吳存紅

二次函數(shù)易錯點(diǎn)分析

吳存紅

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，其圖像和性質(zhì)都比一次函數(shù)和反比例函數(shù)復(fù)雜，二次函數(shù)與一元二次方程聯(lián)系緊密，相關(guān)的計(jì)算量也較大，特別是二次函數(shù)的應(yīng)用更加廣泛和靈活多變，因此本章的學(xué)習(xí)有一定難度，同學(xué)們常常會在以下方面出現(xiàn)錯誤.

易錯點(diǎn)一概念不清，忽略系數(shù)

例1已知二次函數(shù)y=kx2-6x+3的圖像與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）

A.k＜3B.k＜3且k≠0

C.k≤3D.k≤3且k≠0

【錯解】選C.由題意，得Δ=（-6）2-4k·3≥0，解得k≤3，故選C.

【正解】選D.由題意，得Δ=（-6）2-4k·3≥0且k≠0，解得k≤3且k≠0，故選D.

【點(diǎn)評】當(dāng)k=0時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)為0，此時(shí)原函數(shù)不是二次函數(shù).欲求k的取值范圍，須同時(shí)滿足：①函數(shù)是二次函數(shù)；②圖像與x軸有交點(diǎn).不能只注意Δ≥0而忽略了二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.

例2若y關(guān)于x的函數(shù)y=（a-2）x2-（2a-1）x+a的圖像與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的值.

【錯解】因?yàn)楹瘮?shù)y=（a-2）x2-（2a-1）x+a的圖像與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，而其中與y軸有一個(gè)交點(diǎn)（0，a），則與x軸就只有一個(gè)交點(diǎn)，所以關(guān)于x的一元二次方程（a-2）x2-（2a-1）x+ a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ=［-（2a-1）］2-4（a-2）·a=0，解得

【正解】當(dāng)函數(shù)y是x的一次函數(shù)時(shí)，a=2，函數(shù)的解析式為y=-3x+2，函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以a=2符合題意；

當(dāng)函數(shù)y是x的二次函數(shù)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y=（a-2）x2-（2a-1）x+a的圖像與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，而其中與y軸有一個(gè)交點(diǎn)（0，a），則與x軸就只有一個(gè)交點(diǎn)，所以關(guān)于x的一元二次方程（a-2）x2-（2a-1）x+a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ=［-（2a-1）］2-4（a-2）·a=0，解得

而當(dāng)a=0時(shí)，與y軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)，此時(shí)，解析式為y=-2x2+x，它的圖像與x軸還有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意.

【點(diǎn)評】本題關(guān)于函數(shù)的描述是“y關(guān)于x的函數(shù)”，并沒有指明是二次函數(shù)，而且二次項(xiàng)系數(shù)（a-2）的取值不確定，所以需要分情況進(jìn)行討論.

易錯點(diǎn)二已知圖像，忽略隱含

例3如圖1，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與y軸交于點(diǎn)C，與x軸的正半軸交于A、B，且AB=2，S△ABC=3，則b的值為（）.

圖1

A.-5B.4或-4C.4D.-4

【錯解】選B.根據(jù)題意AB=2，S△ABC=3，得OC=3，所以C（0，3），即c=3.

由AB=2，得方程x2+bx+c=0的兩根值差為

解得b=±4.故選B.

【正解】選D.

易錯點(diǎn)三交點(diǎn)問題，忽略前提

【錯解】因?yàn)锳、B關(guān)于y軸對稱，所以拋

【正解】因?yàn)锳、B關(guān)于y軸對稱，所以拋物線對稱軸為y軸，即直線，所以，解得m=6或m=-6.

【點(diǎn)評】拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于，相應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.所以必須滿足前提條件：b2-4ac＞0.也就是說，拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，一定不能忽略前提b2-4ac的范圍！同學(xué)們可以思考：拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)的時(shí)候，b2-4ac應(yīng)該滿足什么條件？而拋物線與x軸沒有交點(diǎn)的時(shí)候，b2-4ac又該滿足什么條件？

易錯點(diǎn)四最值問題，一頂兩端

例5求二次函數(shù)y=x2+4x+5（-3≤x≤0）的最大值和最小值.

【錯解】當(dāng)x=-3時(shí)，y=2；當(dāng)x=0時(shí)，y=5.所以，當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，y最小值=2，y最大值=5.

【正解】二次函數(shù)y=x2+4x+5圖像的對稱軸是直線x=-2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，1），如圖2，它的圖像是位于-3≤x≤0范圍內(nèi)的一段，顯然圖像的最高點(diǎn)是端點(diǎn)C（0，5），最低點(diǎn)是頂點(diǎn)B（-2，1）而不是端點(diǎn)A，所以，當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，y最小值=1，y最大值=5.

圖2

【點(diǎn)評】在自變量x的給定范圍內(nèi)，二次函數(shù)的最大值和最小值可能在三點(diǎn)處取得：頂點(diǎn)和兩個(gè)端點(diǎn)（簡稱“一頂兩端”）.我們首先要判斷的是頂點(diǎn)處的最值是否可取？再來比較兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值大小就可以輕松解決問題！

同學(xué)們還可以用類似的方法嘗試解決下面的兩個(gè)問題：

（1）二次函數(shù)y=x2+4x+5（-3≤x≤1）的最大值是________，最小值是________.

（2）二次函數(shù)y=x2+4x+5（-1≤x≤3）的最大值是_______，最小值是_______.

（作者單位：江蘇省太倉市沙溪實(shí)驗(yàn)中學(xué)）