■王永鋒
以“靜”制“動”化“繁”為“簡”——有感于“垂線段最短”在數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題中的運(yùn)用
■王永鋒
垂線段是初中幾何的一個基礎(chǔ)知識?!冻踔袛?shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對這方面的內(nèi)容提出過明確要求:理解垂線、垂線段等概念,能用三角尺或量角器過一點(diǎn)畫已知直線的垂線;理解點(diǎn)到直線的距離的意義,能度量點(diǎn)到直線的距離。在這里,必須要指出的是:連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短,這條垂線段的長度,叫做點(diǎn)到直線的距離。
2011年的蘇科版教材把這一內(nèi)容放在初一上學(xué)期第6章第5節(jié),盡管考查的知識較為基礎(chǔ),但由于七年級學(xué)生對幾何語言的表述不甚規(guī)范,仍然會出現(xiàn)一些認(rèn)知上的偏差。同時,由于教師對本節(jié)知識的重要性不夠重視,籠統(tǒng)地認(rèn)為這部分內(nèi)容考試考得太少,不需花大力氣去講,因而在引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范作圖和表述上不甚到位,達(dá)不到應(yīng)有的教學(xué)水準(zhǔn)。實(shí)際上,八、年級教學(xué)時,常常會碰到許多讓廣大學(xué)生“動”色變的動點(diǎn)問題,這種問題形式上較為瑣,旨在考查學(xué)生的悟性,特別是經(jīng)常會利用“垂線段最短”把過程中的“動”轉(zhuǎn)化為某一時刻的“靜”,把一個復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個較為簡單的問題。教師教學(xué)時可以嘗試從以下幾個方面來理解垂線段最短。
垂線段最短是學(xué)生應(yīng)該掌握的重要知識,它本身是一個知識點(diǎn)。學(xué)生通過從身邊熟悉的事物中選取學(xué)習(xí)素材認(rèn)識了垂直,進(jìn)而了解了垂線段,并通過兩個定義的對比理解了垂線和垂線段的聯(lián)系和區(qū)別,最后再根據(jù)直線外一點(diǎn)和直線畫出垂線,并找出、標(biāo)記好垂線段。
圖1
例1如圖1,AC⊥BC,C為垂足,CD⊥AB,D為垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么點(diǎn)C到AB的距離是_______,點(diǎn)A到BC的距離是_______,點(diǎn)B到CD的距離是_______,A、B兩點(diǎn)的距離是_______。
解:C到AB的距離是垂線段CD的長度,為4.8,同理,中間兩空分別為6和6.4,而A、B兩點(diǎn)的距離是線段AB的長度,即為10。
例2如圖2,污水處理廠A要把處理過的水引入排水溝l,應(yīng)如何鋪設(shè)排水管道才能使排水溝最短,請你在圖紙上畫出鋪設(shè)管道的路線,并請你思考為什么這樣畫。
圖2
圖3
解:如圖3,過點(diǎn)A作垂線段AB交l于點(diǎn)B,理由是垂線段最短。
評析:例1主要是考查學(xué)生的辨析能力;點(diǎn)和線之間的距離是垂線段的長度,兩個端點(diǎn)是點(diǎn)和垂足,點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離是兩點(diǎn)所連線段的長度;例2就是利用垂線段最短,但要注意畫垂線段的方法。
知識是能力的先導(dǎo)。只有把知識真正學(xué)到位,對概念和性質(zhì)理解通透,才能真正轉(zhuǎn)化為能力,為后續(xù)總結(jié)方法、提煉思想和形成經(jīng)驗做好鋪墊。
在解決動點(diǎn)問題的過程中,垂線段就是好多學(xué)生一道繞不過的坎,許多疑難題目通過作垂線段,便能迎刃而解。可以說,它為解決某些數(shù)學(xué)問題提供了一條明朗的方法線。
例3如圖4,⊙O的直徑為10cm,弦AB為8cm,點(diǎn)P是弦AB上的一動點(diǎn)。若OP的長為整數(shù),則滿足條件的點(diǎn)P有()
A.2個B.3個
C.4個D.5個
圖4
解:當(dāng)P與A或者B重合時,OP最大值為5,當(dāng)OP與AB垂直時,由垂徑定理和勾股定理,求得OP最小值為3,在3和5之間還有2個長度為4的點(diǎn),從而選D。
例4據(jù)氣象臺預(yù)報,一股強(qiáng)臺風(fēng)的中心位于寧波(指城區(qū),下同)東南方向千米的海面上,目前臺風(fēng)中心正以20千米/時的速度向北偏西60°的方向移動,距臺風(fēng)中心50千米的圓形區(qū)域均會受到強(qiáng)襲擊。已知寧海位于寧波正南方向72千米處,象山位于寧海北偏東60°方向56千米處。請問:寧波、寧海、象山是否會受這次臺風(fēng)的強(qiáng)襲擊?如果會,請求出受強(qiáng)襲擊的時間;如果不會,請說明理由。(為解決問題,需畫出示意圖,現(xiàn)已畫出其中一部分,如圖5,請根據(jù)需要,把圖形畫完整)
圖5
圖6
