柏黎平

殊途同歸，巧求面積最值

柏黎平

分析各地中考試卷，可以發(fā)現(xiàn)不少以二次函數(shù)知識為背景的壓軸題.二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要地位，因其可以涵蓋初中數(shù)學(xué)的所有知識點(diǎn)，具有較強(qiáng)的綜合性，所以廣受各地中考命題人員的青睞.

二次函數(shù)壓軸題能考查綜合運(yùn)用知識的能力，具有知識點(diǎn)多、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、思路難覓、解法靈活等特點(diǎn)，因此是中考數(shù)學(xué)的難點(diǎn).不過，如果我們能在做習(xí)題的基礎(chǔ)上多總結(jié)一些方法，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，有些難點(diǎn)就能較快突破.下面我們就一類二次函數(shù)與三角形面積的最值問題，來探求其中方法與規(guī)律.

一、規(guī)律發(fā)現(xiàn)

引例已知二次函數(shù)y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A左B右），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一動點(diǎn)，求△PBC面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖1

圖2

【解析】本題為求三角形面積最值問題，可以采用平行線法或構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值等兩種思路來解決問題.

解法1：如圖1，易求直線BC的解析式為：y=-x+3，所以可設(shè)直線l為y=-x+b.過點(diǎn)P作直線l∥BC，則多數(shù)情況下，直線l與拋物線有兩個交點(diǎn)，此時S△PBC顯然不是最大；當(dāng)直線l與拋物線有唯一交點(diǎn)（即方程有唯一解）時，點(diǎn)P到BC的距離最大，因此S△PBC最大.①代入②化為一元二次方程可得x2-3x+ b-3=0，當(dāng)Δ=0時，方程有兩個相等實(shí)數(shù)根，即.將b的值代回原方程組，可得此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為，再由P、B、C點(diǎn)坐標(biāo)可求得△PBC的面積最大值為

解法2：如圖2，同樣求得直線BC的解析式為：y=-x+3.過點(diǎn)P作直線垂直于x軸，交直線BC于點(diǎn)D.

因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，-n2+2n+3）（0≤n≤3），點(diǎn)D在BC上，因此坐標(biāo)為（n，-n+3）；以PD為底邊，設(shè)△PDC的高為h1，設(shè)△PDB的高為h2，則h1+h2=3，PD=（-n2+2n+3）-（-n+3）=-n2+3n.

這樣，S△PBC就是關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)易得當(dāng)時，S△PBC的最大值，此時點(diǎn)P坐標(biāo)為

【發(fā)現(xiàn)1】在解法1中，當(dāng)三角形面積取得最大值時，只存在一個△PBC，但當(dāng)面積縮小時，可能同時存在兩個不同的△PBC；

【發(fā)現(xiàn)2】在解法2中，將△PBC進(jìn)行縱向切割，將其分割為兩個底邊都為PD的三角形，它們的高的和就是BC兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差；

【發(fā)現(xiàn)3】注意觀察兩種解法中，當(dāng)三角形面積取得最大值時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是，而點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，可以理解為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)恰好是線段BC中點(diǎn)的橫坐標(biāo).其實(shí)這種情況并不是巧合，是一種規(guī)律，是可以用數(shù)學(xué)方法證明的.（有興趣的同學(xué)可以拋物線y=ax2+bx+c和直線y=mx+n（am≠0）的交點(diǎn)是（x1，y1），（x2，y2）為一般情況進(jìn)行證明，這里就不贅述.）

二、試刀中考

例1（2016·江蘇蘇州）如圖3，直線l∶y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2-2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過點(diǎn)B.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個動點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；

（3）略.

圖3

圖4

【解析】（1）方法略，函數(shù)解析式為：y=-x2+ 2x+3；

（2）本題初看與上面的引例不同，但其拋物線上的動點(diǎn)，及計(jì)算三角形面積的最值都與引例類似，可用解法2的方法求解問題，不過考慮到縱向作垂線分割三角形計(jì)算有一定的困難，可以采用橫向作垂線分割三角形，縱向距離為高.

如圖4，過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，可設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，-m2+2m+3），D在AB上，因此D坐標(biāo)為：

【評析】在平面直角坐標(biāo)系中研究一些圖形的面積時，可采用割補(bǔ)法將復(fù)雜、不規(guī)則的圖形分割成若干個三角形計(jì)算.分割時要注意以下幾點(diǎn)：①分割后的三角形面積應(yīng)該容易計(jì)算；②一般的分割方法為橫向或縱向；③如有必要，也可斜向分割.

如本題中也可連接OM，計(jì)算四邊形BOAM的面積減△BOA的面積.有時可能要進(jìn)行多次嘗試，才能找到更為簡單的計(jì)算三角形面積的方法.

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為_______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為________；

（2）線段AC上是否存在點(diǎn)E，使得△EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一個動點(diǎn)，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個？

圖5

圖6

【解析】（1）解答略，A（0，4），C（8，0）.

（2）易得D（3，0），CD=5.直線AC對應(yīng)的解析式為，分三種情況討論：①DE= DC，②ED=EC，③CD=CE，可求得三個點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為：E1（0，4）

（3）本題思路較為難覓，關(guān)鍵要理解“S取何值時，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個”這句話的意思：其實(shí)只要考慮S的取值范圍（即最大值與最小值），然后探討在S取不同數(shù)值時的點(diǎn)P的個數(shù)即可.在求S的取值范圍時，還要對點(diǎn)P所在的位置進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)P的位置在AC上方時，就可以用引例中的兩種方法求S的最大值，我們以第二種方法來解.

此時當(dāng)且僅當(dāng)S=16時，相應(yīng)的點(diǎn)P只有1個，當(dāng)0＜S＜16時，相應(yīng)的點(diǎn)P有2個；

②點(diǎn)P在AB之間時，即-2＜m＜0時，易得S的最小值為0，最大值為20，且每個S的值都對應(yīng)1個相應(yīng)的點(diǎn)P.

故S=16時，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有兩個.

【評析】本題的第（3）題問法比較難理解，尤其是“相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個”，這需要對此問題有一定的研究經(jīng)驗(yàn)，知道引例中的平行線研究方法的原理（關(guān)鍵是不同面積數(shù)值與點(diǎn)P的個數(shù)的對應(yīng)關(guān)系），否則不容易聯(lián)想到要考慮△PAC面積的取值范圍.當(dāng)然，在具體計(jì)算S的最大值時，還是用設(shè)坐標(biāo)，用含m的代數(shù)式表示△PAC的面積的方法更為簡潔一些.

值得一提的是，如果我們能想到引例中“發(fā)現(xiàn)3”揭示的規(guī)律，甚至可以更為簡單地求出當(dāng)點(diǎn)P在AC上方時S的最大值，即：當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)取點(diǎn)A（0，4）和點(diǎn)C（8，0）的中點(diǎn)（4，2）的橫坐標(biāo)4時，△PAC的面積最大，于是可以迅速得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，6），△PAC的面積就可以直接求，不必再用引例中的兩種稍嫌復(fù)雜的方法解答.可見，當(dāng)我們做多了習(xí)題后，若能注重對同類型的問題進(jìn)行一般性的總結(jié)，往往可以得出實(shí)用的規(guī)律，幫助我們簡化解題過程，從而節(jié)省計(jì)算的時間.

（作者單位：江蘇省太倉市雙鳳中學(xué)）

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