黃美君，袁麗晴，何建鋒

(楚雄師范學院，云南 楚雄 675000)

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弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀與中學數(shù)學教育兩個“標準”的對比解讀*

黃美君，袁麗晴，何建鋒

(楚雄師范學院，云南 楚雄 675000)

本文首先對弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀的主要特征進行了分析，其次對我國《義務教育數(shù)學課程標準》(2011版)、《普通高中數(shù)學課程標準》(實驗)從課程基本性質(zhì)及理念、課程目標、內(nèi)容標準及實施建議等方面進行了論述，最后將弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀與中國數(shù)學兩個課程標準進行對比解讀并找出它們之間的聯(lián)系。

數(shù)學教育觀；課程標準；對比；解讀

1.背景

自從教育部2001年頒布《全日制義務教育數(shù)學課程標準》(實驗稿)和2003年頒布《普通高中數(shù)學課程標準》(實驗稿)，中國的數(shù)學教育改革就匯入到國家基礎教育改革的大潮中。

國家為了基礎教育改革的實施，在前期做了大量調(diào)研工作，從理論和實踐上不斷探索.其中，借鑒國外著名的數(shù)學教育理論是常用的方法之一.而荷蘭著名數(shù)學教育家、曾任國際數(shù)學教育委員會(ICMI)主席的弗賴登塔爾的數(shù)學教育理論對上述兩個“標準”影響極大，我們從兩個“標準”的理念到方法上都可以看到弗賴登塔爾數(shù)學觀念的滲透。

弗賴登塔爾(Hans Freudenthal,1905―1990)，荷蘭籍世界著名數(shù)學家和數(shù)學教育家，早在二十世紀三、四十年代就以李群和拓撲學方面的成就而聞名.二十世紀六十年代以后，他的主要精力就放在了數(shù)學教育上.在他擔任國際數(shù)學教育委員會(ICMI)主席期間，召開了第一屆數(shù)學教育大會(ICME)，并提出數(shù)學教育研究不能只停留在經(jīng)驗交流的水平上，而是要以科學論文的形式交流研究心得。自此，數(shù)學教育大會(ICME)獨立舉行并成為四年一度各國數(shù)學教育工作者交流研究成果的最好機會。1968年，弗賴登塔爾創(chuàng)辦了《數(shù)學教育研究》(Educational Studies in Mathematics)，現(xiàn)在《數(shù)學教育研究》成為國際上最具影響的數(shù)學教育刊物。

弗賴登塔爾自1960年開始關注數(shù)學教育以后，出版了一系列影響遍及全球的數(shù)學教育著作，如《作為教育任務的數(shù)學》、《數(shù)學結構的教學現(xiàn)象》、《除草與播種》等。他對數(shù)學以及數(shù)學教育的觀點在這些著作中全面體現(xiàn)，包括傳統(tǒng)數(shù)學教育改革的原因、數(shù)學課程和數(shù)學教材要如何根據(jù)現(xiàn)實數(shù)學教育的觀點進行設計等。他的很多觀點都是在經(jīng)過中、小學的課堂實踐后得出的，這為現(xiàn)實數(shù)學教育奠定了基礎，為現(xiàn)代數(shù)學教育改革明確了目標以及方向。

1987年，82歲高齡的弗賴登塔爾應華東師范大學的邀請在上海講學兩周,后又順訪北京。而北京和上海正是中國數(shù)學教育研究的北、南兩個中心。他在中國的講稿于1994年以Revisiting Mathematics Education (China Lecture)為名在荷蘭出版，中文譯本書名為《數(shù)學教育再探―在中國的講學》。而二十世紀末，中國正處于基礎教育改革的醞釀期。他這次的訪華對中國的數(shù)學教育以及包括中、小學數(shù)學教師在內(nèi)的數(shù)學教育工作者產(chǎn)生了極大的影響，現(xiàn)在，其教學思想中的“現(xiàn)實的數(shù)學”、“數(shù)學化”、“再創(chuàng)造”等在中國數(shù)學教育改革的理論和實踐中處處可見。

2.弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀的主要特征

2.1五大主要特征

弗賴登塔爾的數(shù)學教育思想的產(chǎn)生來源于他對數(shù)學的認識和對教科書的解讀以及對兒童和教師的實證調(diào)查。他覺得數(shù)學與別的學科不同之處表現(xiàn)在：數(shù)學是把一些可靠的常識經(jīng)過提煉，然后系統(tǒng)化使之變成一定的法則并在此基礎上對法則進行加工。他覺得學習數(shù)學應該在自己已經(jīng)有的知識和經(jīng)驗的基礎上去積極主動的探索，而不是被動地接受。他指出，教學活動的過程遠重于結果，教會學生用數(shù)學的思想去思考問題比教會一個問題要有意義得多。教師在教學生學習數(shù)學的過程中要以引導的方式讓學生自己去發(fā)現(xiàn)問題，獲取知識。

