王明義， 曹繼偉， 李立毅， 潘東華， 劉家曦

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程及自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

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基于三電平斬波器的雙電磁鐵磁浮系統(tǒng)控制方法

王明義， 曹繼偉， 李立毅， 潘東華， 劉家曦

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程及自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

在電磁懸浮系統(tǒng)中，由于模型的強(qiáng)非線性，很難實(shí)現(xiàn)動子在不同氣隙下的穩(wěn)定懸浮，需要解決系統(tǒng)嚴(yán)重的非線性問題。同時，傳統(tǒng)的兩電平斬波器驅(qū)動方式會帶來較大的電流紋波，減小電流控制精度。因此針對單自由度雙電磁鐵磁浮平臺，建立了系統(tǒng)的二階電流型非線性數(shù)學(xué)模型，通過三電平控制方法，減小懸浮電流紋波，且升高母線電壓后不影響電流精度。結(jié)合PID控制器，設(shè)計了精確反饋線性化的雙電磁鐵工作電流切換模式，提出了單自由度磁浮系統(tǒng)全行程懸浮的控制方法。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在不同懸浮氣隙條件下，設(shè)計的非線性控制系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)懸浮體的穩(wěn)定懸浮。

磁懸浮；雙電磁鐵；三電平；反饋線性化；非線性

0 引 言

磁懸浮技術(shù)由于具有無摩擦力、在真空中能夠應(yīng)用和可調(diào)的剛度、阻尼和帶寬等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用在交通運(yùn)輸、磁軸承和隔振系統(tǒng)中[1-5]。尤其在近年來高檔數(shù)控機(jī)床和光刻機(jī)等設(shè)備的需求下，磁浮導(dǎo)軌具有廣闊的發(fā)展前景。由于磁浮導(dǎo)軌兼具磁浮列車高速運(yùn)動和磁軸承精密懸浮，而上述兩種設(shè)備中廣泛應(yīng)用吸力型電磁鐵懸浮系統(tǒng)，因此由多個電磁鐵提供懸浮力的方法是目前磁浮導(dǎo)軌的主要結(jié)構(gòu)形式[6-8]。電磁鐵作為磁浮導(dǎo)軌磁浮單元，其本身具有開環(huán)不穩(wěn)定性和模型非線性的問題，加大了控制系統(tǒng)的設(shè)計難度[9]。

電磁懸浮系統(tǒng)中電磁力、電流和氣隙之間的三維關(guān)系復(fù)雜，存在嚴(yán)重的非線性，傳統(tǒng)的控制策略是通過對懸浮系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化處理，針對近似的線性化模型進(jìn)行控制，但這一方法具有一定的局限性，使得懸浮體偏離平衡位置后，控制性能下降，甚至失控[10]。為解決這一問題，文獻(xiàn)[11]提出了近似于全局線性化的增益調(diào)度方法，該方法通過對若干個平衡點(diǎn)分別進(jìn)行線性化處理來實(shí)現(xiàn)，但為了確保在全行程內(nèi)獲得較高的懸浮性能，需要細(xì)分懸浮氣隙并將大量信息儲存到查找表中，增加了控制系統(tǒng)的計算量。

為了實(shí)現(xiàn)全行程穩(wěn)定懸浮，非線性控制技術(shù)應(yīng)用到磁懸浮控制系統(tǒng)中[12-14]。反饋線性化是一種將系統(tǒng)的非線性模型轉(zhuǎn)換成簡單線性模型方法，其思想是通過對系統(tǒng)輸出變量的反饋，將原來的非線性系統(tǒng)在全行程范圍內(nèi)精確轉(zhuǎn)換成線性系統(tǒng)，以至于線性控制技術(shù)能夠應(yīng)用于非線性系統(tǒng)中。文獻(xiàn)[15]、[16]將反饋線性化與魯棒控制技術(shù)結(jié)合后應(yīng)用于電磁懸浮系統(tǒng)中，提出的方法對參數(shù)攝動和外部擾動具有較強(qiáng)的魯棒性；文獻(xiàn)[17]、[18]利用反饋線性化得到精確線性化模型，采用狀態(tài)反饋設(shè)計閉環(huán)系統(tǒng)控制器，但需要合理的極點(diǎn)配置才能實(shí)現(xiàn)良好的控制特性；文獻(xiàn)[19]將反饋線性化應(yīng)用于磁浮開關(guān)磁阻電機(jī)軸向懸浮力的控制中，并結(jié)合PID控制實(shí)現(xiàn)精確的懸浮。

