ1w2θ2}T為單元位移向量，Ne=[N1N2N3N4]為單元形函數(shù)向量，各形函數(shù)的具體表達式為:

N1=1-3ξ2+2ξ3，N2=l(ξ-2ξ2+ξ3)，

N3=3ξ2-2ξ3，N4=l(ξ3-ξ2)。

采用標準Galerkin有限元方法對控制式(1)進行變分以及空間離散，可將其轉化為關于時間二階導數(shù)的常微分方程組：

(4)

式中:

(5)

式(4)和式(5)中的整體矩陣由單元矩陣組裝而成，即：

各單元矩陣的具體表達式為:

而q={w1,θ1,w2,θ2,…,wN+1,θN+1}T為壁板整體位移。

2 流動控制方程及其數(shù)值解法

高速流動采用Euler方程描述，其數(shù)值解法為雙時間步長推進的特征線分裂有限元方法。

壁板上方流場計算區(qū)域及網(wǎng)格剖分情況分別如圖2和圖3所示，所計算的流動區(qū)域呈半圓形，其半徑為25倍的壁板弦長。圓弧上為遠場邊界條件，壁板上游和下游皆為剛性壁面，在無黏流動中將其法向速度設為0即可，流-固交界面受壁板運動的影響，將其給定為(u-us)·n=0，其中u為流體速度，us為壁板運動速度，n為壁板節(jié)點的法向量。激波捕捉方法為基于壓力二階導數(shù)的方法。

采用分塊結構化網(wǎng)格剖分計算區(qū)域，子域1的上邊界為與彎曲壁板相對應的彎曲邊界，這樣便于生成高質量的網(wǎng)格，流場網(wǎng)格共計5 881個節(jié)點和11 520個三角形單元。

該部分的詳細敘述可參閱文獻[19-20]。

3 動網(wǎng)格及流-固耦合方式

隨著流-固交界面的運動，流場內部的計算網(wǎng)格也需進行處理，由于壁板運動僅發(fā)生在y方向上，故僅需將壁板節(jié)點的位移在子域1內沿著y方向均分即可，這樣既能保證網(wǎng)格質量又不會在動網(wǎng)格處理上耗費大量的計算時間。

流-固耦合的方式為松耦合，在每個時間步流體傳遞氣動載荷給壁板，壁板則傳遞位移和速度給流體，從而實現(xiàn)流動和結構間的雙向耦合。關于動網(wǎng)格和流-固耦合方式的更詳細描述可參考文獻[19-20]。

圖2 流場計算區(qū)域(非等比例繪制)Fig.2 Computational domain for fluid field

圖3 流場網(wǎng)格Fig.3 Mesh for flow field

4 數(shù)值模擬結果和分析

采用FORTRAN語言實現(xiàn)上述算法，算法和代碼的驗證工作已經(jīng)在文獻[19-20]中完成，故不再贅述。

4.1 超聲速氣流下的壁板響應

若H/h=0，則曲壁板退化為平壁板。動壓λ較小時，壁板將保持平面穩(wěn)定狀態(tài)，當動壓λ逐漸增大并越過臨界值λcr，系統(tǒng)將發(fā)生Hopf分岔，由平面穩(wěn)定狀態(tài)轉化為極限環(huán)振動狀態(tài)，且極限環(huán)振幅隨λ的增大而增大，顫振近乎正負對稱。

與平壁板不同，受壁板彎曲的影響，H/h>0的曲壁板上下表面的初始壓力差值不為零，即其初始氣動載荷非零，因此曲壁板將偏離其初始形狀，尋求新的靜態(tài)氣動彈性平衡位置。以H/h=1和λ=200為例，系統(tǒng)的位移時間歷程如圖4所示，在初始氣動載荷作用下，歷經(jīng)瞬態(tài)響應的壁板達到了新的穩(wěn)態(tài)變形位置，并在該位置上和氣動載荷達到了靜態(tài)平衡狀態(tài)。動壓λ對壁板穩(wěn)態(tài)變形和氣動載荷的影響如圖5所示：壁板變形以向下凹陷為主，僅后部略微向上拱起，隨著λ的增大最大彎曲位置逐漸后移且彎曲高度逐漸減??；在壁板前緣和尾緣附近存在兩個明顯的激波，前緣激波的強度隨著λ的增大而減弱，而后緣激波幾乎未受影響，壓力的整體分布則隨著λ的增大而趨向均勻。即，壁板變形和氣動力之間的相互作用減弱了壁板的彎曲程度，也使得氣動載荷的分布更加趨于均勻。

圖4 曲壁板的靜態(tài)氣動彈性變形歷程(H/h=1，λ=200)Fig.4 Time history of static aeroelastic deformation for a curved panel (H/h=1, λ=200)

圖5 動壓對曲壁板靜氣動彈性特性的影響 (H/h=1)Fig.5 Effect of dynamic pressure on static aeroelastic behavior of curved panels (H/h=1)

