曾天海

（北京理工大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100081）

一類近似等式與單個粒子相干疊加態(tài)的概念性討論

曾天海

（北京理工大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100081）

糾纏態(tài)的定義是不能表示成直積的狀態(tài).而一些量子系統(tǒng)中，描述系統(tǒng)的糾纏態(tài)可近似等于直積態(tài).本文對這一類近似等式做概念性討論，說明這是單個粒子相干疊加態(tài)的一種來源，很可能是唯一來源.

糾纏態(tài)；直積態(tài)；單個粒子相干疊加態(tài)

經(jīng)典力學(xué)中的達(dá)朗貝爾原理，只是對牛頓第二定律做了一個移項手續(xù)，變成F-ma=0，但做了另外的物理解釋，即在非慣性系中，主動力加約束力的合力F與慣性力-ma達(dá)到平衡，可以化動力學(xué)問題為靜力學(xué)問題.這是在牛頓去世十幾年后，由數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾提出的.這里沒有數(shù)學(xué)技巧，更沒有高深的數(shù)學(xué)，而只有物理意義的不同［1］.本文試圖在量子物理中做一次“物理意義有所不同”的模仿.

阿羅什等人［2］的實驗（單個原子通過一個分束器，即處于相干態(tài)的微波脈沖）中，原子與分束器構(gòu)成的復(fù)合系統(tǒng)演化為糾纏態(tài)，式中｜g〉和｜e〉分別是原子的基態(tài)和一個激發(fā)態(tài)，｜αg〉和｜αe〉為分束器的兩個相干態(tài).按照定義，復(fù)合系統(tǒng)的兩部分的波函數(shù)不能表示成直積（乘積）態(tài)的是糾纏態(tài).在量子極限下｜αg〉=｜1〉，｜αe〉=｜0〉［2］，則糾纏態(tài)為，這確實不能寫成原子與分束器這兩部分的直積態(tài).

阿羅什等人認(rèn)為，在經(jīng)典極限下，分束器的｜αg〉≈｜αe〉［2］，但他們的文章中沒有寫出式（1）（見下）.我們認(rèn)為這兩個態(tài)在短時間內(nèi)相位也近似相同，可以寫出近似等式

即糾纏態(tài)近似等于分束器的狀態(tài)與原子的不同能級的相干疊加態(tài)的直積態(tài)，這樣原子和分束器就可以近似地分別用獨立的狀態(tài)描述，因而，原子的狀態(tài)近似為相干疊加態(tài).如果由糾纏態(tài)，對分束器狀態(tài)部分求跡，則得到原子的狀態(tài)為混合態(tài)，即不是相干疊加態(tài).我們寫出的式（1）也沒有任何數(shù)學(xué)技巧和高深的數(shù)學(xué)，而只有物理意義的不同，即在這種極端近似下，原子所處的混合態(tài)就近似為相干疊加態(tài)，但一般來說混合態(tài)與相干疊加態(tài)是不同的.

1 兩體問題

對于有相互作用的復(fù)合系統(tǒng)的兩體問題，可以等效為具有約化質(zhì)量的粒子在等效勢場中的運動［3］.若把兩體的坐標(biāo)代入波函數(shù)中，則一般來說這兩體是糾纏的，即相互作用可以使復(fù)合系統(tǒng)由初始的直積態(tài)演化為糾纏態(tài)［4，5］.若兩體為一大一小，如氫原子中的質(zhì)子和電子，可以直接把大的質(zhì)子看作不動，來對小的電子進(jìn)行求解；也可以形式上先得到這一大一小的兩體的狀態(tài)，即一般為糾纏態(tài)，然后把質(zhì)子的狀態(tài)看作近似不變，就可以將糾纏態(tài)近似為直積態(tài)，例如式（1），再把相互作用能看作電子在外場中的勢能（可類比地球上一個物體的重力勢能，是該物體與地球的相互作用引力勢能的近似），這樣就容易把質(zhì)子的狀態(tài)波函數(shù)（近似不變）及其動能算符從復(fù)合系統(tǒng)薛定諤方程中消去，最后近似得到單個粒子電子的薛定諤方程，然后求解（若論邊界條件，都設(shè)為自然邊界條件，即在無窮遠(yuǎn)處波函數(shù)為零）.我們認(rèn)為從理解量子現(xiàn)象的角度來考慮，后者走點彎路是值得的.