由于單電磁鐵懸浮系統(tǒng)中懸浮體只受單向吸力，當(dāng)懸浮氣隙小于平衡點(diǎn)氣隙時，只能通過自身重力調(diào)節(jié)，因此控制特性較差，本文設(shè)計了雙電磁鐵單自由度磁浮平臺，將雙電磁鐵非線性模型進(jìn)行反饋線性化，通過PID控制器輸出值調(diào)配雙電磁鐵的工作狀態(tài)，并結(jié)合三電平控制技術(shù)減小電流內(nèi)環(huán)的紋波，最后通過仿真和實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了提出的控制方法能夠使懸浮體在全行程范圍內(nèi)穩(wěn)定懸浮。

1 雙電磁鐵系統(tǒng)模型

由于雙電磁鐵能夠提供懸浮平臺雙向力，提高系統(tǒng)的剛度和動態(tài)響應(yīng)能力，因此研究的單自由度磁懸浮平臺是由雙電磁鐵構(gòu)成，如圖1(a)所示，電磁鐵為E型結(jié)構(gòu)，磁鏈在鐵心、氣隙和懸浮平臺中形成閉合回路，等效磁路如圖1(b)所示。

圖1 雙電磁鐵結(jié)構(gòu)Fig.1 Double-electromagnet structure

磁動勢(MMF)為Ni，N為繞組匝數(shù)，i為線圈中電流，總磁阻表達(dá)式為

(1)

其中：RFe，Rz，Rm分別為鐵心、氣隙和懸浮平臺對應(yīng)的磁阻；μ0為真空磁導(dǎo)率，μFe和μm分別為鐵心和懸浮平臺的相對磁導(dǎo)率；z為懸浮間隙；lFe和lm分別為磁路在鐵心和懸浮平臺中的平均長度；A為電磁鐵等效截面積。此外，磁路的磁通為

(2)

在線性磁路條件下，電磁鐵電感表達(dá)為

(3)

其中ψ為磁路磁鏈。磁場能量為

(4)

通過能量轉(zhuǎn)換原理，有

dWf=idψ-Fdz。

(5)

其中F為懸浮力。由于磁能為磁鏈ψ和氣隙z的函數(shù)，因此有

(6)

將式(5)與式(6)對比，由于μFe和μm遠(yuǎn)大于1，忽略鐵心和懸浮平臺中的磁阻，由式(4)、式(6)可得

(7)

這里k=(μ0AN2)/4，對于參數(shù)一致的雙電磁鐵構(gòu)成的懸浮系統(tǒng)，平臺在z方向的力學(xué)方程為

(8)

(9)

2 系統(tǒng)控制器設(shè)計

2.1 三電平斬波器的設(shè)計

基于三電平斬波器的電流環(huán)控制系統(tǒng)如圖2所示，其中功率放大器為H橋形式，由于吸力型電磁鐵只有單向電流，因此電路由開關(guān)管S1和S2，快恢復(fù)二極管D1和D2組成。應(yīng)用在電磁懸浮系統(tǒng)的功率放大器通常為兩電平形式，這會帶來較大的電流紋波，降低懸浮系統(tǒng)的控制精度和穩(wěn)定性，而應(yīng)用三電平功率放大器不僅能減小電流紋波，而且紋波不隨母線電壓的升高而增加，適合應(yīng)用在高精度的磁懸浮系統(tǒng)中[20]。

圖2 基于三電平斬波器的電流環(huán)控制框圖Fig.2 Block diagram of current loop based on three-level chopper

開關(guān)管的控制信號分別為U1和U2，由調(diào)制信號Ug和載波信號Vtri、VtriN比較生成，式(10)為Ug、Vtri和VtriN之間關(guān)系如式(11)所示。

(10)

Vtri+VtriN=1。

(11)

式中：Vout為預(yù)加到電磁鐵上的輸出電壓；VDC為母線電壓。令1代表開通，0代表關(guān)斷，則U1和U2可以表示為：

(12)

