彭凌風(fēng)，藺鵬臻

(蘭州交通大學(xué)甘肅省道路橋梁與地下工程重點實驗室，甘肅蘭州730070)

箱梁振動時的剪力滯后剪切變形雙重效應(yīng)分析

彭凌風(fēng)，藺鵬臻

(蘭州交通大學(xué)甘肅省道路橋梁與地下工程重點實驗室，甘肅蘭州730070)

利用翼板剪切變形規(guī)律定義了剪力滯翹曲函數(shù)，用變分原理推導(dǎo)了考慮剪力滯效應(yīng)和剪切變形的箱梁振動微分方程、邊界條件以及初始條件。由于該微分方程的特殊性，確定了差分法為該方程的有效解法并給出了數(shù)值解。通過簡支梁算例的計算結(jié)果驗證了該方法的可行性。在振動時薄壁箱梁的剪力滯效應(yīng)和剪切變形會對位移和應(yīng)力產(chǎn)生較大影響，且剪力滯的影響比剪切變形的影響要大。

薄壁箱梁;剪力滯后;振動;剪切變形;差分法

剪力滯后和剪切變形現(xiàn)象在現(xiàn)代橋梁中(尤其是公路橋梁)一直是備受關(guān)注的問題。很多學(xué)者從事了薄壁箱梁在靜載作用下的剪力滯后效應(yīng)和剪切變形效應(yīng)研究，且理論已經(jīng)相對完善，同時也運用到大量的實際工程中［1］。但是在研究橋梁振動方面，相關(guān)學(xué)者對剪力滯效應(yīng)和剪切變形影響的探討還較少。文獻［2］利用翼板剪切變形規(guī)律定義了剪力滯翹曲函數(shù)，已證明其具有未知變量少、分析精度高的特點。文獻［3］分析了箱形梁在靜載作用下的剪力滯后和剪切變形的雙重效應(yīng)，將剪力滯效應(yīng)、剪切變形效應(yīng)的分析納入有限元系統(tǒng)。文獻［4］探討了箱梁在剪力滯與剪切變形雙重影響下的自振特性，最終發(fā)現(xiàn)梁的動力剛度和固有頻率計算值都會因為剪力滯效應(yīng)和剪切變形有較大降低。文獻［5-6］探討了連續(xù)箱梁、簡支箱梁的自振特性，并用解析法分析了剪力滯效應(yīng)對其的影響。但這種方法僅僅限于對自振特性的研究，卻不能應(yīng)用到強迫振動，從而難以解決工程中遇到的實際問題。本文研究基于剪切變形規(guī)律的剪力滯效應(yīng)和剪切變形對薄壁箱梁振動的影響。

1　振動控制微分方程

首先推導(dǎo)出考慮剪力滯后效應(yīng)的箱梁(見圖1)振動控制微分方程。定義w(x，t)為箱型截面任一點(x，y，z)處的豎向撓曲位移，φ(x，t)為截面的轉(zhuǎn)角，u(x，y，t)為縱向位移，U(x，t)為最大翼板剪切變形差。定義f(y，t)為截面的剪力滯翹曲位移函數(shù)。此時箱梁i截面的縱向位移可表示為

圖1　薄壁箱梁示意

從以上定義的截面位移表達式中可以看出，截面的轉(zhuǎn)角φ(x，t)和最大翼板的剪切變形差U(x，t)為待求解的未知量。同時需要預(yù)先設(shè)定與U(x，t)對應(yīng)的翹曲位移函數(shù)f(y，t)。正確反映箱梁翼板剪力滯分布規(guī)律的關(guān)鍵是對剪力滯翹曲位移函數(shù)f(y，t)的合理定義。從剪力滯效應(yīng)的機理可知翼板的剪切變形規(guī)律控制著翹曲位移函數(shù)，所以在翹曲位移函數(shù)定義時考慮翼板之間剪切變形的差異顯得至關(guān)重要。

首先把頂板的翹曲位移函數(shù)定義為經(jīng)典的三次拋物線

因為翼板的剪切變形直接決定了其剪力流，所以根據(jù)翼板剪力流之間的關(guān)系，可以把懸臂板的翹曲位移函數(shù)定義為

式中:ξ2=A2/A1，即懸臂板和內(nèi)側(cè)板的面積之比。

同理，定義底板的翹曲位移函數(shù)為

式中，ξ3=ZxAx/ZsAs。

1.1箱梁振動的能量方程

箱梁的上、下翼板和腹板的應(yīng)變能之和為

式中:E為彈性模量;G為剪切模量;I為豎向彎曲慣性矩;Iu為引入全部翼板的剪力滯翹曲慣性矩;Au為剪力滯翹曲面積;Iyu為剪力滯翹曲慣性積。

只考慮豎向振動的動能如下

式中:ω·為ω關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù);m(x，t)為質(zhì)量線密度。