總體上講，弗賴登塔爾所認識的數(shù)學教育觀有五個主要特征：

1.情境問題是教學的平臺；

2.數(shù)學化是數(shù)學教育的目標；

3.學生通過自己努力得到的結論和創(chuàng)造是教育內(nèi)容的一部分；

4.“互動”是主要的學習方式；

5.學科交織是數(shù)學教育內(nèi)容的呈現(xiàn)方式。

2.2三個關鍵詞

弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀的主要特征可以概括為三個詞——現(xiàn)實、數(shù)學化、再創(chuàng)造。

(1)現(xiàn)實

弗賴登塔爾認為數(shù)學教育是現(xiàn)實的數(shù)學教育。數(shù)學來源于現(xiàn)實，最后的歸宿也是為現(xiàn)實服務。而數(shù)學現(xiàn)實不僅僅是指客觀現(xiàn)實或者數(shù)學知識，它是以現(xiàn)實為背景，用數(shù)學的思想和方法抽象、整理出來的規(guī)律及方法等，也就是知識與現(xiàn)實背景的和，而每個人有屬于自己的數(shù)學現(xiàn)實，因此在進行教學活動時，教師要了解他們的知識水平和生活經(jīng)驗，引導他們構建屬于自己的數(shù)學現(xiàn)實。

當教師教學中用到“現(xiàn)實的數(shù)學”時，要注意以下幾個方面：

第一，數(shù)學是人們對現(xiàn)實世界需要的一種體現(xiàn)，是人們對現(xiàn)實世界的抽象和對經(jīng)驗的積累、總結，因此，數(shù)學教學的內(nèi)容主要來自于現(xiàn)實世界。教師在教學時將這些教學背景建立在學生熟悉的事物和情境中，并從與學生生活相關聯(lián)的事物出發(fā)，讓學生用數(shù)學去解決生活中遇到的一些問題。

第二，任何一件事物都與周圍的環(huán)境相聯(lián)系，數(shù)學也一樣。數(shù)學不僅本身內(nèi)部存在聯(lián)系，同時數(shù)學與外部世界也存在著千絲萬縷的聯(lián)系。所以在教學過程中，要考慮數(shù)學本身知識結構之間、數(shù)學與學生日常生活之間以及數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系，不能單純地就數(shù)學教數(shù)學，而是要讓學生學會融會貫通。

第三，每個人擅長的事情是不同的，因此不同的人所需要的數(shù)學知識自然也不一樣，所以，數(shù)學教育也要因人而異，它應該盡量為不同層次、不同專業(yè)的學生提供不同的并且專屬于自己的“數(shù)學現(xiàn)實”。

(2)數(shù)學化

弗賴登塔爾指的數(shù)學化就是用數(shù)學的眼光看世界，并用數(shù)學的思維方式組織現(xiàn)實世界。數(shù)學化的對象包括現(xiàn)實的客觀事物和數(shù)學本身。前者是對客觀世界進行抽象，形成一定的概念、定理等，后者是對數(shù)學知識的深化。

所以數(shù)學化的形式有兩種：第一種是水平方向的(橫向的)，即從現(xiàn)實到數(shù)學，就是將一些客觀事物做符號化處理最后轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；第二種是垂直方向的(縱向的)，即從數(shù)學到數(shù)學，就是在第一種水平的基礎上進一步的處理，使數(shù)學變得更抽象。

該例中將求解劃出來部分的長和寬歸結為求解一元二次方程x2-6x+8=0是水平方向的數(shù)學化，而將方程x2-6x+8=0進行求解，得出x=4(因為x表示的是長，所以等于2不合題意，舍去)就是垂直方向的數(shù)學化。又如教師在進行教學時將“小明的文具袋里有4支筆，小紅文具袋里有2支筆，那么他們兩個一共有多少支筆？”簡化為“4+2=?”是水平方向的數(shù)學化，而用數(shù)手指的方式來解答等于多少對小學生而言就是垂直方向的數(shù)學化。

因為每個人的知識存量不一樣，所以對不同的人，數(shù)學化的形式區(qū)分在深度上有所不同，尤其是對初學者來說，他們對橫向和縱向水平化的區(qū)別依賴于特定的情景，牽涉到他周圍的環(huán)境。

數(shù)學化是數(shù)學教與學的途徑，在數(shù)學教育過程中，要讓學生用數(shù)學的思想方法來思考問題并學會從具體的情境中確定問題中所含的數(shù)學成分，再將數(shù)學成分進行進一步抽象為數(shù)學問題，最后使得問題得以解決。