自由粒子是不存在的，因為任何粒子都與環(huán)境或其他物體相互作用，那么，復(fù)合系統(tǒng)的薛定諤方程應(yīng)當(dāng)被看作基本假設(shè)，而單個粒子的薛定諤方程都應(yīng)看作是近似的.若相互作用含時間，則容易使人

想到單個粒子的薛定諤方程做了近似，忽略了其他物體；而相互作用不含時間，有可能使人誤認(rèn)為單個粒子的薛定諤方程是嚴(yán)格的，不是近似的.當(dāng)單個粒子的概率行為不可理解時，還原到復(fù)合系統(tǒng)，至少形式上寫出與這個單粒子相互作用的其他物體（一般為大的物體，或強(qiáng)場，如式（1）中的｜αg〉）的動能算符，一般得到復(fù)合系統(tǒng)的糾纏態(tài)，再近似為直積態(tài)，則這個單粒子的所謂概率波是與其他物體及相互作用有關(guān)的，這至少找到了部分原因.

我們對粒子過雙縫的干涉現(xiàn)象的定性解釋［6］也是如此，雖然不知道相互作用能，以及與粒子相互作用的雙縫物體的動能算符.文獻(xiàn)［7-11］中，都考慮了散射體電子或原子與雙原子分子（看作雙縫）的相互作用（甚至，散射體He原子比雙縫H+2還要大），這類系統(tǒng)一般都演化為糾纏態(tài)，而不能得到一般教科書中受雙縫散射的單個散射體的相干疊加純態(tài).只有在雙縫物體足夠大時，其狀態(tài)近似不變，才可以如式（1），由復(fù)合系統(tǒng)（雙縫物體和散射體）的糾纏態(tài)近似為直積態(tài)，從而近似得到散射體的疊加態(tài).量子物理教程［12］中描述的雙縫儀器和環(huán)境（處于｜D〉態(tài)）加上散射粒子（其兩路分波為｜ψ1〉和｜ψ2〉態(tài)）構(gòu)成的復(fù)合系統(tǒng)，其總量子態(tài)處于直積態(tài)（書中的6.10式）：

｜Ψ0〉=（｜ψ1〉+eiα｜ψ2〉）?｜D〉 （2）

沒有交纏（即糾纏）.這里是從觀察上直接得到散射粒子兩路分波為｜ψ1〉和｜ψ2〉的相干疊加態(tài)，是到目前為止量子物理對產(chǎn)生單個粒子相干疊加態(tài)的理解，不是由理論計算得到的.而我們的理解是多兩道手續(xù)，即形式上先產(chǎn)生糾纏態(tài)，再做近似以后，得到單個粒子相干疊加態(tài).

2 單個粒子相干疊加態(tài)的制備

下面考慮單個粒子相干疊加態(tài)（例如粒子不同動能本征態(tài)的相干疊加態(tài)的制備.自由粒子是不存在的，但從理論上說，可以外推假設(shè)有自由粒子，并假設(shè)它可以處在不同動能的相干疊加態(tài).按照量子力學(xué)，在測量它的動能后，會由相干疊加態(tài)塌縮為某一本征態(tài)（比如｜k1〉或｜k2〉態(tài)）.那么，如何讓自由粒子從某一動能本征態(tài)｜k1〉（｜k2〉或其他力學(xué)量的本征態(tài)）演化（或制備）到不同動能的相干疊加態(tài)并仍然是自由粒子？

按量子力學(xué)中自由粒子的薛定諤方程，自由粒子從動能本征態(tài)不可能演化到不同動能本征態(tài)的疊加態(tài)，雖然后者也滿足方程.

若自由粒子的兩個力學(xué)量算符不對易，則它們沒有共同本征態(tài).那么，其中一個力學(xué)量的本征態(tài)，可以按另一個力學(xué)量的本征態(tài)展開.假設(shè)自由粒子的某一力學(xué)量算符A＾與其動能算符不對易，則A＾的本征態(tài)自然可以按動能本征態(tài)展開，得到動能的疊加態(tài).但要注意的是，這只在數(shù)學(xué)上可行.

在物理上，一定要讓粒子與其他物體或環(huán)境相互作用.例如，光子與極化（偏振）分束器相互作用，可以制備出兩個垂直偏振態(tài)的相干疊加態(tài)的光子；電子與斯特恩-革拉赫實驗裝置中特定的非均勻磁場相互作用，制備出自旋向上態(tài)和向下態(tài)的相干疊加態(tài)的電子；原子與雙縫物體相互作用，制備出兩個“路徑態(tài)”的相干疊加態(tài)的原子.這些粒子的疊加態(tài)都不是由什么理論計算出來的，而是通過觀察，直接寫出來的，并且不能說明如何撇開那些實驗裝置（極化分束器、斯特恩-革拉赫實驗裝置、雙縫物體），得到這些自由粒子的相干疊加態(tài).因此，量子力學(xué)從來都沒有說明自由粒子是怎樣從本征態(tài)制備成疊加態(tài)的.圖1做了簡單說明.

