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        轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法在立體幾何中的應(yīng)用

        2016-12-08 10:45:09
        關(guān)鍵詞:棱長異面四面體

        曹 靜

        (云南省昆明市官渡區(qū)第一中學(xué) 云南昆明 650200)

        轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法在立體幾何中的應(yīng)用

        曹 靜

        (云南省昆明市官渡區(qū)第一中學(xué) 云南昆明 650200)

        化歸與轉(zhuǎn)化的思想是指在解決問題時,采用某種手段使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而使問題得到解決的一種解題策略?;瘹w與轉(zhuǎn)化思想的核心是把生題轉(zhuǎn)化為熟題,解題的過程就是一個縮小已知與求解的差異的過程,是未知向熟知轉(zhuǎn)化的過程,因此每解一道題無論是難題還是易題,都離不開化歸,本文從以下幾個方面來闡述。

        轉(zhuǎn)化與化歸思想 方法 應(yīng)用

        一、正與反的轉(zhuǎn)化

        解數(shù)學(xué)問題,一般總是從正面入手思考,但有時遇到從正面入手不易解決的情況,這時作逆向思考頗能奏效,這就是我們常說的“正難則反”的轉(zhuǎn)化思想。

        例1:設(shè)A、B、C、D是空間四點(diǎn),且﹤ABC=﹤BCD=﹤CDA=﹤DAB=90°,求證:A、B、C、D在同一個平面上。

        反證法:假設(shè)A、B、C、D不在同一平面上,則直線AB與CD是異面直線,∵﹤ABC=﹤BCD=﹤CDA=﹤BAD=90°,∴BC與AD均為異面直線AB、CD的公垂線,這與兩條異面直線公垂線的唯一性矛盾,故命題為真。

        二、位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化與化歸

        例2:設(shè)矩形ABCD,E、F分別為AB、CD的中點(diǎn),以E F為棱將矩形折成二面角A-EF-C1(如圖1),求證:平面A B1E∥平面C1DF.

        三、特殊與一般的轉(zhuǎn)化

        解數(shù)學(xué)題有許多一般規(guī)律,也有相當(dāng)多的特殊技巧,在許多問題的研究中,常常需要從考察特殊情況入手,發(fā)現(xiàn)歸納出一般結(jié)論。在某些問題中,運(yùn)用一些特殊的技巧往往能獨(dú)辟蹊徑,立見事半功倍之效,兩者相輔相成,相得益彰。

        例3:四面體ABCD四個面的重心分別為E、F、G、H,則四面體EFGH的表面積與四面體ABCD的表面積的比值是_______

        解析:不妨設(shè)四面體ABCD為正四面體,棱長為1,由條件可知四面體EFGH也是正四面體,棱長為1/3,故它們表面積之比等于棱長之比的平方,即為1/9

        四、空間向平面轉(zhuǎn)化

        例4:球面上有3個點(diǎn),其中任意兩點(diǎn)的球面距離都相等于大圓周長的,經(jīng)3個點(diǎn)的小圓周長為4π,那么這個球的半徑為( ).

        分析:將空間的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題來處理,這是解題的通法

        解:設(shè)A、B、C為球面上三點(diǎn),過其中A、B兩點(diǎn)的大圓,如圖1,O為球心,則且OA=OB=R,

        則AB=OA=OB=R

        同理OC=OA=OB=R,OB=OC=BC=R,∴△A BC為等邊三角形

        設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的小圓為⊙O′,如圖2,半徑為r,則由2πr=4π,得r=2,

        五、割補(bǔ)轉(zhuǎn)化.

        幾何中的割補(bǔ)思想,通過分割與補(bǔ)形把不規(guī)則的幾何體轉(zhuǎn)化為常見的一些幾何體進(jìn)行求解。

        例5 :如圖3,三棱錐P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=n,PA與BC的公垂線ED=h,求證:三棱錐P-ABC的體積

        此題證法很多,下面用割補(bǔ)法證明如下:

        解法1:如圖3,連結(jié)AD、PD

        因為BC⊥DE,BC⊥AP,所以BC⊥平面APD,又D E⊥AP,所以VP-ABC=VB-APD+VC-APD

        解法2:如圖4,以三棱錐P-ABC的底面為底面,側(cè)棱PA為側(cè)棱,補(bǔ)成三棱柱PB1C1-ABC,連結(jié)EC、EB,則易證AP⊥平面EBC。

        六、等積轉(zhuǎn)化

        等積法就是借助面積或體積相等,求解線段的長度等問題。

        例6:如圖5,已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體,E、F分別為棱AA1與CC1的中點(diǎn),求四棱錐A1-EBFD1體積。

        解:易證四邊形EBFD1是菱形,連結(jié)A1C1、EC1、AC1、AD1,則

        在數(shù)學(xué)操作中實施轉(zhuǎn)化時,我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則,即把我們遇到的問題,通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理;或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題,變成比較簡單的問題,按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作,轉(zhuǎn)化過程省時省力,經(jīng)常滲透轉(zhuǎn)化思想,可以提高解題的水平和能力。

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