張立國(guó)

(沈陽(yáng)理工大學(xué) 理學(xué)院，沈陽(yáng) 110159)

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關(guān)于SM(L)∩M(L)元素性質(zhì)的討論

張立國(guó)

(沈陽(yáng)理工大學(xué) 理學(xué)院，沈陽(yáng) 110159)

研究SM(L)∩M(L)的元素性質(zhì)，利用其刻劃完全分配格，在此基礎(chǔ)上推廣了G.N.Raney定理，為連續(xù)格理論和Fuzzy拓?fù)鋵W(xué)的研究提供新的思路。

完全分配格；極小集；超分子

完全分配格是經(jīng)典格論的重要研究對(duì)象，對(duì)其刻劃的討論一直是熱點(diǎn)問題。無論是連續(xù)的DCPO理論，還是Fuzzy拓?fù)鋵W(xué)都對(duì)其做出過相關(guān)的研究。分子與超分子都是刻劃完全分配格的工具，兩者的結(jié)合使用對(duì)于完全分配格的結(jié)構(gòu)研究是非常重要的.文獻(xiàn)[1]對(duì)超分子集SM(L)與分子集M(L)的交集SM(L)∩M(L)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行討論，但沒有對(duì)完全分配格能被SM(L)∩M(L)的元素刻劃問題作出回答。本文討論SM(L)∩M(L)的元素性質(zhì)，利用其刻劃完全分配格，并借助其結(jié)論推廣了G.N.Raney定理，從而使完全分配格的“點(diǎn)”概念更加具體化，為連續(xù)格理論和Fuzzy拓?fù)鋵W(xué)的后續(xù)研究奠定基礎(chǔ)。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)L是完全分配格，M(L)表示L的分子集。若a∈L，以β(a)表示a的最大極小集，β*(a)=β(a)∩M(L)。可以證明a是分子當(dāng)且僅當(dāng)β*(a)是定向集。設(shè)a,b∈M(L),a≤b,則a<

2 SM(L)∩M(L)的基本性質(zhì)

定義1[2]設(shè)L是完備格，a∈L，a≠0，若?A?L,且∨A>a,∨A∈M(L),都存在d∈A使得a≤d,則稱a是超分子。由超分子組成的集合,記作SM(L)。

由定義1很容易得到下面的命題：

命題1 設(shè)L是完全分配格，則a∈SM(L)∩M(L)當(dāng)且僅當(dāng)?b∈M(L)且b>a，則a∈β*(b)。

證明:(?)設(shè)A?L是任給的集合，∨A∈M(L)且∨A>a，則據(jù)已知條件可知a∈β*(∨A)。由于∨A的分子極小集β*(∨A)加細(xì)A，從而存在d∈A，使得a≤d。因此有a∈SM(L)∩M(L)。

(?)設(shè)b∈M(L)且b>a，則β*(b)?L且∨β*(b)>a，由條件a∈SM(L)可知，存在d∈β*(b)使得a≤d。又因β*(b)是下集，故a∈β*(b)。

定義2[3]設(shè)A是完備格，a，b∈A，若L中每個(gè)定向集D，當(dāng)∨LD≥b 時(shí)，有x∈D使得x≥a，稱為a Way below b，記作a?b。

對(duì)于a∈A，記↓ˇ(a)={x∈A| x≤a}。

命題2 設(shè)L是完全分配格，a∈SM(L)∩M(L)，?b∈M(L),b>a,則a?b。

證明：設(shè)?b∈M(L),b>a,則由于命題1可知有a∈β*(b)。若D?M(L)是定向集，∨D≥b>a,由于β*(b)加細(xì)D，從而存在d∈D使得a≤b,因此a?b。

3 SM(L)∩M(L)的元素對(duì)完全分配格的刻劃

根據(jù)前面的討論可以看到，SM(L)∩M(L)中的元素具有很好的性質(zhì)，在一定程度上能簡(jiǎn)化對(duì)完全分配格問題的處理，那么SM(L)∩M(L)中的元素能否闡述完全分配格的結(jié)構(gòu)。