圖1 數(shù)學(xué)展開需要落實到物理實驗上

相互作用使復(fù)合系統(tǒng)（例如兩個子系統(tǒng)是一個粒子和一個較大物體）按薛定諤方程一般演化為糾纏態(tài).當(dāng)相互作用停止后，無論糾纏態(tài)是否繼續(xù)保持，即不管定域論與非定域論的爭論［4，13］孰是孰非，都得不到自由粒子動能的疊加態(tài).因為，若保持糾纏態(tài)，對較大物體動能狀態(tài)部分求跡，就得到自由粒子的混合態(tài)（到目前為止，量子力學(xué)還沒有如式（1）的做法），而按式（1）做，就不能得到嚴(yán)格的自由粒子動能的相干疊加純態(tài)；若不保持糾纏態(tài)，兩個子系統(tǒng)之間也停止交換能量，系統(tǒng)狀態(tài)“塌縮”為各子系統(tǒng)的能量（即動能）本征態(tài)的某一個直積態(tài)，也得不到自由粒子不同動能的相干疊加態(tài).相互作用停止后，仍保持糾纏態(tài)的非定域論是目前的主流觀點［14-23］.按此觀點，這種情形就得到自由粒子的混

合態(tài)，而得不到自由粒子動能的疊加態(tài).

我們也假設(shè)可能在某些特殊時段，有相互作用的復(fù)合系統(tǒng)存在“嚴(yán)格”求解的直積態(tài).若兩個子系統(tǒng)都為本征態(tài)，當(dāng)相互作用停止后，就得不到自由粒子動能的疊加態(tài)；若粒子處于疊加態(tài)，然后，再“恰到好處地”停止相互作用，才得到自由粒子動能的疊加態(tài)，這是我們能夠想象的得到自由粒子動能疊加態(tài)的唯一途徑.但這種自由粒子疊加態(tài)的制備是可疑的，因為以上的光子、電子和原子的疊加態(tài)，不是誰在控制好條件，恰到好處地停止相互作用后產(chǎn)生的.如果用糾纏態(tài)來解釋以上的光子、電子和原子的疊加態(tài)，那么，光子與極化分束器系統(tǒng)，電子與斯特恩-革拉赫實驗裝置中的非均勻磁場系統(tǒng)，原子與雙縫物體系統(tǒng)一般都處于糾纏態(tài).都是因為一大（強(qiáng)）一小（弱），分束器，非均勻磁場和雙縫物體的狀態(tài)近似不變，就都可以寫成類似式（1）的形式，即糾纏態(tài)近似為直積態(tài)，這樣就很自然地得到單個粒子的疊加態(tài).圖2做了歸納說明.

圖2 制備自由粒子的疊加態(tài)的三條路徑，上兩條是不行的；下面一條是很可疑的

3 結(jié)論

有相互作用的兩部分組成的復(fù)合系統(tǒng)一般演化為糾纏態(tài).當(dāng)其中一部分的狀態(tài)近似不變時，糾纏態(tài)可以近似為直積態(tài).

自由粒子是不存在的，但從理論上說，可以外推假設(shè)，一種情形是自由粒子既可以處在動能本征態(tài)又可處在其相干疊加態(tài)；另一種情形是它只處于動能本征態(tài).我們認(rèn)為假設(shè)后者更合理.對單個粒子的疊加態(tài)，可以由包含這個粒子的復(fù)合系統(tǒng)的糾纏態(tài)近似為直積態(tài)得到，這可能是唯一的途徑.

致謝 感謝北京師范大學(xué)裴壽鏞教授，南京大學(xué)金國鈞教授，我的同事邵彬、鄒健、邢修三、張向東、姚裕貴、韋浩、王銳、江兆潭、楊帆等教授，李軍剛、王鋒、繆勁松、蔡金芳、魯長宏、蘇文勇等副教授，感謝他們能與我討論或提供幫助、提出質(zhì)疑.我還要感謝我的老師吉林大學(xué)丁培柱、潘守甫教授，我同學(xué)應(yīng)立凡、李桂琴的鼓勵和支持.

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Conceptual discussion for approximate equations of a type and coherent superposition of states of single particle

ZENG Tian-hai
（School of Physics，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

The definition of entangled state is that it cannot be expressed in a product state，however，in some quantum systems，the entangled states which are used to describe them could be approximately equal to the product states.Conceptual discussion for the approximate equations of such type can be used to explain that this is a source of producing coherent superposition of states of single particle，and it is very possibly the only source.

entangled state；product state；coherent superposition of states of single particle

O 413.1

A

1000-0712（2016）11-0020-04

2016-02-23；

2016-04-11

國家自然科學(xué)基金（11075013，11375025）資助

曾天海（1963-），男，江西寧都人，北京理工大學(xué)物理學(xué)院副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事物理學(xué)的理論和實驗課的教學(xué)、量子信息及量子力學(xué)基礎(chǔ)的研究工作.