(3)再創(chuàng)造

弗賴登塔爾認為數(shù)學實質(zhì)是對常識的系統(tǒng)化，對學生來說，他們已經(jīng)有了一定的進一步學習所必須的基礎知識，當他們遇到一些不容易解決的問題時能在教師的幫助和指導下進行探索并將問題解決。因此，我們要利用“再創(chuàng)造”的方式和原則對學生進行數(shù)學教育，只有這樣，教學才能有好的效果。

數(shù)學和其他學科不一樣，它不容易學，所以更需要學習者參與探索與創(chuàng)造的過程。而弗賴登塔爾指出，“再創(chuàng)造”思想的核心就是數(shù)學過程再現(xiàn)。比如像1+2=3、三角形的面積計算方法等一些簡單的數(shù)學知識，學生都可以通過自己的探索而得到。換而言之，教師在數(shù)學教學過程中，不需要采用灌輸式讓學生接受所有的規(guī)則、定理，最后進行所謂的“應用”，而是應該做一個引導者，為學生的再創(chuàng)造過程提供條件。從教育學的角度來看，學生通過自身的探索而得到的知識經(jīng)驗比老師或者同學教的理解起來要更容易，應用起來也比較靈活，同時能記得更長久，另外學生通過“再創(chuàng)造”的方式學習可以激發(fā)他們的學習動力。

總之，學生學習數(shù)學的過程就是在自己的努力的前提下，順著自己的思路，通過教師指點和幫助將知識“數(shù)學化”和“再創(chuàng)造”，從而學習和掌握新知識的過程。站在教師的角度上來說，數(shù)學教學就是要通過數(shù)學化的方式來完成，其中最有效的方法就是引導學生再創(chuàng)造。

3.中學數(shù)學的兩個課程標準綜述

本文中，中學數(shù)學的兩個課程標準指的是文[2]和文[3]。

3.1《義務教育數(shù)學課程標準》(2011版)分析

3.1.1義務教育數(shù)學課程的理念

義務教育數(shù)學課程標準的基本理念主要有以下幾個方面：

(1)數(shù)學課程所面向的對象是所有的學生，在適合每個學生需要的同時能讓他們朝著符合自己個性的方向發(fā)展，讓每個人都能得到良好的數(shù)學教育。

(2)數(shù)學課程的內(nèi)容要符合人類社會發(fā)展的需要、學生的認知規(guī)律以及數(shù)學的特點。

(3)教學過程是一個以學生的學習為起點和最終目的，師生共同進步的過程，其中學生是學習的主體，教師發(fā)揮主導作用并強調(diào)師生交流。

(4)學習評價是了解學生學習和教師教學效果的途徑，可以有效地促進學生的學習，同時可以指導教師在教學方面有所改進。評價時要重視學生的學習態(tài)度和他們在學習過程中的付出，所以標準希望能建立一個多元的、動態(tài)的評價體系。

(5)信息技術在當今社會的發(fā)展過程中起到了重要的作用，對數(shù)學的教學產(chǎn)生了重要的影響。教師在教學過程中要合理地利用現(xiàn)代信息技術對數(shù)學內(nèi)容進行講解，這樣更直觀，也讓學生對所學習的知識理解起來更容易。

基于數(shù)學課程的基本理念，該階段的數(shù)學課程設計充分考慮了學生學習的特點以及數(shù)學本身的特點，在符合學生認知規(guī)律的基礎上，充分發(fā)揮學生的主觀能動性。

3.1.2義務教育數(shù)學課程的目標

義務教育數(shù)學課程的目標分三個學段從知識技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度四個方面來闡述。但每一個學段，在同一個方面它的要求也是不同的，學生的年級越高，要求就越嚴?？傮w來說，在義務教育階段，主要讓學生通過學習，獲得一些基礎知識，積累學習經(jīng)驗，為自己的發(fā)展奠定基礎；經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)的過程體會數(shù)學內(nèi)部之間以及數(shù)學與外部事物之間的聯(lián)系，學會用數(shù)學的思想方法解決問題；通過主動參與學習數(shù)學的過程，提高學生的學習能力、學習的主動性以及綜合應用的能力，并會用科學的態(tài)度看待問題，形成一個好的學習習慣。如果將數(shù)學思考與問題解決當作是過程與方法領域的目標，則兩個“標準”的教學目標都可以統(tǒng)一為三維目標：知識與技能、過程與方法、情感與態(tài)度。

3.1.3課程的內(nèi)容

在義務教育的各個學段中，每個學段都安排了“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”、“綜合與實踐”這四個方面的內(nèi)容。

