尹楠

（南京曉莊學(xué)院商學(xué)院，南京211171）

森林火災(zāi)SIR模型及仿真模擬

尹楠

（南京曉莊學(xué)院商學(xué)院，南京211171）

文章借鑒傳染病研究中的SIR模型，并結(jié)合森林火災(zāi)發(fā)生的特點，建立森林火災(zāi)SIR模型并對森林火災(zāi)燃燒擴散狀態(tài)進(jìn)行仿真模擬，根據(jù)模擬仿真結(jié)果及分析結(jié)論，得出了有效預(yù)防和控制森林火災(zāi)的手段。

SIR模型；森林火災(zāi)；仿真模擬

0　引言

SIR模型是傳染病研究模型中最經(jīng)典的模型，該模型中S表示易感者，I表示感染者，R表示移出者。利用該SIR模型，可以研究某種傳染病的傳播擴散機制，并建立數(shù)學(xué)模型去模擬其傳播過程。而對于森林火災(zāi)的發(fā)生及擴散，類似于傳染病傳播過程，因此也可以應(yīng)用SIR模型去進(jìn)行分析。本文正是基于傳染病的SIR模型，并結(jié)合森林火災(zāi)的發(fā)生特點，建立森林火災(zāi)SIR模型，并進(jìn)行模型的仿真模擬實現(xiàn)過程。利用該火災(zāi)模型，可以對森林火災(zāi)發(fā)生的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測，并有效預(yù)防和控制森林火災(zāi)的發(fā)生或蔓延。

1　森林火災(zāi)SIR模型的建立

1.1森林火災(zāi)發(fā)生的特點

森林火災(zāi)的發(fā)生具有蔓延快、感染性強的特點。在一片森林區(qū)域，如果一棵樹木著火，會導(dǎo)致周邊樹木的著火，并引起火勢迅速向四周蔓延，最終會影響整片森林區(qū)域。其主要特征表現(xiàn)為在一個固定區(qū)域內(nèi)，個體間相互作用的模擬。與傳統(tǒng)的傳染病研究SIR模型的特點相類似，因此可以借鑒傳染病SIR模型去研究森林火災(zāi)的發(fā)生及蔓延。

1.2森林火災(zāi)模型的假設(shè)條件

（1）在森林火災(zāi)發(fā)生期內(nèi)所考察的地區(qū)范圍不考慮樹種的生長、死亡、遷移等種群動力因素。總樹種數(shù)N(t)不變，樹種始終保持一個常數(shù)N。樹種群分為以下三類：易觸火者(未燃燒)，其數(shù)量比例記為s(t)，表示t時刻未燃燒但有可能被大火觸及的樹種數(shù)占總樹種數(shù)的比例；觸火者(燃燒中)，其數(shù)量比例記為i(t)，表示t時刻已被燃燒成為觸火樹種而且具有傳染力的樹種數(shù)占總樹種數(shù)的比例；移除者(熄滅)，其數(shù)量比例記為r(t)，表示t時刻已從燃燒樹種中移出的樹種占總?cè)藬?shù)的比例。

（2）假設(shè)時間以小時為計量單位，樹種的每小時觸火率為λ，每小時熄滅率為μ，觸火期接觸數(shù)為

1.3森林火災(zāi)模型的構(gòu)成

在以上三個基本假設(shè)條件下，易觸火者（未燃燒）從觸火到移除的過程圖表示如下：

根據(jù)假設(shè)（1）可以得出：

s(t)+i(t)+r(t)=1

需要建立s(t)，i(t)，r(t)的兩個方程組，如下所示：

N[i(t+△t)-i(t)]=λNs(t)i(t)△t-μNi(t)△t

N[s(t+△t)-s(t)]=-λNs(t)i(t)△t

對于移除體(熄滅)的數(shù)量應(yīng)為：

假設(shè)初始時刻的易觸火者(未燃燒)，觸火者(燃燒中)，移除者(熄滅)的比例分別為[s0]（[s0]＞0），[i0]（[i0]＞0），[r0]=0。于是得到SIR模型為如下微分方程組初值問題：

而由s+i+r=1有dr/dt=-di/dt-ds/dt，于是上式的第三個方程變?yōu)楹愕仁剑瑥亩Ｐ涂梢院喕癁椋?/p>

i0+s0≈1(通常r(0)=r0很?。?/p>

可以得出相軌線：

相軌線i(s)的定義域為：D={(s，i)|s≥0，i≥0，s+i≤1}，可以作出相軌線i(s)的圖形進(jìn)行分析。

圖1　相軌線i(s)