當動壓λ進一步增大并跨過臨界值λcr=248，系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔，表現(xiàn)為極限環(huán)顫振。圖6給出了在λ=300下系統(tǒng)的響應，經(jīng)過大約10個周期的瞬態(tài)振蕩壁板進入到了穩(wěn)定的顫振狀態(tài)，該振動并不是關于中性面正負對稱的，負向峰值的絕對值大約為正向峰值的兩倍，而平壁板的振動則近乎是上下對稱的。這是因為曲壁板是在下凹的靜態(tài)氣動彈性變形位置上失穩(wěn)發(fā)生顫振的，振動的中心應在該穩(wěn)態(tài)變形位置附近，因此振動呈現(xiàn)出了負向峰值較大的特性。動壓λ對顫振峰值的影響如圖7所示，顫振負向峰值的絕對值較大，并隨著λ的增大而增大，顫振的正向峰值較小，且?guī)缀醣３衷谝粋€穩(wěn)定值上，圖7中還用虛線標出了顫振的中點，可以清晰地發(fā)現(xiàn)其位于壁板失穩(wěn)前靜態(tài)氣動彈性變形隨λ變化曲線的延長線上，即恰是由于此平衡位置的失穩(wěn)才導致了曲壁板的非對稱型顫振。

圖6 曲壁板顫振的位移時間歷程 (H/h=1，λ=300)Fig.6 Time history of displacement for flutter of a curved panel (H/h=1, λ=300)

圖7 動壓對曲壁板顫振正負峰值的影響 (H/h=1)Fig.7 Effect of dynamic pressure on positive and negative peak amplitudes of curved panel flutter (H/h=1)

進一步，增大壁板的彎曲高度至H/h=2，其穩(wěn)態(tài)變形特性與H/h=1的曲壁板相同，不再重復。隨著動壓的增大并越過臨界值λcr=196，壁板突然進入到了混沌運動狀態(tài)，圖8(a)給出了λ=200時壁板的穩(wěn)態(tài)響應，其表現(xiàn)為看似雜亂無章實則又有一定規(guī)律的運動狀態(tài)，同樣地，壁板的負向運動要比正向運動更為劇烈。將無量綱時間步長變換為真實物理時間步長，并對壁板的穩(wěn)態(tài)響應進行頻譜分析，所得結果如圖8(b)所示，可見該振動包含了眾多的頻率組分。作為定量判定混沌的指標，Lyapunov指數(shù)描述了系統(tǒng)臨近軌道間的距離在長時間演變過程中指數(shù)發(fā)散程度的強弱。采用C-C算法計算了最佳延遲時間和重構維數(shù)，對壁板穩(wěn)態(tài)響應時間序列進行了相空間重構，并在此相空間上使用Wolf所提出的算法[22]得到了系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)，為0.088大于0，故可認為系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)。隨著λ的繼續(xù)增大，系統(tǒng)又出現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)的周期振蕩，如圖9所示的λ=400時壁板的穩(wěn)態(tài)響應?？梢姵跏紡澢鳛榉蔷€性擾動對系統(tǒng)的特性可造成顯著影響，隨彎曲高度的增大壁板更加復雜的運動形式被不斷激發(fā)出來。

圖8 混沌運動狀態(tài)的曲壁板 (H/h=2，λ=200)Fig.8 Chaotic motion of a curved panel (H/h=2, λ=200)

圖9 曲壁板周期振動的位移時間歷程 (H/h=2，λ=400)Fig.9 Time history of displacementfor a periodic oscillation of curved panel (H/h=2, λ=400)

4.2 跨聲速氣流下的壁板響應

對于H/h=0的平壁板，在Ma∞=0.8或0.9時，隨h/a的減小壁板由平面穩(wěn)定狀態(tài)轉化為屈曲狀態(tài)，依據(jù)不同的初始條件到達正向或是負向的穩(wěn)定變形位置。變形量隨著h/a的減小而增大，這是因為壁板越薄，其剛度越小，越容易發(fā)生變形。Ma∞=0.8時壁板正負屈曲近乎對稱，而Ma∞=0.9時正向變形要略大于負向變形。

對于H/h>0的曲壁板，以H/h=1和h/a=0.002為例，在Ma∞=0.8時壁板的穩(wěn)態(tài)變形和壓力系數(shù)分布如圖10所示，由于壁板上下表面的壓力差值為兩端高中間低的對稱分布形式，且以負值為主，故壁板表現(xiàn)為左右對稱的上凸變形。接下來，考察了相對厚度h/a和相對彎曲高度H/h對壁板穩(wěn)態(tài)變形的影響，并與平壁板的正向屈曲結果進行了對比，將其匯總在圖11中。與平壁板相比，曲壁板僅會出現(xiàn)上凸的穩(wěn)態(tài)變形，而并不會發(fā)生下凹的穩(wěn)態(tài)變形，這是因為初始氣動載荷以負值為主，迫使壁板運動到了向上的穩(wěn)態(tài)變形位置。另外，曲壁板的變形量要小于平壁板，且穩(wěn)態(tài)變形隨著彎曲高度的增大而減小，這說明曲壁板抵抗穩(wěn)態(tài)變形的能力要強于平壁板。由于氣動載荷隨著Ma∞的增加而增強，故Ma∞=0.9下的變形要大于Ma∞=0.8下的變形。