“數(shù)與代數(shù)”涵蓋了從數(shù)的認識到運算、字母表示數(shù)、代數(shù)式以及方程和函數(shù)等內(nèi)容；“圖形與幾何”的主要內(nèi)容有兩個方面：一是對圖形的基本認識，包括了對圖形性質(zhì)、分類、證明等方面，二是對運動著的圖形的了解及掌握，運動包括旋轉(zhuǎn)、平移、對稱、投影等；“統(tǒng)計與概率”就是讓學生收集、整理、統(tǒng)計、分析數(shù)據(jù)最后處理數(shù)據(jù)并能利用學習到的知識解答遇到的簡單概率問題；“綜合與實踐”是讓學生學會主動積極參與學習的過程，會運用前面學習過的三個部分的知識和方法去解決問題，這一部分設置的主要目的就是讓學生積累生活經(jīng)驗、養(yǎng)成學以致用的好習慣。

3.1.4課程實施建議

對課程實施的建議主要有教學建議、評價建議、教材編寫建議、課程資源開發(fā)與利用建議四個方面。

在教學建議上指出，教師在教學過程中要把教學理念轉(zhuǎn)化為教學行為，從實際出發(fā)，創(chuàng)造問題情境，讓學生在自主探索、解決問題的過程中提高學習和獲取知識的能力。同時指出教師要通過合理利用以多媒體信息技術為主的教學設備，從而提高教學效益。

評價的目的是了解教學的實際情況，在了解的基礎上，對教師在“教”方面的不足加以改進，發(fā)揮評價的激勵效果。值得注意的是，在進行評價時，看重結果但也不能忽略過程，對學生在知識技能、數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度等方面的表現(xiàn)進行評價時要以課程目標和內(nèi)容為依據(jù)。

教材編寫時用到的素材要盡可能地貼近生活，要具有科學性和整體性并能體現(xiàn)重要知識的產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過程。

數(shù)學課程資源包括文本資源(教科書、輔導資料等)、信息技術資源(比如網(wǎng)絡、多媒體技術等)、社會教育資源(圖書館、報紙雜志等)、環(huán)境與工具(教具與學具等)、生成性資源(教學活動過程中提出的問題、課堂實錄等)。教師在教學過程中要合理地使用數(shù)學課程資源，提高教學效率。

3.2《普通高中數(shù)學課程標準》(實驗)分析

高中數(shù)學課程是普通高中開設的一門主要課程，它包含了數(shù)學中最基本的內(nèi)容，學習該課程可以訓練學生的思維，增強學生的應用意識，為學生以后的發(fā)展奠定基礎。

3.2.1課程的基本理念及框架

高中階段的教育仍屬于基礎教育，但又要為學生的升學提供選擇方向，所以在這個階段的數(shù)學既要注重基礎性也要有發(fā)展性，為學生以后的學習提供數(shù)學基礎，做好數(shù)學準備，因此這個階段的數(shù)學課程由必修和選修兩個部分構成，必修部分是每個學生都必須學習的內(nèi)容，可以滿足大家在數(shù)學上的共同需求，而對于選修內(nèi)容，學生根據(jù)實際來選擇，從而滿足他們對不同層次、不同方向的數(shù)學需求。

學生的數(shù)學學習不是一種生搬硬套的機械化活動，而應該是一個學生主動參與、積極探索并在此基礎上進行“再創(chuàng)造”的過程。所以高中課程更要求學生通過數(shù)學學習提高思維能力，培養(yǎng)應用意識、創(chuàng)新意識，并形成一種積極探索，勇于創(chuàng)新的學習習慣。在此標準中，也注重強調(diào)在內(nèi)容中滲透數(shù)學文化的內(nèi)涵。

3.2.2課程目標

高中數(shù)學課程的三維目標分別是：知識與技能目標、過程與方法目標、情感態(tài)度與價值觀目標。

知識技能目標主要就是讓學生通過對數(shù)學課程的學習，理解基本的數(shù)學概念、數(shù)學結論的本質(zhì)，了解數(shù)學文化背景，掌握數(shù)學基礎知識和基本技能。這一目標的水平有三個層次：知道/了解、理解/獨立操作、掌握/應用/遷移?！爸馈彼降男袨閯釉~有“認識”、“初步了解”、“初步學會”等；“理解”水平的行為動詞有“描述”、“說明”、“解釋”、“推測”、“判斷”、“初步應用”、“初步討論”等；“掌握”水平的行為動詞有“分析”、“推導”、“證明”等。

過程與方法目標旨在讓學生經(jīng)歷知識發(fā)生與發(fā)展的過程，體會數(shù)學知識中蘊涵的思想方法，培養(yǎng)學生各方面的能力,發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識。過程與方法目標有兩個水平層次:經(jīng)歷/模仿、發(fā)現(xiàn)/探索。“經(jīng)歷/模仿”水平的行為動詞有“經(jīng)歷”、“感知”、“體驗”、“操作”、“查閱”等；“發(fā)現(xiàn)/探索”水平的行為動詞有“設計”、“整理”、“發(fā)現(xiàn)”、“交流”、“探究”、“解決”等。

