張 茜，陳建生，董海洲，滕兆明

(1.淮陰工學(xué)院 建筑工程學(xué)院，江蘇 淮安 223003； 2.河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210098；3.昆山市水利局，江蘇 昆山 215300)

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示蹤法測(cè)定井中滲透流速的廣義稀釋模型研究

張 茜1，陳建生2，董海洲2，滕兆明3

(1.淮陰工學(xué)院 建筑工程學(xué)院，江蘇 淮安 223003； 2.河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210098；3.昆山市水利局，江蘇 昆山 215300)

基于傳統(tǒng)稀釋公式和廣義稀釋公式存在的問(wèn)題，對(duì)已有廣義稀釋公式在原模型基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)方法改進(jìn)，給出理論上的嚴(yán)格解析解，解決了原有公式的舍入誤差，簡(jiǎn)化了公式形式。以固定高度水柱為研究對(duì)象，重新建立模型，給出新的水平滲透流速計(jì)算方法。結(jié)合北江大堤文獻(xiàn)資料給出具體應(yīng)用結(jié)果，并與前人各公式進(jìn)行對(duì)比分析，與考慮質(zhì)量守恒和溶質(zhì)彌散作用的公式結(jié)果相比誤差較小，很好地反映了工程實(shí)際情況，且在數(shù)據(jù)處理和公式應(yīng)用上具備簡(jiǎn)潔明了的優(yōu)勢(shì)，具有很好的工程應(yīng)用價(jià)值。

示蹤法；滲透流速；垂向流；廣義稀釋原理；滲漏探測(cè)

1 研究背景

地下水流動(dòng)的水平流速可以通過(guò)測(cè)定注入鉆孔中的示蹤劑濃度變化的方法來(lái)確定，現(xiàn)已有許多研究成果[1-3]。Kocherin于1916年首次提出該方法原理，當(dāng)時(shí)采用普通食鹽溶液作為示蹤劑。后來(lái)研究人員對(duì)該方法進(jìn)行了進(jìn)一步發(fā)展和研究[4-7]。傳統(tǒng)示蹤法原理是將示蹤劑注入濾水管，并將濾水管放入檢測(cè)通道,濾水管中的水柱被少量放射性示蹤劑標(biāo)記,地下水滲透流速影響示蹤劑稀釋速度,根據(jù)這種影響關(guān)系可以求出滲透流速,根據(jù)滲流速度的變化確定滲流場(chǎng)。此方法便于實(shí)施，可在鉆孔中獲取大量水文地質(zhì)參數(shù)。研究理論從最初的點(diǎn)稀釋定理到廣義稀釋模型到考慮質(zhì)量守恒和溶質(zhì)彌散等改進(jìn)，但均各有不足。

本文在廣義稀釋模型基礎(chǔ)上進(jìn)行嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)，重新給出了廣義稀釋模型的嚴(yán)格解析解，并從水柱穩(wěn)定角度重新建立模型，考慮水柱總水量受到垂向流和水平流的共同影響，推導(dǎo)出此時(shí)的水平滲透流速計(jì)算新公式。

2 基本理論

Moser給出了在孔中無(wú)垂向流時(shí)，單井中的滲透流速計(jì)算公式[4-5]，即

(1)

式中：r為鉆孔半徑；t為2次測(cè)量時(shí)間間隔；α為流場(chǎng)畸變系數(shù)；N0為t=0時(shí)的記數(shù)率；N為t時(shí)刻的記數(shù)率，現(xiàn)場(chǎng)利用核探測(cè)器測(cè)量給出。

式(1)是傳統(tǒng)點(diǎn)稀釋公式，沒(méi)有考慮垂向流的影響，但實(shí)際工程中垂向流的存在相當(dāng)普遍，因此上述公式的應(yīng)用受到了極大限制。陳建生等[7]在傳統(tǒng)稀釋法的基礎(chǔ)上考慮垂向流的影響，給出了廣義稀釋公式,即

Vf=

(2)

式中：vA,vB分別為A,B兩點(diǎn)的垂向流速;h為被測(cè)段含水層A，B兩點(diǎn)間的水柱高度。

式(2)考慮了垂向流的影響，應(yīng)用更廣泛，該公式比傳統(tǒng)點(diǎn)稀釋公式更能揭露工程實(shí)際情況，計(jì)算結(jié)果更為可信。但由于該公式含有無(wú)窮項(xiàng)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)存在舍入誤差，其精度在理論上有改進(jìn)空間。

