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        以“靜”制“動”化“繁”為“簡”——有感于“垂線段最短”在數(shù)學動點問題中的運用

        2016-12-07 05:45:47王永鋒
        初中生世界 2016年44期
        關鍵詞:垂線動點直線

        ■王永鋒

        以“靜”制“動”化“繁”為“簡”——有感于“垂線段最短”在數(shù)學動點問題中的運用

        ■王永鋒

        垂線段是初中幾何的一個基礎知識?!冻踔袛?shù)學新課程標準(2011年版)》對這方面的內(nèi)容提出過明確要求:理解垂線、垂線段等概念,能用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線;理解點到直線的距離的意義,能度量點到直線的距離。在這里,必須要指出的是:連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短,這條垂線段的長度,叫做點到直線的距離。

        2011年的蘇科版教材把這一內(nèi)容放在初一上學期第6章第5節(jié),盡管考查的知識較為基礎,但由于七年級學生對幾何語言的表述不甚規(guī)范,仍然會出現(xiàn)一些認知上的偏差。同時,由于教師對本節(jié)知識的重要性不夠重視,籠統(tǒng)地認為這部分內(nèi)容考試考得太少,不需花大力氣去講,因而在引導學生規(guī)范作圖和表述上不甚到位,達不到應有的教學水準。實際上,八、年級教學時,常常會碰到許多讓廣大學生“動”色變的動點問題,這種問題形式上較為瑣,旨在考查學生的悟性,特別是經(jīng)常會利用“垂線段最短”把過程中的“動”轉(zhuǎn)化為某一時刻的“靜”,把一個復雜的問題轉(zhuǎn)化為一個較為簡單的問題。教師教學時可以嘗試從以下幾個方面來理解垂線段最短。

        一、垂線段最短是一個知識點

        垂線段最短是學生應該掌握的重要知識,它本身是一個知識點。學生通過從身邊熟悉的事物中選取學習素材認識了垂直,進而了解了垂線段,并通過兩個定義的對比理解了垂線和垂線段的聯(lián)系和區(qū)別,最后再根據(jù)直線外一點和直線畫出垂線,并找出、標記好垂線段。

        圖1

        例1如圖1,AC⊥BC,C為垂足,CD⊥AB,D為垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么點C到AB的距離是_______,點A到BC的距離是_______,點B到CD的距離是_______,A、B兩點的距離是_______。

        解:C到AB的距離是垂線段CD的長度,為4.8,同理,中間兩空分別為6和6.4,而A、B兩點的距離是線段AB的長度,即為10。

        例2如圖2,污水處理廠A要把處理過的水引入排水溝l,應如何鋪設排水管道才能使排水溝最短,請你在圖紙上畫出鋪設管道的路線,并請你思考為什么這樣畫。

        圖2

        圖3

        解:如圖3,過點A作垂線段AB交l于點B,理由是垂線段最短。

        評析:例1主要是考查學生的辨析能力;點和線之間的距離是垂線段的長度,兩個端點是點和垂足,點和點之間的距離是兩點所連線段的長度;例2就是利用垂線段最短,但要注意畫垂線段的方法。

        知識是能力的先導。只有把知識真正學到位,對概念和性質(zhì)理解通透,才能真正轉(zhuǎn)化為能力,為后續(xù)總結(jié)方法、提煉思想和形成經(jīng)驗做好鋪墊。

        二、垂線段最短是一條方法線

        在解決動點問題的過程中,垂線段就是好多學生一道繞不過的坎,許多疑難題目通過作垂線段,便能迎刃而解??梢哉f,它為解決某些數(shù)學問題提供了一條明朗的方法線。

        例3如圖4,⊙O的直徑為10cm,弦AB為8cm,點P是弦AB上的一動點。若OP的長為整數(shù),則滿足條件的點P有()

        A.2個B.3個

        C.4個D.5個

        圖4

        解:當P與A或者B重合時,OP最大值為5,當OP與AB垂直時,由垂徑定理和勾股定理,求得OP最小值為3,在3和5之間還有2個長度為4的點,從而選D。

        例4據(jù)氣象臺預報,一股強臺風的中心位于寧波(指城區(qū),下同)東南方向千米的海面上,目前臺風中心正以20千米/時的速度向北偏西60°的方向移動,距臺風中心50千米的圓形區(qū)域均會受到強襲擊。已知寧海位于寧波正南方向72千米處,象山位于寧海北偏東60°方向56千米處。請問:寧波、寧海、象山是否會受這次臺風的強襲擊?如果會,請求出受強襲擊的時間;如果不會,請說明理由。(為解決問題,需畫出示意圖,現(xiàn)已畫出其中一部分,如圖5,請根據(jù)需要,把圖形畫完整)