情感態(tài)度與價值觀目標主要是讓學生通過對數(shù)學課程的學習，提高學習的興趣、養(yǎng)成良好的學習習慣和塑造健全的人格，認識到數(shù)學在生產(chǎn)生活等方面的價值。情感態(tài)度與價值觀目標有兩個水平層次:反應/認同和領悟/內(nèi)化。反應/認同水平的行為動詞有“感受”、“認識”、“了解”、“初步體會”等；領悟/內(nèi)化水平的行為動詞有“獲得”、“提高”、“增強”、“樹立”、“發(fā)揮”、“發(fā)展”等。

3.2.3課程內(nèi)容及實施建議

(1)課程內(nèi)容

高中數(shù)學課程的內(nèi)容由必修和選修構成。必修課程由5個模塊構成，為學生將來的學習打下良好的基礎。5個模塊的內(nèi)容主要有：集合與函數(shù)、幾何初步、概率統(tǒng)計、向量、三角恒等變換、解三角形、數(shù)列以及不等式。而選修內(nèi)容由4個系列組成，學生可以根據(jù)自己的興趣來選擇，它為學生的進一步學習提供了平臺。

(2)實施建議

高中數(shù)學課程不同于義務教育數(shù)學課程，它在具有基礎性的同時，有一定的難度，所以在教學設計上要充分考慮高中學生學習的心理特點，運用多種教學手段和教學方法，引導學生形成積極主動的學習態(tài)度，勤動腦動手；注重知識點之間的聯(lián)系和銜接，發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新能力；合理利用現(xiàn)代信息技術和多媒體設備，提高教學效率。

因為每個人都有其特殊性，所以在進行教學評價時要因人而異，對不同的學生使用不同的方式方法，不能打擊學生學習的自信心，同時重視學生學習的過程，發(fā)揮好評價的重要作用，促進學生的進步。

4.弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀與中學數(shù)學兩個課程標準的對比解讀

弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀與中國數(shù)學兩個課程標準的要求基本是一致的。它并不是單純地談理論，與兩個標準一樣，是通過實踐得到的經(jīng)驗總結，也是對現(xiàn)代教學的要求?；诟ベ嚨撬柕臄?shù)學教育觀念對世界數(shù)學教育的影響和他與中國的淵源，兩個“標準”中處處閃耀著他的數(shù)學教育思想的光輝。

(1)弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀的五大主要特征與中國數(shù)學課程標準的典型觀點對比解讀

弗賴登塔爾強調(diào)情境問題是教學的平臺，用符合學生認知規(guī)律并能激發(fā)學生學習興趣的情境引入，可以引起學生探究的好奇心，體驗知識發(fā)生與發(fā)展的過程，增強學生學習的效果。比說在講授相似的內(nèi)容時，弗賴登塔爾并不是直接切入主題，引出相似的概念，而是通過創(chuàng)設情境問題——“巨人的手”來引入。

中國數(shù)學兩個課程標準中提到教材的編寫素材要與學生的實際生活和數(shù)學基礎貼近，適應學生的特點，這樣既有利于引入教學內(nèi)容，也能加深學生對數(shù)學的理解等觀點與弗賴登塔爾的教育觀念是相吻合的，除此之外的四個特征也與我國數(shù)學教育改革的觀點高度一致。

表1 弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀與中國數(shù)學兩個課程標準的比較

中國數(shù)學課程標準的要求與弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀其實并沒有悖離的地方，但后人在運用上產(chǎn)生了一點誤解。弗賴登塔爾的數(shù)學化包括兩個方面的，一是水平方向的，對客觀現(xiàn)實的數(shù)學化(從現(xiàn)實到數(shù)學)；二是垂直水平的數(shù)學化，就是對數(shù)學進一步抽象化(從數(shù)學到數(shù)學)，但現(xiàn)在人們一般認為的數(shù)學化只是第一種，從現(xiàn)實到數(shù)學。

(2)從兩個“標準”的數(shù)學教學目標、理念、內(nèi)容設立、教學方法等幾個方面與弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀點進行對比解讀。

①從目標來看

《義務教育數(shù)學課程標準》(2011年版)和《普通高中數(shù)學課程標準》(實驗)對課程的目標總的概括為三個方面，即知識與技能目標、過程與方法目標、情感態(tài)度與價值觀目標。

知識與技能目標主要就是讓學生通過義務教育階段以及高中階段對數(shù)學課程的學習，獲得必要基礎知識和基本技能，并了解其中的基本思想，積累在活動中得到的經(jīng)驗。

過程與方法目標是經(jīng)歷學習和探索的過程，體會數(shù)學課程所蘊涵的思想以及方法，提高各個方面的能力，如分析和解決一些復雜問題的能力、創(chuàng)新能力等。