樊哲超等[8]則是在廣義稀釋模型基礎(chǔ)上考慮流速隨時(shí)間變化而推導(dǎo)了近似公式,即

(3)

該公式相比廣義稀釋公式在形式上更為簡(jiǎn)潔，工程應(yīng)用結(jié)果顯示計(jì)算結(jié)果與工程實(shí)際比較貼合，但在推導(dǎo)中也做了近似，理論精度上依然可以改進(jìn)。

葉合欣[9]從質(zhì)量守恒原理出發(fā)，利用微元法重新建模推出水平滲透流速計(jì)算公式,即

(4)

式中N(z,t)為對(duì)應(yīng)深度為z的點(diǎn)在t時(shí)刻的示蹤劑計(jì)數(shù)。

式(4)模型新穎，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際地質(zhì)情況相一致，只是數(shù)據(jù)量較大時(shí)，求解較為復(fù)雜。

葉合欣等[10]又在此基礎(chǔ)上考慮了溶質(zhì)彌散作用，進(jìn)一步推導(dǎo)了滲透流速計(jì)算公式,即

(5)

式中αl為縱向彌散度。

式(5)在式(4)的模型基礎(chǔ)上考慮了溶質(zhì)彌散作用，嚴(yán)密推導(dǎo)了流速計(jì)算公式，在工程實(shí)例中驗(yàn)證表明彌散作用不可忽略。雖然忽略了孔中示蹤劑水平向彌散的影響，一定程度上影響了計(jì)算結(jié)果的精度，但此公式考慮因素最全面，結(jié)果最準(zhǔn)確，但數(shù)據(jù)處理較復(fù)雜，實(shí)際應(yīng)用比較繁瑣。

值得注意的是在廣義稀釋模型推導(dǎo)中采用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，存在舍入誤差，本文在此基礎(chǔ)上通過(guò)數(shù)學(xué)分析重新推導(dǎo)式(2)精確解析解的形式，并從水柱穩(wěn)定角度重新建立模型，推導(dǎo)了新的水平滲透流速計(jì)算公式。

3 模型建立與公式的再推導(dǎo)

3.1 對(duì)于廣義稀釋公式的再推導(dǎo)

陳建生等[7]針對(duì)傳統(tǒng)稀釋法的局限推導(dǎo)了在有垂向流影響下的廣義稀釋公式，應(yīng)用泰勒展開(kāi)只取前2項(xiàng)，不僅加大舍入誤差而且使得結(jié)果項(xiàng)數(shù)繁多，應(yīng)用復(fù)雜[7]，為了給出解析解，本文作如下推導(dǎo)。

假設(shè)一定量示蹤劑注入孔中水體內(nèi)，止水塞間長(zhǎng)度為h，孔徑為d，水平方向流入水柱和流出水柱的水流速度分別表為vU,vD;最初產(chǎn)生的濃度為C，試驗(yàn)點(diǎn)地下水流穩(wěn)定；孔中被標(biāo)定的圓柱體積V=d2h/4(如圖1)。

圖1 廣義稀釋模型計(jì)算示意圖[7]Fig.1 Schematic of the generalized dilution model[7]

假設(shè)條件有：示蹤劑瞬時(shí)與地下水混合均勻；不考慮濃度梯度的影響，即示蹤劑從體積V中逃逸僅因?yàn)樗搅鞯挠绊?；不考慮示蹤劑彌散作用；含水層中水不可壓縮；與A,B對(duì)應(yīng)的含水層為均勻分布,水頭相同且穩(wěn)定；示蹤劑在孔的同一個(gè)正截面上濃度相同，在垂直方向的分布可不均勻。

考慮水柱高度h受到垂向流vA，vB影響而改變，則Q是一個(gè)隨時(shí)間變化的量，取決于A,B兩點(diǎn)垂向流的速度差, 即

(6)

考慮高度為h的稀釋水柱時(shí),流入含水層下游的水量為

q=2rhvDt 。

(7)

通過(guò)薄層水柱內(nèi)與流出含水層的水之間示蹤劑濃度近似相等的關(guān)系得到

(8)

當(dāng)δq→0,δm→0時(shí)，有

(9)