計算外荷載所做的功采用以下公式

式中:P(x，t)為荷載線密度;F為外荷載;δ為變分符號。

1.2方程推算步驟

由哈密爾頓原理

將式(1)，(5)，(6)，(7)代入式(8)進行變分，可以推導(dǎo)出振動控制方程、邊界條件、初始條件。

控制方程

邊界條件

當(dāng)兩端邊界條件都是簡支時，式(10)變?yōu)?/p>

初始條件

式(12)～(13)中，ω0(x)，φ0(x)分別為箱梁初始的位移和速度。

2　方程的求解

顯然，很難用解析法求解方程式(9)～(13)，又因為w(x)，φ(x)和U(x)耦合，如果用有限單元法求解方程，則假設(shè)的形函數(shù)很難反映w(x)，φ(x)和U(x)的耦合關(guān)系。文獻［3］在求得微分方程初參數(shù)解的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了能夠精確反映w(x)和U(x)耦合關(guān)系的單元剛度矩陣。但是，這整個求解過程是相對于靜載作用而言的，在本文中，由于m·ω·的存在，故不能用初參數(shù)法求得質(zhì)量矩陣和有限單元法的剛度矩陣［7］。差分法是解答特殊方程常用方法之一，所以本文用差分法求得方程式(9)～(13)的數(shù)值解［8］。

3　算例

一簡支箱梁截面如圖2所示，跨徑l為30 m，彈性模量E=3.5×104MPa，材料密度ρ=2.5×103kg/m3。初始條件:ω0(x)=0(0＜x＜l)，φ0(x)=0(0＜x＜l)，突加均布荷載，荷載密度p=500 kN/m，計算0～2 s時的應(yīng)力和位移，同時求得剪力滯系數(shù)。取t=0.005 s，h=0.5 m，計算結(jié)果如表1所示。

圖2　箱型截面(單位:mm)

表1　跨中截面位移應(yīng)力在不同條件下的最大值

從上表可以得出:在跨中截面翼板與腹板交接處，其剪力滯剪切變形雙重效應(yīng)影響系數(shù)λe為: 14.892 7/12.584 1=1.183 8。

僅考慮剪力滯時影響系數(shù)λe為:14.129 4/ 12.584 1=1.122 7。

4　結(jié)論

1)利用翼板剪切變形規(guī)律定義了剪力滯翹曲函數(shù)，并且根據(jù)變分原理推導(dǎo)出了振動微分方程、邊界條件，為將來研究在外荷載作用下發(fā)生強迫振動時，箱梁同時考慮剪力滯效應(yīng)和剪切變形情況下的雙重效應(yīng)分析奠定了基礎(chǔ)。

2)在薄壁箱梁振動時，跨中位移會因為剪力滯效應(yīng)和剪切變形明顯增大，應(yīng)力集中也更加明顯。在跨中截面翼板與腹板交接處，其剪力滯剪切變形雙重效應(yīng)影響系數(shù)λe為1.18，而只考慮剪力滯效應(yīng)時影響系數(shù)λe為1.12。

［1］雒敏，藺鵬臻，孫理想．雙室箱梁剪力滯效應(yīng)的試驗研究［J］．鐵道建筑，2015(10):56-59．

［2］藺鵬臻，周世軍．基于剪切變形規(guī)律的箱梁剪力滯效應(yīng)研究［J］．鐵道學(xué)報，2011，33(4):100-104．

［3］劉世忠，吳亞平，夏旻，等．薄壁箱梁剪力滯剪切變形雙重效應(yīng)分析的矩陣方法［J］．工程力學(xué)，2001，18(4):140-145．

［4］張永健，黃平明．一種計入剪力滯及剪切變形效應(yīng)的箱梁自振頻率計算方法［J］．鄭州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2007，28(1):51-55．

［5］甘亞南，吳亞平，王根會，等．剪力滯效應(yīng)對簡支箱梁自振特性的影響研究［J］．蘭州鐵道學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2002，21(3):23-25．

［6］甘亞南，王根會，吳亞平．剪力滯效應(yīng)對連續(xù)箱梁自振特性的影響研究［J］．蘭州鐵道學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2003，22(3):41-43．

［7］宋一凡．公路橋梁動力學(xué)［M］．北京:人民交通出版社，2000．

［8］陸金甫，關(guān)治．偏微分方程數(shù)值解法［M］．北京:清華大學(xué)出版社，2004．

(責(zé)任審編 趙其文)

Effect Analysis of Both Shear Lag and Shear Deformation of Box-girder Vibration

PENG Lingfeng，LIN Pengzhen
(Key Laboratory of Road＆Bridge and Underground Engineering of Gansu Province，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou Gansu 730070，China)

Shear lag warping function was defined by flange shear deformation，and the differential equation，boundary condition and initial condition were given with consideration of shear lag effect and shear deform ation of box-girder based on variation principle．Due to the specialty of this differential equation，difference method was the effective solution．The numerical so lutions were given and this method was validated through the numerical analysis of a simply supported girder．In addition，shear lag and shear deformation affected displacement and stress during the vibration of thin-walled box-girder，and the effect of shear lag was more significant than that of shear deform ation．

Thin-walled box-girder;Shear lag;Vibration;Shear deformation;Difference method

U441+．5

A

10．3969/j．issn．1003-1995．2016．11．05

1003-1995(2016)11-0020-03

2016-04-07;

2016-07-05

國家自然科學(xué)基金(51168030，51208242，51368031);甘肅省基礎(chǔ)研究創(chuàng)新群體項目(1506RJIA029);教育部長江學(xué)者和創(chuàng)新團隊發(fā)展計劃(IRT1139)

彭凌風(fēng)(1992—)，男，碩士研究生。

藺鵬臻(1977—)，男，教授，博士。