情感態(tài)度與價值觀目標是讓學生了解數(shù)學，培養(yǎng)學生學習的興趣和毅力，同時形成一定的理性精神和科學態(tài)度。

弗賴登塔爾對數(shù)學教育的目的進行了分析與探討，主要可以分為以下幾個方面：

(ⅰ)掌握數(shù)學的整個體系

因為數(shù)學知識的應用廣泛并且應用起來比較靈活，所以究竟有哪些知識點將來能派得上用場，我們不得而知。因此數(shù)學教育需要對整體的結構進行把握，所教的數(shù)學內(nèi)容要在符合數(shù)學體系的基礎上聯(lián)系成一個整體。但要注意的是大多數(shù)人可能只需要用到一些最簡單、最基本的數(shù)學知識，也就是整個體系的大致框架，所以說數(shù)學的教學目的不是培養(yǎng)數(shù)學家。數(shù)學的教學不能過分強調(diào)數(shù)學體系嚴謹，不能單純地以數(shù)學體系來決定教學的內(nèi)容，而是要在符合教學法規(guī)律的同時結合學生的實際，滿足社會的要求。

(ⅱ)學會數(shù)學的實際應用

數(shù)學教育的首要目的不是追求完整的數(shù)學體系，而是應該考慮數(shù)學在社會中扮演的角色。換而言之，數(shù)學教育必須讓學生學會用所學的數(shù)學知識解決現(xiàn)實中的問題。數(shù)學教育的目的要求在數(shù)學教學過程中不能單純地就數(shù)學教數(shù)學，更重要的是弄清知識之間的聯(lián)系并讓數(shù)學成為解決問題的工具。

(ⅲ)可以訓練人們的思維

從古至今，人們認為數(shù)學對所有人來說都是不可或缺的思維訓練內(nèi)容，并強調(diào)數(shù)學學習對人們的邏輯思維有重要的作用。

弗賴登塔爾基于數(shù)學到底能不能訓練人們的思維這個問題進行了多次的試驗，而試驗的結果表明受過數(shù)學教育的人相對于沒有接受過數(shù)學教育的人來說，他們在對問題的看法、理解以及回答問題等方面有了很大的長進。由此可見，數(shù)學教育與邏輯思維有一定的關聯(lián)。但如何找出它們之間的本質(zhì)聯(lián)系和存在的規(guī)律，這需要從其他的角度進行分析探討。

(ⅳ)數(shù)學作為篩選的工具

長期以來，數(shù)學在各個領域都被作為是一種選擇的方法。不僅僅是理工類的學生需要學習數(shù)學，很多文學類的學生也需要學習并獲得一定的數(shù)學知識，基于此種情況，數(shù)學便成為了測試學生智力以及才能的有效方法，同時也成為了一種挑選學生的便捷工具。

(ⅴ)數(shù)學能提高學生解決問題的能力

數(shù)學可以解決許多問題，從日常生活中遇到的數(shù)值計算到許多高端領域?qū)?shù)學的應用。人們在實際中遇到的一些問題能用數(shù)學語言使之簡化，然后得以推廣，最后將問題一般化。數(shù)學給人們解決各種各樣的問題提供了手段、方法，幫助人們綜合分析問題，為順利解決問題奠定了基礎。

從上面的分析對比，可以看出弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀與中國數(shù)學兩個課程標準二者在對學生的培養(yǎng)目標上有一定的相似性。具體表現(xiàn)為以下幾個方面：

第一，弗賴登塔爾認為數(shù)學教育的目的是讓學生掌握整個數(shù)學知識體系以及基本的數(shù)學，數(shù)學教學內(nèi)容要結合學生的實際。數(shù)學的學習對人的邏輯思維有重要的作用，受過數(shù)學教育的人在看待和解決問題的方式方法上有很大程度的提高。而兩個“標準”的數(shù)學教學目標的知識與技能目標就是要讓學生通過對數(shù)學課程的學習，培養(yǎng)“雙基”，并了解數(shù)學的基本思想，積累學習活動中的相關經(jīng)驗。

第二，弗賴登塔爾在數(shù)學教育目的中提到，教師在數(shù)學教學過程中不能單純地就數(shù)學教數(shù)學，而是要注重結合實際，讓學生在“再創(chuàng)造”的過程中培養(yǎng)解決問題的能力，并讓數(shù)學成為解決實際問題的工具。這一點與兩個“標準”的數(shù)學教學目標的過程與方法目標中的讓學生經(jīng)歷知識發(fā)生的過程，體會到數(shù)學中所蘊涵的思想以及方法，提高學生的整體能力等要求是相同的。

②從課程理念來看

中國數(shù)學課程的基本理念提到：提倡學生積極主動、勤于動腦動手，敢于嘗試和探索，教學時教師要注重以學生為主，提高他們學習的積極性，發(fā)展學生的創(chuàng)新能力以及應用意識等。