兩邊同時(shí)求和得到：

(10)

(11)

式中:δq為δt時(shí)間內(nèi)流出微水柱的水量;δm為帶走的溶質(zhì);△m為微水柱內(nèi)示蹤劑的量;△Q為水量。

積分即得式(2)，而本文發(fā)現(xiàn)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)積分結(jié)果形式復(fù)雜，應(yīng)用上有舍入誤差，并非精確解，為得到解析解采用分類討論積分。

當(dāng)vA=vB時(shí)，有：

(12)

(13)

當(dāng)vA≠vB時(shí)，有：

(14)

(15)

得到水平滲透流速計(jì)算公式為

(16)

綜上可得廣義稀釋公式可以統(tǒng)一表達(dá)如下：當(dāng)vA=vB時(shí)，即式(1)；當(dāng)vA≠vB時(shí)，即式(16)。

結(jié)合工程實(shí)際情況可以預(yù)見(jiàn)，垂向流速對(duì)于水平滲透流速的影響是連續(xù)的，即水平滲透流速不應(yīng)在垂向流vA=vB時(shí)發(fā)生突變，因此其表達(dá)式也應(yīng)該是垂向流的連續(xù)函數(shù)，即應(yīng)該滿足對(duì)于垂向流速的連續(xù)性。鑒于此，對(duì)式(16)作連續(xù)性驗(yàn)證。

為方便表示，設(shè)vA-vB=vv，代入式(16)則

(17)

當(dāng)vA→vB時(shí)，有vv→0，于是

(18)

化簡(jiǎn)即得點(diǎn)稀釋公式，即式(1)?？梢?jiàn)式(16)在vA=vB時(shí)是點(diǎn)稀釋公式，滿足連續(xù)性要求，與事實(shí)吻合。于是廣義稀釋公式可以統(tǒng)一表達(dá)為式(16)。與式(2)對(duì)比，改進(jìn)之處在于原有廣義稀釋公式應(yīng)用泰勒展開(kāi)，形式復(fù)雜，且只是近似意義上的解，本文式(16)則是通過(guò)分類討論，直接進(jìn)行積分運(yùn)算得到，形式簡(jiǎn)單，且為精確解析解，在工程應(yīng)用時(shí)避免繁雜多項(xiàng)帶來(lái)的舍入誤差。

圖2 水柱穩(wěn)定模型計(jì)算示意圖Fig.2 Schematic of water column stability model

3.2 模型的重新建立與推導(dǎo)

上一節(jié)所得式(16)是對(duì)廣義稀釋公式積分方法的改進(jìn)，在鉆孔內(nèi)微水柱中溶質(zhì)濃度與該時(shí)刻流出微水柱的水所帶走的溶質(zhì)的濃度近似相等，在鉆孔內(nèi)選取dz高度的微水柱，如圖2所示，假設(shè)條件同上，為使示意圖具有一般代表性，與圖1所示含義相同，A處代表流入水柱的速度，B處代表流出水柱的速度，以便后續(xù)探討流速不同情況的適用條件。

上一節(jié)的推導(dǎo)改進(jìn)都只考慮了流出水柱的水量q受到水平流速的影響，而工程實(shí)際情況是垂向流的存在對(duì)q也產(chǎn)生影響，取固定高度為h的水柱為研究對(duì)象，考慮水柱中流出水量q受到垂向流速和水平流的共同影響，則q的表達(dá)式為

q=2rhvDt+πr2(vB-vA)t ；

(19)

dq=2rhvDdt+πr2(vB-vA)dt 。

(20)

則Q為相對(duì)應(yīng)高度h的整孔水柱水量,即

(21)

水量平衡有

(22)

將式(20)和式(21)代入式(10)得：

(23)

(24)

(25)

式中各變量意義與前文同，可以看到式(1)正是式(25)的一個(gè)特例。

可以發(fā)現(xiàn)，式(16)比式(2)有了理論推導(dǎo)上的改進(jìn)，但計(jì)算模型一樣，考慮高度h的水柱內(nèi)，總水量Q受到垂向流的影響，流出水柱的水量q受到水平流速的影響，而實(shí)際上對(duì)于h高度內(nèi)的水柱總量來(lái)說(shuō)，流出的水量q受到水平流和垂向流的混合影響，式(25)就是考慮了這種共同影響而推得的結(jié)果，應(yīng)是更接近工程實(shí)際情況的解。