引理1[4]設(shè)L是完全分配格，且b∈α(a)，則存在L使c∈α(a)且b∈α(c)。

引理2[4]設(shè)L是完全分配格，且b∈α(a)，則存在c1，c2，…∈L，滿足如下條件：

(Ⅰ)c1∈α(a)，ck+1∈α(ck)。k=1，2，…

(Ⅱ)b∈α(cn)，n=1，2，…

引理3 設(shè)L是完全分配格，a，b∈L，且b∈α(a)，則L中存在理想I滿足：

(Ⅰ)a∈I?↓(b)；

(Ⅱ)?x∈L/I，L/I中有極小元m，使得m≤x。

(Ⅱ)設(shè)x∈L/I，則{x}是L/I中由一個(gè)元組成的鏈。由kuratowski引理可知，L/I中存在包含{x}的極大鏈φ。令m=infLφ，只需證明m?I即可。事實(shí)上，設(shè)m∈I，則存在自然數(shù)k使m∈↓ck，從而m≤ck，即infLφ≤ck。但是ck+1∈α(ck),由極大集的意義知，存在y∈φ，使得y∈↓ck+1，那么y∈↓ck+1?I。這與y∈φ?L/I相矛盾。

定理1 設(shè)L是完全分配格，則L中每個(gè)元素都可以表示成SM(L)∩M(L)元素之并。

證明：設(shè)e∈L,若e=0，取SM(L)∩M(L)的空子集，使得e=supφ。

若e≠0,令π(e)={x∈L| x≤e,且x∈SM(L)∩M(L)}，則supπ(e)≤e。只需證明supπ(e)≥e即可。事實(shí)上：設(shè)a=supπ(e),且a≥e不成立，則必存在b∈α(a)且b≥/e,由上述引理3可知，存在理想I，則a∈I?↓(b)。因?yàn)閎≥/e，從而e?I，即e∈L/I。由引理3可知L/I中有極小元m 使得m≤e。(顯然有m≠0)。

否則：對(duì)于任意x∈A，m≤/x，于是m∧x

考查理想I的構(gòu)造，由引理3的證明可知：

(Ⅰ)存在k∈N,使得B?↓(ck)，則∨B=m

(Ⅱ)若任意n∈N,存在x∈A，使得m∧x≥cn。此時(shí)∨I≤∨B=m，于是I?↓0(m)。其中↓0(m)=↓(m){m}。由m的極小性可知↓0(m)?I，故I=↓0(m)。又必存在x0∈A，使得x0∈L/I(否則A?I?∨A≤m)，且x0與m不可比(由前面的假定可知)，由引理3的條件(Ⅱ)可知，存在極小元m1∈L/I使得m1≤x0，從而↓0(m1)?↓0(m)，其中↓0(m1)=↓0(m1){m1}于是顯然有m1≤m。討論：

①當(dāng)m1

②當(dāng)m1=m時(shí)，m≤x0,這與m和x不可比相矛盾。

綜上所述①、②均不成立。由此可見，必存在x∈A，使得m≤x，故m是超分子，即m∈SM(L)。

第二，由于家庭部門負(fù)債水平的下降會(huì)更好地激勵(lì)居民消費(fèi)，由此，在居民收入增速下降的背景下，必然會(huì)造成居民儲(chǔ)蓄存款下降，進(jìn)而使得信貸資金的供給減少、價(jià)格上升，導(dǎo)致投資尤其是缺乏多樣化融資手段的私營(yíng)企業(yè)投資增速下降。因此，控制家庭部門負(fù)債率，還需要與促進(jìn)民間投資的手段，如加大稅費(fèi)減免力度、減少行政干預(yù)、改善營(yíng)商環(huán)境等相結(jié)合，以避免對(duì)已經(jīng)處于增長(zhǎng)困境的私營(yíng)投資產(chǎn)生更進(jìn)一步地?fù)p害。

