曹 靜

（云南省昆明市官渡區(qū)第一中學 云南昆明 650200）

轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法在立體幾何中的應用

曹 靜

（云南省昆明市官渡區(qū)第一中學 云南昆明 650200）

化歸與轉(zhuǎn)化的思想是指在解決問題時，采用某種手段使之轉(zhuǎn)化，進而使問題得到解決的一種解題策略。化歸與轉(zhuǎn)化思想的核心是把生題轉(zhuǎn)化為熟題，解題的過程就是一個縮小已知與求解的差異的過程，是未知向熟知轉(zhuǎn)化的過程，因此每解一道題無論是難題還是易題，都離不開化歸，本文從以下幾個方面來闡述。

轉(zhuǎn)化與化歸思想 方法 應用

一、正與反的轉(zhuǎn)化

解數(shù)學問題，一般總是從正面入手思考，但有時遇到從正面入手不易解決的情況，這時作逆向思考頗能奏效，這就是我們常說的“正難則反”的轉(zhuǎn)化思想。

例1：設A、B、C、D是空間四點，且﹤ABC=﹤BCD=﹤CDA=﹤DAB=90°，求證：A、B、C、D在同一個平面上。

反證法：假設A、B、C、D不在同一平面上，則直線AB與CD是異面直線，∵﹤ABC=﹤BCD=﹤CDA=﹤BAD=90°，∴BC與AD均為異面直線AB、CD的公垂線，這與兩條異面直線公垂線的唯一性矛盾，故命題為真。

二、位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化與化歸

例2：設矩形ABCD，E、F分別為AB、CD的中點，以E F為棱將矩形折成二面角A－EF－C1（如圖1），求證：平面A B1E∥平面C1DF.

三、特殊與一般的轉(zhuǎn)化

解數(shù)學題有許多一般規(guī)律，也有相當多的特殊技巧，在許多問題的研究中，常常需要從考察特殊情況入手，發(fā)現(xiàn)歸納出一般結(jié)論。在某些問題中，運用一些特殊的技巧往往能獨辟蹊徑，立見事半功倍之效，兩者相輔相成，相得益彰。

例3：四面體ABCD四個面的重心分別為E、F、G、H，則四面體EFGH的表面積與四面體ABCD的表面積的比值是_______

解析：不妨設四面體ABCD為正四面體，棱長為1，由條件可知四面體EFGH也是正四面體，棱長為1/3，故它們表面積之比等于棱長之比的平方，即為1/9

四、空間向平面轉(zhuǎn)化

例4：球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都相等于大圓周長的，經(jīng)3個點的小圓周長為4π，那么這個球的半徑為（ ）.

分析：將空間的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題來處理，這是解題的通法

解：設A、B、C為球面上三點，過其中A、B兩點的大圓，如圖1，O為球心，則且OA＝OB＝R，

則AB＝OA＝OB＝R

同理OC＝OA＝OB＝R，OB＝OC＝BC＝R，∴△A BC為等邊三角形

設過A、B、C三點的小圓為⊙O′，如圖2，半徑為r，則由2πr=4π，得r=2，

五、割補轉(zhuǎn)化.

幾何中的割補思想，通過分割與補形把不規(guī)則的幾何體轉(zhuǎn)化為常見的一些幾何體進行求解。

例5 ：如圖3，三棱錐P－ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝n，PA與BC的公垂線ED＝h，求證：三棱錐P－ABC的體積

此題證法很多，下面用割補法證明如下：

解法1：如圖3，連結(jié)AD、PD

因為BC⊥DE，BC⊥AP，所以BC⊥平面APD，又D E⊥AP，所以VP－ABC＝VB－APD＋VC－APD

解法2：如圖4，以三棱錐P－ABC的底面為底面，側(cè)棱PA為側(cè)棱，補成三棱柱PB1C1－ABC，連結(jié)EC、EB，則易證AP⊥平面EBC。

六、等積轉(zhuǎn)化

等積法就是借助面積或體積相等，求解線段的長度等問題。

例6：如圖5，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E、F分別為棱AA1與CC1的中點，求四棱錐A1－EBFD1體積。

解：易證四邊形EBFD1是菱形，連結(jié)A1C1、EC1、AC1、AD1，則

在數(shù)學操作中實施轉(zhuǎn)化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，按照這些原則進行數(shù)學操作，轉(zhuǎn)化過程省時省力，經(jīng)常滲透轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。