4 公式適用條件

本文所推導(dǎo)的式(16)和式(25)是對(duì)廣義稀釋公式研究的改進(jìn)，但也有一定適用條件，在模型建立中都討論了垂向流的影響,即vA=vB時(shí)，若垂向流量相對(duì)水平流量太大，會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)較大誤差，定量研究意義不大，一般在垂向流量小于水平流量時(shí)適用性越好，當(dāng)然越小越適用；vAvB時(shí)，為吸水層，此時(shí)應(yīng)區(qū)分吸水模式，若是輻射狀徑向吸水，公式不適用，若垂向流與水平流量接近，則公式只能做定性參考，定量化意義不大，若垂向流遠(yuǎn)小于水平流量，則在需要考慮流場(chǎng)畸變時(shí)，公式基本適用。

表1 試驗(yàn)孔示蹤探測(cè)結(jié)果(孔半徑r=0.035 m，α=2)

5 工程實(shí)例的對(duì)比分析

通過(guò)式(1)—式(5)、式(16)、式(25)應(yīng)用于工程實(shí)例的結(jié)果對(duì)比來(lái)說(shuō)明式(25)的合理性，采用文獻(xiàn)[7]中某鉆孔示蹤劑探測(cè)資料，試驗(yàn)孔位于廣州清遠(yuǎn)石角鎮(zhèn)北江大堤，通過(guò)投放并測(cè)量示蹤劑濃度得到7條曲線，如圖3所示。

圖3 鉆孔中示蹤劑濃度變化圖[7]Fig.3 Variations of tracer concentration[7]

將相鄰峰值之間的含水層作為一個(gè)分層，共分為5層，為了提高垂向流速計(jì)算的精度，將兩峰值之間計(jì)算出的垂向流速看作其連線中點(diǎn)的流速，然后用多項(xiàng)式來(lái)擬合各個(gè)中點(diǎn)的值，利用得到的多項(xiàng)式關(guān)系來(lái)推求峰值深度對(duì)應(yīng)的垂向流速值，見(jiàn)圖4。分別用式(1)—式(5)、式(16)、式(25)計(jì)算各層水平滲透流速，見(jiàn)表1、表2和圖5。

圖4 垂向流速擬合曲線Fig.4 Curve fitting of vertical velocity

圖5 各式計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.5 Calculation results of the formulas

通過(guò)圖5可以發(fā)現(xiàn)，式(1)和式(2)結(jié)果很相近，但在整孔深度范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)水平流速大小相差較大，與事實(shí)不符，因?yàn)槭?1)沒(méi)有考慮垂向流，而本工程資料顯示該孔垂向流顯然不可忽略。

通過(guò)式(2)與式(16)對(duì)比可見(jiàn)兩式結(jié)果較為相近，式(16)更簡(jiǎn)潔且更嚴(yán)謹(jǐn)，而式(3)則與式(16)相比偏離較大，可見(jiàn)式(3)所做的考慮并不必要，且由于近似推導(dǎo)而加大了誤差。

從整體上發(fā)現(xiàn)，式(1)、式(2)、式(3)、式(16)都是廣義稀釋模型的已有形式，本文式(16)最嚴(yán)謹(jǐn)且方便應(yīng)用，但相比式(4)、式(5)，式(16)所得結(jié)果相差較大，最大數(shù)量級(jí)差別達(dá)到2級(jí)，與工程實(shí)際情況不符，而式(5)則比式(4)多考慮了彌散作用，因此計(jì)算流速結(jié)果顯示更為均勻，與地質(zhì)資料表明的含水層性質(zhì)均勻較為一致，更為可信。