當(dāng)s(t)單調(diào)減趨向于相軌線i(s)的方向，s=1/σ，i=im，

圖1中P1為s0＞1/σ→i(t)先升后降至0，表示森林火災(zāi)會蔓延。P2為s0＜1/σ→i(t)單調(diào)降至0，表示森林火災(zāi)不蔓延?？梢缘贸鲱A(yù)防森林火災(zāi)蔓延的條件，即為s0＜1/σ。因此可以通過提高閾值1/σ達(dá)到降低s(=λ/μ)的目的，即降低觸火率λ，提高熄滅率μ。

2　森林火災(zāi)SIR模型改善及模擬仿真

森林火災(zāi)模型的主要特點表現(xiàn)在火災(zāi)的發(fā)生對空間個體相互作用的模擬?；谝呀⒌纳只馂?zāi)SIR模型，觸火者(燃燒中)只能觸及與其相鄰的易觸火者(未燃燒)。因此定義點(x,y)的8個相鄰點分別為：(x-1,y-1)，(x-1,y)，(x-1,y+1)，(x,y-1)，(x,y+1)，(x+1,y-1)，(x+1,y)，(x+1,y+1)。利用離散化的步驟改善模型。在每一步中，每個觸火個體以概率λ觸及與其相鄰的易觸火者(未燃燒)。令x表示與一個易觸火者(未燃燒)相鄰的觸火者(燃燒中)總數(shù)，則該易觸火者(未燃燒)以概率(1-λ)x保持未被觸火。在觸及其他個體被觸火后，每個觸火者(燃燒中)以概率μ被移除。

假設(shè)森林火災(zāi)限制在一個空間為二維的矩陣網(wǎng)格中，令Xt表示在時刻t時的一個二維矩陣，并且令Xt(i，j)=

在數(shù)據(jù)分析軟件中模擬森林火災(zāi)模型的模擬仿真實驗，得出如下的輸出結(jié)果散點圖。

圖2　λ=0.2，μ=0.7的森林火災(zāi)模擬擴散圖

假設(shè)在二維矩陣圖中，在網(wǎng)格中心位置存在單一的著火點，在5，10，15，20小時模擬森林火災(zāi)的擴散，圖2為在觸火率λ=0.2，熄滅率μ=0.7的模擬森林火災(zāi)的兩個狀態(tài)。圖中深色和淺色點分別表示觸火者(燃燒中)和移除者(熄滅)。

圖3　λ=0.4，μ=0.6的森林火災(zāi)模擬擴散圖

從圖3可以看出，當(dāng)λ=0.4，μ=0.6，模擬森林火災(zāi)的擴散速度和面積變大，可以得出這樣的結(jié)論，隨著λ的增加或者μ的減少，森林火災(zāi)擴散，即發(fā)生大型火災(zāi)的概率將大大增加。

3　結(jié)論

本研究根據(jù)SIR模型建立森林火災(zāi)發(fā)生的模擬仿真，在一個空間為二維的矩陣網(wǎng)格中模擬森林火災(zāi)的發(fā)生狀態(tài)。結(jié)論表明，當(dāng)觸火率λ增加，或者熄滅率μ減小時，森林發(fā)生大型火災(zāi)的概率將會增加。同時，根據(jù)該森林火災(zāi)模型能夠很好的模擬火災(zāi)發(fā)生的演變狀態(tài)，文中限于篇幅僅列出了四種狀態(tài)。從火災(zāi)模擬的演變過程可以看出，火災(zāi)的擴散并不是直線型的，而是屬于一種不規(guī)則的變動，如果假設(shè)火災(zāi)的發(fā)生是沿著直線方向燃燒，那么每一個未燃燒樹木，即易觸火者(未燃燒)都與三個燃燒的樹木，即觸火者(燃燒中)相鄰，該樹木著火的可能性為1-(1-λ)3,考慮到樹木，即每個觸火者(燃燒中)以概率μ被移除，因此1-(1-λ)3＞μ，火災(zāi)將會變大。

根據(jù)上述建立的森林火災(zāi)SIR模型的模擬仿真結(jié)果及分析結(jié)論，可以看出，為預(yù)防和控制森林火災(zāi)的發(fā)生或蔓延，只有通過降低觸火率λ和提高熄滅率μ兩個基本途徑，其中降低觸火率可以通過禁止森林區(qū)域內(nèi)的一切火源，例如禁止吸煙、禁止燃燒等途徑降低觸火率，達(dá)到預(yù)防或者控制火災(zāi)的目的。提高熄滅率可以通過研制新型防火滅火工具等手段去更好的控制森林火災(zāi)的發(fā)生或蔓延。

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[2]馬源源,莊新田,李凌軒.股市中危機傳播的SIR模型及其仿真[J].管理科學(xué)學(xué)報,2013,(7).

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（責(zé)任編輯/易永生）

S762

A

1002-6487（2016）19-0076-02

尹楠（1982—），男，江蘇鎮(zhèn)江人，博士，講師，研究方向：管理信息系統(tǒng)。