弗賴登塔爾認為現(xiàn)代數(shù)學的特性有以下幾個方面：

(ⅰ)最近的幾十年，數(shù)學有所變化，但變化主要是它的外表形式，數(shù)學的內(nèi)容實質(zhì)并沒有得到比較好的改變。在這個自然演變的過程中形式化成為了組織現(xiàn)代數(shù)學的重要方法之一。

(ⅱ)數(shù)學概念的建設方法。弗賴登塔爾強調(diào)數(shù)學教育是一個過程，在這個過程中，教師要讓學生經(jīng)歷知識的形成過程從而掌握知識，在實踐中學會抽象化、形式化的方法。

(ⅲ)現(xiàn)代數(shù)學強調(diào)傳統(tǒng)數(shù)學中的算法數(shù)學，同時加強了對概念數(shù)學(思辨數(shù)學)的重視。算法數(shù)學給概念數(shù)學以技術和方法上的支持，為探索更進一步的概念深度奠定了基礎。而概念數(shù)學體現(xiàn)了機械操作的突破，提高了理論的深度。

根據(jù)前面對《義務教育數(shù)學課程標準》(2011版)以及《普通高中數(shù)學課程標準》(實驗)的課程理念分析，結合弗賴登塔爾對現(xiàn)代數(shù)學的特性，對我國數(shù)學教育的啟示有：

(ⅰ)數(shù)學教育要以具體的、能給予學生直觀感知的內(nèi)容為背景和基礎，結合學生的認知規(guī)律和身心發(fā)展規(guī)律，達到讓學生理解現(xiàn)代數(shù)學的形式體系。

(ⅱ)我國現(xiàn)代的數(shù)學教育要以人們賴以生存的現(xiàn)實世界為背景給學生滲透一些現(xiàn)代的數(shù)學思想方法。

(ⅲ)根據(jù)算法的數(shù)學與思辨的數(shù)學這一辯證關系來組織數(shù)學教育，處理好知識與技能的關系，讓我國的數(shù)學教育從算法的數(shù)學和思辨的數(shù)學兩方面培養(yǎng)學生，并讓學生學會實際應用。

③從內(nèi)容設立來看

從數(shù)學課程內(nèi)容的設立來看，弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀與中國數(shù)學兩個標準的要求基本是一致的。以義務教育數(shù)學課程內(nèi)容中的“綜合與實踐”部分為例：

“綜合與實踐”部分就是讓學生運用所學知識進行自主探索并參與解決問題的一種學習活動。它重在“綜合”與“實踐”。其中重“綜合”就是注重所學的數(shù)學各知識點的聯(lián)系以及數(shù)學與其他事物之間的聯(lián)系；重“實踐”指重視學生在活動中的自主參與的過程。在實施“綜合與實踐”過程時，教師只需要在學生實踐過程中發(fā)揮好組織、引導的作用，在關注結果的同時注重過程，讓學生充分參與，積累經(jīng)驗，挖掘潛能，讓“綜合與實踐”部分的實施成為教師與學生提升自我的互動過程。

弗賴登塔爾認為，數(shù)學教育的目的之一就是要學會數(shù)學的實際應用。同時他強調(diào)學生學習就是要通過自己的努力得出結論，這也屬于教育內(nèi)容中的一個組成部分。換而言之，學習數(shù)學不僅是單純地接受由教師傳授數(shù)學課本上的理論知識，更要學會自己探索發(fā)現(xiàn)，勇于“實踐”。

④從教學方法上來看

中國數(shù)學的兩個課程標準中指出：數(shù)學教學活動應體現(xiàn)“以人為本”理念，讓學生在主動學習和探索的過程中自身素質(zhì)得以提高和發(fā)展；教師不是直接灌輸給學生知識和理論，而是組織和引導學生，為學生的發(fā)展創(chuàng)造良好的學習環(huán)境；實行啟發(fā)式教學有利于學生主體地位和教師主導地位的落實，能讓學生主動參與學習的過程。

弗賴登塔爾認為學生的學習過程就是學生“再創(chuàng)造”的過程，這類似于我國數(shù)學教育在教學要求和教學方法上的“啟發(fā)式”、“發(fā)現(xiàn)法”。弗賴登塔爾認為，數(shù)學學習就是要通過自己主觀努力來獲取數(shù)學知識，當學生所遇到的問題超出自己的能力范圍時，教師應給予一定程度的引導而不是直接給出答案。因此在教學時，教師要遵循“再創(chuàng)造”原則，通過“再創(chuàng)造”的方式來教學。這些觀點與兩個“標準”中關于教與學的上述方法的定位是一致的。