表2 各公式計(jì)算結(jié)果

對(duì)比式(4)、式(5)、式(25)的結(jié)果發(fā)現(xiàn)流速比較均勻，且地質(zhì)資料[11-12]顯示，該層顆粒分布較均勻，滲透性差距不大，因此在穩(wěn)定水位下的水平滲透流速也應(yīng)相近，正與以上公式計(jì)算結(jié)果相符合，而式(4)顯示最大滲透流速與最小滲透流速比值為4.9，仍處于同一數(shù)量級(jí)，而式(7)相應(yīng)之比為3.59，式(5)則最為穩(wěn)定，相應(yīng)之比為1.7。從圖5可見(jiàn)式(25)與式(5)整體趨勢(shì)較相近，即與同時(shí)考慮質(zhì)量守恒和溶質(zhì)彌散作用的公式本質(zhì)上相近，比較合理，較為真實(shí)地體現(xiàn)了整個(gè)含水層中的局部差異和整體均一性。說(shuō)明式(25)計(jì)算結(jié)果可信，符合實(shí)際，且更客觀反映了工程實(shí)況，相比式(5)在形式上簡(jiǎn)便易懂，操作方便，避免數(shù)據(jù)處理的繁冗和參數(shù)求解的麻煩，不僅是嚴(yán)格解析解，而且具有數(shù)據(jù)處理簡(jiǎn)便的優(yōu)勢(shì)，適應(yīng)工程應(yīng)用需要。

6 結(jié) 語(yǔ)

在水文地質(zhì)調(diào)查等方面，應(yīng)用示蹤法測(cè)定地下水滲透流速的手段取得了極大成功，但傳統(tǒng)點(diǎn)稀釋公式受到垂向流等條件的限制，后來(lái)發(fā)展的廣義稀釋模型、基于示蹤劑質(zhì)量守恒模型、考慮溶質(zhì)彌散作用模型等都各有不足。本文在前人工作基礎(chǔ)上對(duì)廣義稀釋公式重新推導(dǎo)，給出了嚴(yán)格解析解，解決原有公式存在的舍入誤差，并建立水柱穩(wěn)定模型，推導(dǎo)了新的水平滲透流速計(jì)算公式。與前人成果進(jìn)行對(duì)比分析，能夠得到更為豐富的更為貼近實(shí)際地質(zhì)情況的含水層水平流速變化信息,客觀反映了工程實(shí)際情況，結(jié)果比較合理，且形式簡(jiǎn)單，應(yīng)用方便，避免了數(shù)據(jù)處理的繁冗和參數(shù)求解的麻煩，具有數(shù)據(jù)處理優(yōu)勢(shì)，在工程應(yīng)用中簡(jiǎn)便易行，為獲取和求解一些水文地質(zhì)參數(shù)發(fā)揮一定工程應(yīng)用價(jià)值。

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(編輯：陳 敏)Modified Generalized Dilution Model of Determining PermeabilityVelocity in Wells by Tracer Method

ZHANG Xi1，CHEN Jian-sheng2， DONG Hai-zhou2，TENG Zhao-ming3

(1.School of Architectural Engineering, Huaiyin Institute of Technology, Huaian 223003,China; 2.School of Earth Science and Engineering, Hohai University，Nanjing 210098,China; 3.Water Conservancy Bureau of Kunshan, Kunshan 215300, China)

On the basis of traditional and generalized dilution formulas, we took the existing problems into consideration and deduced again based on the original model, removing the rounding errors of the original formula by giving the theoretically strict solutions. With water column of constant height, we deduced the new formula of horizontal seepage velocity. Taking the document data of Beijiang dike as an example, we calculated the results by using the proposed formula and compared the results with those by previous formulas. We found that our new formula result has small errors compared with those considering the mass conservation and solute dispersion effect. The proposed formula reflects the actual project well and has the advantage of simple form in application and data processing, with good engineering application value.

trace method; permeability velocity; vertical flow; generalized dilution principle; leakage detection

2015-08-05 ；

2015-10-29

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目(50809024)；江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(BK2009343)；教育部博士點(diǎn)基金項(xiàng)目(20090094110007)

張 茜(1985-)，女，江蘇宿遷人，助教，碩士，主要從事土木結(jié)構(gòu)和巖土體滲流計(jì)算與測(cè)試研究，(電話)0517-83591177(電子信箱)zhangxi_008@sina.com。

陳建生(1955-)，男，江蘇泗陽(yáng)人，教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要從事水庫(kù)堤壩滲漏探測(cè)與加固關(guān)鍵技術(shù)，地面突水、礦山透水災(zāi)害致災(zāi)機(jī)制與預(yù)警，隧道、邊坡的穩(wěn)定性監(jiān)測(cè)和分析等研究，(電話)025-83787734(電子信箱)jschen@hhu.edu.cn。

10.11988/ckyyb.20150662

2016,33(10):126-130,139

TU43

A

1001-5485(2016)10-0126-05