周元任，王 麒，許文祥，朱曉宇，雷 麗

（中國礦業(yè)大學(xué)（北京） 理學(xué)院，北京 100083）

三階常微分方程的線性化

周元任，王 麒，許文祥，朱曉宇，雷 麗

（中國礦業(yè)大學(xué)（北京） 理學(xué)院，北京 100083）

研究三階常微分方程的線性化，可便于對(duì)三階常微分方程進(jìn)行求解.通過可逆的變量變換，將所有可線性化的三階常微分方程轉(zhuǎn)化成三階程常微分方程的規(guī)范形式，進(jìn)而得到它的通解.由于變量變換是可逆的，所以兩種形式可以互相轉(zhuǎn)化，從而可以利用該方法將一般三階常微分方程轉(zhuǎn)化成三階常微分方程的規(guī)范形式.

變量變換；可線性化；三階常微分方程

1 三階常微分方程的規(guī)范化

由于一般三階常微分方程(ODE)比較繁瑣，難以求解，所以需要找到將一般三階常微分方程轉(zhuǎn)化成線性化的三階常微分方程（三階常微分方程的規(guī)范形式）的方法.

1.1.背景

一般線性齊次方程

可以寫成如下二項(xiàng)式系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式：

E.拉蓋爾于1879年證明了方程(1.2)里最高階數(shù)以下的兩個(gè)階次項(xiàng)可以同時(shí)被消去，相應(yīng)的結(jié)果可以用如下定理來表述：

定理1.1 n階常微分方程(1.2)可以通過合適的等價(jià)變換

1.2 主要思想

三階方程的規(guī)范形式為

方程(1.4)很顯然是線性的，那接下來的問題是，哪些三階ODE可以線性化為(1.4)呢？下面我們給出可線性化的三階方程的形式.

定理1.2 形如

的三階方程可以通過等價(jià)變換

2 相關(guān)例題

例 將下列方程線性化

〔1〕Ibragimov N.H.,CRC handbook of Lie group analysisofdifferentialequations,CRC Press Inc.,Boca Raton,1994.

〔2〕Olver P.J.,Applications of Lie groups to differential equations,Springer,New York,1986.

〔3〕Ibragimov N.H.and Meleshko S.V.,J.Math.Anal.Appl.,308(1),2005,266-289.

〔4〕盧琦等.微分方程與數(shù)學(xué)物理問題.北京:高等教育出版社,2010.

O175.1

A

1673-260X（2016）11-0001-02

2016-07-17