解:如圖6,過點(diǎn)P作水平直線與AB的延長線交于點(diǎn)O,延長臺風(fēng)中心移動射線PQ與AO交于M。在Rt△AOP中,求得AO=OP=36得BO=36+36;由∠OPM=30°,得MO=36+ 36=BO,故M與B重合,臺風(fēng)中心必經(jīng)過寧海,時間為5小時;C為象山,C到PQ距離CN=28,故象山會受到影響,求影響時間可以先求以C為圓心,50km為半徑的圓與PQ相交的弦長為,時間為h;A到PQ距離AD=AB,sin60°=36,故寧波不受影響。
評析:對于例3,學(xué)生能夠感受到在P從A到B運(yùn)動的過程中,OP的長度先變小后變大,從而考慮到關(guān)鍵是求出最小長度與最大長度。部分學(xué)生對本題轉(zhuǎn)化的方法掌握不夠靈活,導(dǎo)致猜答案的現(xiàn)象較為普遍。教師在講解本題后,還可以設(shè)計以下問題:
(1)⊙O的直徑為10cm,OP=4cm,則過點(diǎn)P最長的弦長度是______,最短的弦長度是_____;
(2)⊙O的直徑為10cm,OP=4cm,過點(diǎn)P的弦中,長度為整數(shù)的弦有_____條。
例4考查學(xué)生的畫圖能力,同時也讓學(xué)生明確城市可作為圖形中的一個點(diǎn),而臺風(fēng)走的是一條線,應(yīng)該把問題中的“是否會影響”轉(zhuǎn)化為求“最短距離問題”,從而想到比較垂線段和半徑的大小問題,于是把該題目轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題解答。
由此可見,在數(shù)學(xué)的動點(diǎn)問題中,“垂線段最短”可以為解決問題提供一種有力工具。通過找尋“靜止”時符合要求的那一瞬間,便可提高解題的準(zhǔn)確率。
我們平時的教學(xué)工作中一直存有這個問題:學(xué)生題目做得不少,可只要條件稍稍一變,一些學(xué)生考試時就會不知所措,特別是對蘊(yùn)含在其中的規(guī)律,更是遲遲不能領(lǐng)會。其實(shí),對于有些動點(diǎn)問題,可以利用題目中顯見的結(jié)論,找出其中蘊(yùn)含的思想,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為熟知的問題來解決。
例5如圖7,⊙O的半徑為2,點(diǎn)O到直線l的距離為3,點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn),PQ切⊙O于點(diǎn)Q,則PQ的最小值為()
C.3D.5
圖7
圖8
圖9
評析:上述兩個例題都是以切線為載體構(gòu)造直角三角形的動點(diǎn)問題,其三邊長度滿足勾股定理,而其中一邊已知大小,要求某一邊的最小值,便可轉(zhuǎn)化為求第三邊的最小值。如果想不到這種化歸思想,學(xué)生便不會找到利用“垂線段最短”得到滿足條件時的“靜止”的那一刻,也便不能圓滿解決問題。
在解決動點(diǎn)問題的過程中,教師應(yīng)把更多的精力花在誘導(dǎo)學(xué)生怎樣去想、怎樣去悟上來,要置數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用于解題的核心位置,充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想的解題功能。如果學(xué)生能在解決問題的過程中充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)功能,利用其中蘊(yùn)含的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化,不僅可少走彎路,而且可以大大提高其數(shù)學(xué)能力。
學(xué)生學(xué)習(xí)一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,領(lǐng)會一系列的思想方法后,便會在解決問題的過程中慢慢積累一些解題經(jīng)驗。這些經(jīng)驗既可以讓學(xué)生獨(dú)立解決一些常見的問題,又可以讓學(xué)生在具體情境下靈活分析問題,形成一種知識、方法與思想融匯的數(shù)學(xué)體系,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
例7(2014·廣西貴港)如圖10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分線。若P,Q分別是AD和AC上的動點(diǎn),則PC+PQ的最小值是()
圖10
圖11
評析:本題隸屬于雙動點(diǎn)問題,要求學(xué)生在進(jìn)行思考時考慮到“將軍飲馬問題”和角的軸對稱性,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為作對稱點(diǎn)E,于是便得到PC= PE,進(jìn)而求PE+PQ的最小值,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時有最小值為EQ,進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為求EQ的最小值,此時應(yīng)利用“垂線段最短”,再根據(jù)等腰三角形ACE腰上的高相等,最后再利用直角三角形面積求出答案??梢哉f,圓滿解決本題需要學(xué)生具備一些必要的思想方法,并要有一定的解題經(jīng)驗,這種以靜制動的策略值得學(xué)生多回味思索。
(作者為江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)教師)