        圖5

        圖6

        解:如圖6,過點P作水平直線與AB的延長線交于點O,延長臺風中心移動射線PQ與AO交于M。在Rt△AOP中,求得AO=OP=36得BO=36+36;由∠OPM=30°,得MO=36+ 36=BO,故M與B重合,臺風中心必經(jīng)過寧海,時間為5小時;C為象山,C到PQ距離CN=28,故象山會受到影響,求影響時間可以先求以C為圓心,50km為半徑的圓與PQ相交的弦長為,時間為h;A到PQ距離AD=AB,sin60°=36,故寧波不受影響。

        評析:對于例3,學生能夠感受到在P從A到B運動的過程中,OP的長度先變小后變大,從而考慮到關鍵是求出最小長度與最大長度。部分學生對本題轉(zhuǎn)化的方法掌握不夠靈活,導致猜答案的現(xiàn)象較為普遍。教師在講解本題后,還可以設計以下問題:

        (1)⊙O的直徑為10cm,OP=4cm,則過點P最長的弦長度是______,最短的弦長度是_____;

        (2)⊙O的直徑為10cm,OP=4cm,過點P的弦中,長度為整數(shù)的弦有_____條。

        例4考查學生的畫圖能力,同時也讓學生明確城市可作為圖形中的一個點,而臺風走的是一條線,應該把問題中的“是否會影響”轉(zhuǎn)化為求“最短距離問題”,從而想到比較垂線段和半徑的大小問題,于是把該題目轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題解答。

        由此可見,在數(shù)學的動點問題中,“垂線段最短”可以為解決問題提供一種有力工具。通過找尋“靜止”時符合要求的那一瞬間,便可提高解題的準確率。

        三、垂線段最短是一層思想面

        我們平時的教學工作中一直存有這個問題:學生題目做得不少,可只要條件稍稍一變,一些學生考試時就會不知所措,特別是對蘊含在其中的規(guī)律,更是遲遲不能領會。其實,對于有些動點問題,可以利用題目中顯見的結(jié)論,找出其中蘊含的思想,進而轉(zhuǎn)化為熟知的問題來解決。

        例5如圖7,⊙O的半徑為2,點O到直線l的距離為3,點P是直線l上的一個動點,PQ切⊙O于點Q,則PQ的最小值為()

        C.3D.5

        圖7

        圖8

        圖9

        評析:上述兩個例題都是以切線為載體構(gòu)造直角三角形的動點問題,其三邊長度滿足勾股定理,而其中一邊已知大小,要求某一邊的最小值,便可轉(zhuǎn)化為求第三邊的最小值。如果想不到這種化歸思想,學生便不會找到利用“垂線段最短”得到滿足條件時的“靜止”的那一刻,也便不能圓滿解決問題。

        在解決動點問題的過程中,教師應把更多的精力花在誘導學生怎樣去想、怎樣去悟上來,要置數(shù)學思想方法的運用于解題的核心位置,充分發(fā)揮數(shù)學思想的解題功能。如果學生能在解決問題的過程中充分發(fā)揮數(shù)學思想方法的指導功能,利用其中蘊含的結(jié)論進行轉(zhuǎn)化,不僅可少走彎路,而且可以大大提高其數(shù)學能力。

        四、垂線段最短是一種經(jīng)驗體

        學生學習一定的數(shù)學基礎知識,領會一系列的思想方法后,便會在解決問題的過程中慢慢積累一些解題經(jīng)驗。這些經(jīng)驗既可以讓學生獨立解決一些常見的問題,又可以讓學生在具體情境下靈活分析問題,形成一種知識、方法與思想融匯的數(shù)學體系,提升數(shù)學素養(yǎng)。

        例7(2014·廣西貴港)如圖10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分線。若P,Q分別是AD和AC上的動點,則PC+PQ的最小值是()

        圖10

        圖11

        評析:本題隸屬于雙動點問題,要求學生在進行思考時考慮到“將軍飲馬問題”和角的軸對稱性,進而轉(zhuǎn)化為作對稱點E,于是便得到PC= PE,進而求PE+PQ的最小值,當且僅當三點共線時有最小值為EQ,進而再轉(zhuǎn)化為求EQ的最小值,此時應利用“垂線段最短”,再根據(jù)等腰三角形ACE腰上的高相等,最后再利用直角三角形面積求出答案??梢哉f,圓滿解決本題需要學生具備一些必要的思想方法,并要有一定的解題經(jīng)驗,這種以靜制動的策略值得學生多回味思索。

        (作者為江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學教師)

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