5.結束語

從二十世紀五十年代初起，弗賴登塔爾就把大量的精力和時間花在數(shù)學教育上，在他擔任國際數(shù)學教育委員會主席期間，為數(shù)學教育事業(yè)做了巨大的貢獻。由于弗賴登塔爾數(shù)學教育思想產(chǎn)生的背景是二次世界大戰(zhàn)后為了滿足社會物質(zhì)生產(chǎn)的需要，要培養(yǎng)具有數(shù)學基礎知識的技術工人，教師需要在越短的時間內(nèi)講授的知識越多越好等等。而在我國，高考是決定數(shù)學教育內(nèi)容的主要因素，所以從這個角度來看，我國當前的情況與弗賴登塔爾所處的時代有相似的地方。因此，弗賴登塔爾所提出的關于數(shù)學教育方面的思想對我國的數(shù)學教育改革具有指導性意義，并且影響著兩個數(shù)學課程標準。

弗賴登塔爾對我國基礎教育改革的指導意義表現(xiàn)在以下幾個方面：

(1)加快課程標準和教材體系建設。以前的教學大綱在確定培養(yǎng)目標時，大部分是強調(diào)能力的培養(yǎng)，而課程標準則注重培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造意識。傳統(tǒng)的教材在編寫上注重嚴謹?shù)倪壿嫼蛧烂艿闹R體系，缺少對知識背景的闡述，弗賴登塔爾將這種現(xiàn)象稱之為“教學法的顛倒”并進行了批判。所以新的教材體系從過去注重邏輯的嚴密轉(zhuǎn)向展示數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程。在教材的編寫上也不只是具體的結論，而是結論產(chǎn)生的思路或者得出結論的一部分過程，讓他們通過自己的再創(chuàng)造來發(fā)現(xiàn)結論，獲得知識。

(2)對教師變量的研究有所加強。以往課堂教學模式的研討是數(shù)學教育改革的側(cè)重點，忽視了教學活動過程中教師和學生的這兩個主要的因素。在有些人看來，教學是一項非常簡單的工作，但事實上，只有少部分具有教學天賦的人能很好地勝任教師這份工作，大部分的教師的教學效果并不理想。所以弗賴登塔爾在對教師培訓這方面提出了最低的要求：

①掌握對現(xiàn)代數(shù)學基本方法的使用。在基礎教育課程改革中，強調(diào)現(xiàn)在數(shù)學思想方法的滲透。所以要求在對教師進行培訓時需要貫徹數(shù)學思想方法，加強對數(shù)學思想方法的解釋，以便于將來應用于教學之中。

②提供能理解現(xiàn)代數(shù)學知識結構的概念。如果教師在教學過程中沒有強調(diào)結構體系，那么學生所學到的知識可能會處于條塊分割的狀態(tài)，并且他們不能理解和綜合運用所學的知識。因此教師在教學中要取得比較好的效果，就要掌握他所教課程的基本結構體系,發(fā)展學生的應用意識。

③初步介紹如何進行數(shù)學研究。因為只有教師自己學會怎么探索研究才能教會學生如何通過自己的探索得出結論的過程。

(3)加大對教學法的研究力度。數(shù)學課堂教學改革可以說是弗賴登塔爾數(shù)學教育思想的主旨，弗氏提出在進行數(shù)學課堂教學時應使用“再創(chuàng)造”模式：先提出問題，給學生創(chuàng)造一個問題情境，然后幫助、引導學生自己去探索數(shù)學知識形成的過程，這和我們課程標準里提到的過程與方法目標有相似之處。

[1]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學教育概論(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準(2011版)[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準(實驗)[S].北京：人民教育出版社，2003.

[4]李永杰，毛鳳梅.弗賴登塔爾數(shù)學教育思想綜述[J].平頂山師專學報，2003,(05):96―98.

[5]蒲淑萍，汪曉勤.弗賴登塔爾的HPM思想及其教學啟示[J].數(shù)學教育學報，2011,(06)：20―24.

(責任編輯 李艷梅)

The Contrast Reading on Thoery of Freudenthal’s Mathematics Education and Two “Standards” of Mathematics Education in Senior Middle School

HUANG Meijun, YUAN Liqing & HE Jianfeng

(ChuxiongNormalUniversity,Chuxiong, 675000,YunnanProvince)

Firstly, the paper focuses on the analyse of Freudenthal’s thoery of mathematics education based on the mathematics curriculum standard of the Compulsory Education (2011 edition) and the mathematics curriculum of senoir middle school (trial edition). Secondly, it discusses the aspects of the basic properties, conception, objectives, contents, standards, implementation suggestions and some factors. Finally, comparing the Freudenthal's thoery of mathematics education with Chinese two mathematics curriculum standard interpretation and finding out the connections between them.

Education of mathematics; Curriculum standard; Contrast; Interpretation

2016 - 06 - 25

黃美君(1994―)，女，數(shù)學與統(tǒng)計學院2012級學生，研究方向：數(shù)學與統(tǒng)計。

O1-0

A

1671 - 7406(2016)09 - 0007 - 09