圖10 曲壁板穩(wěn)態(tài)變形和氣動載荷分布 (海平面鋁板，Ma∞=0.8，h/a=0.002，H/h=1)Fig.10Stable deformation and aerodynamic load of a curved panel (aluminum panel at sea level, Ma∞=0.8, h/a=0.002, H/h=1)

圖11 h/a和H/h對曲壁板穩(wěn)態(tài)變形的影響 (海平面鋁板)Fig.11 Effect of h/a and H/h on stable deformation of curved panels (aluminum panel at sea level)

圖12 曲壁板的靜氣動彈性變形和壓力系數(shù) (Ma∞=1.2，H/h=1，λ*=40)Fig.12 Static aeroelastic deformation and pressure coefficient of a curved panel (Ma∞=1.2, H/h=1, λ*=40)

圖13 一個周期內的壁板瞬態(tài)變形 (Ma∞=1.2，H/h=1，λ*=100)Fig.13 Transient deformation of panel in one period (Ma∞=1.2, H/h=1, λ*=100)

圖14 極限環(huán)振幅隨動壓變化 (Ma∞=1.2，H/h=1)Fig.14 Effect of dynamic pressure on limit cycle oscillation amplitude (Ma∞=1.2, H/h=1)

5 結 論

采用基于特征線分裂有限元方法的流-固耦合算法，分析了超聲速和跨聲速氣流作用下二維曲壁板的氣動彈性特性。著重考察了馬赫數(shù)、相對彎曲高度和動壓對系統(tǒng)特性的影響，通過對數(shù)值模擬結果進行分析，所得主要結論如下：

(1)與平壁板不同，由于壁板彎曲造成的初始氣動載荷不為零，曲壁板將偏離其初始狀態(tài)，達到靜態(tài)氣動彈性變形位置。

(2)在超聲速氣流下，曲壁板失穩(wěn)后出現(xiàn)了極限環(huán)顫振，且與平壁板近乎對稱的振動不同，由于曲壁板是從靜態(tài)氣動彈性平衡位置失穩(wěn)進入顫振的，故其顫振的負向峰值的絕對值遠大于正向峰值。隨著壁板彎曲高度的增加，其非線性特性增強，混沌形式的顫振被激發(fā)了出來。

(3)在跨聲速氣流下，當馬赫數(shù)為0.8和0.9時，曲壁板僅可發(fā)生正向的靜態(tài)氣動彈性變形，而不會像平壁板那樣出現(xiàn)正負屈曲變形，且變形量隨彎曲高度的增大而減小，隨馬赫數(shù)的增大而增大。當馬赫數(shù)為1.2時，曲壁板失穩(wěn)后表現(xiàn)為極限環(huán)顫振，且與超聲速情況類似，曲壁板的負向振動更為劇烈。

作為初步研究，流動采用Euler方程描述，并未考慮氣動加熱效應，且著重考察了壁板響應特性。未來將采用Navier-Stokes方程，引入湍流模型和壁板導熱方程，發(fā)展流-固-熱耦合求解算法，對該耦合系統(tǒng)內的物質輸運、動量遷移和能量傳遞特征進行深入剖析。

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Aeroelastic analysis of curved panels in transonic/supersonic airflowbased on a fluid-structure coupling algorithm

MEI Guanhua1, ZHANG Jiazhong2, KANG Can1

(1. School of Energy and Power Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China; 2. School of Energy and Power Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

A fluid-structure coupling algorithm was used to analyze the aeroelastic behaviors of curved panels in transonic/supersonic airflow. According to the Von Karman’s large deformation theory, the governing equation of curved panels was presented, and it was discretized by the standard finite element method. The governing equations of fluid, numerical method, moving mesh technique and fluid-structure coupling way were introduced briefly. Numerical simulations and analyses were carried out to study the aeroelastic behaviors of curved panels. The results demonstrate that the curvature causes nonzero initial aerodynamic load on panels, which brings about greatly different aeroelastic features for curved panels compared with flat panels. Static aeroelastic deformations exist on curved panels in steady state. At Mach number of 2, the asymmetric flutter will be born as curved panels lose their stability. As the curvature height increases, the chaotic flutter can be induced. At Mach number of 0.8 and 0.9, curved panels bear only positive aeroelastic deformation. At Mach number of 1.2, with the stability lost, curved panels flutter more violently in the negative direction. The results obtained could guide the panel design and flutter suppression for high performance flight vehicles. The presented algorithm could be extended to numerically analyze other aeroelastic problems.

panel flutter; fluid-structure coupling; aeroelasticity

國家973計劃(2012CB026002)；國家科技支撐計劃(2013BAF01B02)；江蘇高校優(yōu)勢學科建設工程資助項目；江蘇大學高級人才科研啟動基金(15JDG155)

2015-09-16 修改稿收到日期：2015-11-09

梅冠華 男，博士，1984年11月生

張家忠 男，博士，講師，教授，博士生導師，1968年1月生

O323

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.009