(2)往證m是分子：若不然，則有x，y使得x∨y=m且m≠x，m≠y。這時(shí)x

因而m∈π(e)，進(jìn)而有m≤a。又I是下集，a∈I，故m∈I這與m∈L/I相矛盾。所以supπ(e)≥e。于是有a=supπ(e)。證畢。

對(duì)偶定理 設(shè)L是完全分配格，則L中每個(gè)元素都可以表示成SM0(L)∩M0(L)元素之交。其中SM0(L)與M0(L)分別是L中的素元集和超素元集。

4 G.N.Raney定理推廣

完全分配格是經(jīng)典格論的重要研究對(duì)象，它的本質(zhì)是滿足完全分配律。關(guān)于完全分配格的結(jié)構(gòu)研究多種多樣，無論是連續(xù)的DCPO理論，還是Fuzzy拓?fù)鋵W(xué)，都曾給出過其許多有關(guān)的等價(jià)命題。但是比較經(jīng)典的結(jié)果則是G.N.Raney在20世紀(jì)50年代給出的刻劃，其表述如下：

G.N.Raney定理[3]設(shè)L是完備格，則L是完全分配格當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立：?a，b∈L，a≤/b，存在p、q∈L使得

(1)a≤/p，b≥/q；

(2)?x∈L，x≤p或者x≥q。

研究和考查G.N.Raney定理的條件、及其證明方法，可以肯定地說條件中的元素p、q應(yīng)該是具有某種特殊性質(zhì)的元素，即p∈SM0(L)∩M0(L)，q∈SM(L)∩M(L)。

定理2 設(shè)L是完備格，則L是完全分配格當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立：?a，b∈L，a≤/b，存在p∈SM0(L)∩M0(L)，q∈SM(L)∩M(L)使得

(1)a≤/p，b≥/q；

(2)?x∈L，x≤p或者x≥q。

證明：(?)由G.N.Raney定理可知，充分性顯然。

(?)若a，b∈L，a≤/b，由G.N.Raney定理可知，存在n、m∈L使得a≤/n，b≥/m。由定理1及其對(duì)偶定理可知，存在p∈SM0(L)∩M0(L)，q∈SM(L)∩M(L)，而且n≤p，m≥q使得a≤/p，b≥/q。又因?yàn)?x∈L，x≤n或者x≥m，從而有x≤p或者x≥q。

5 結(jié)束語(yǔ)

超分子作為完全分配格的研究工具，其性質(zhì)需要進(jìn)一步研究。通過本文取得結(jié)論可以看到，把超分子集與分子集聯(lián)系在一起時(shí)，會(huì)得到許多很好的結(jié)論，同時(shí)也會(huì)引發(fā)新的猜想。例如完全分配格的范疇與并半格范疇的關(guān)系等，這些問題都需要進(jìn)一步做出回答。

[1]張立國(guó).關(guān)于SM(L)結(jié)構(gòu)的討論[J].沈陽(yáng)理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，34(4)：61-63.

[2]張立國(guó).完全分配格的刻劃[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，24(1):24-26.

[3]鄭崇友，樊磊，崔宏斌.Frame與連續(xù)格[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，1994.

[4]王國(guó)俊.L-Fuzzy拓?fù)淇臻g論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，1988.

(責(zé)任編輯：馬金發(fā))

Discussion about the Properties of the Element of SM(L)∩M(L)

ZHANG Liguo

(Shenyang Ligong University，Shenyang 110159，China)

The properties of the element ofSM(L)∩M(L) were studied，to depict completely distributive.On this basis G.N.Raney theorem was popularized，to provide some new ideas for continuous lattice theory and Fuzzy topology research.

completely distributive;minimal set;ultra-molecular

2015-11-16

張立國(guó)(1970—)，男，副教授.研究方向：模糊拓?fù)鋵W(xué)。

1003-1251(2016)04-0042-03

O189.13

A