若U1和U2同時為1，電磁鐵兩端電壓為+VDC；若同時為0，電磁鐵兩端電壓為-VDC；若只有一個為1，電磁鐵兩端電壓為0。

2.2 雙電磁鐵反饋線性化PID控制

圖3為設(shè)計的非線性控制策略，通過對雙電磁鐵懸浮系統(tǒng)進(jìn)行反饋線性化處理，獲得精確全局線性化模型，從而可以在非線性系統(tǒng)中應(yīng)用線性控制技術(shù)。

圖3 雙電磁鐵懸浮系統(tǒng)非線性控制圖Fig.3 Nonlinear control diagram of double-electromagnet suspension system

根據(jù)狀態(tài)方程式(9)，應(yīng)用反饋線性化原理，定義：

(13)

其中v為控制器輸出，代表作用在平臺上懸浮力產(chǎn)生的加速度，式(13)建立了加速度v與懸浮電流i1和i2的關(guān)系式。根據(jù)式(13)可將式(9)由非線性狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換為線性狀態(tài)方程，即

(14)

根據(jù)給定值與實(shí)際值的控制偏差，將偏差的比例、積分和微分通過線性組合的形式構(gòu)成的PID控制器作為線性控制器，即：

(15)

式中：Kp為比例系數(shù)；τi為積分時間常數(shù)；τd為微分時間常數(shù)。將式(15)代入式(13)中，可以得到兩個電磁鐵的控制電流，從而將非線性模型線性化。

對于雙電磁鐵系統(tǒng)，在穩(wěn)定懸浮情況下，PID調(diào)節(jié)后輸出的v為正值，上電磁鐵提供主要懸浮力，當(dāng)懸浮氣隙小于給定值，此時PID調(diào)節(jié)后輸出的v為絕對值較大的負(fù)值，于是下電磁鐵提供的瞬間吸力快速將平臺拉回給定氣隙，這種工作模式不僅能夠使非線性懸浮系統(tǒng)在全行程內(nèi)穩(wěn)定懸浮，還能提高系統(tǒng)剛度。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)及其結(jié)果分析

為了驗(yàn)證設(shè)計方法的正確性，通過SIMULINK仿真分析和搭建的實(shí)驗(yàn)平臺對前面的理論分析進(jìn)行驗(yàn)證，懸浮系統(tǒng)的主要參數(shù)如表1所示。

表1 懸浮系統(tǒng)主要參數(shù)

圖4為搭建的雙電磁鐵單自由度磁懸浮平臺，采用直線導(dǎo)軌約束其它五自由度，利用高精度激光位移傳感器測量懸浮氣隙，電磁鐵下表面和懸浮平臺均經(jīng)過精磨處理，以高精度浮點(diǎn)型DSP與FPGA結(jié)合方案作為控制器的主控芯片。

圖4 單自由度磁浮實(shí)驗(yàn)平臺Fig.4 Single degree of freedom magnetic suspension experimental setup

3.1 三電平斬波器

根據(jù)理論分析結(jié)果，若電磁鐵與懸浮平臺間氣隙固定，電流環(huán)給定為正弦指令，在不同母線電壓條件下，分別對兩電平和三電平控制技術(shù)進(jìn)行分析。

圖5和圖6是母線電壓分別為20 V和40 V時，兩電平控制和三電平控制的仿真結(jié)果。從仿真結(jié)果可以看出，在相同母線電壓下，三電平方案能減小電流紋波，與此同時，隨著母線電壓的升高，紋波在兩電平控制條件下也同時增大，而基于三電平控制的紋波基本不變。由于電流帶寬限制，實(shí)際電流滯后于指令電流，指令與實(shí)際電流間存在略微偏差。

圖5 母線電壓為20 V的正弦指令跟蹤仿真結(jié)果Fig.5 Sinusoidal command tracking simulation results when bus voltage is equal to 20 V

圖6 母線電壓為40 V的正弦指令跟蹤仿真結(jié)果Fig.6 Sinusoidal command tracking simulation results when bus voltage is equal to 40 V

圖7和圖8是母線電壓分別為20 V和40 V時，兩電平控制和三電平控制的實(shí)驗(yàn)結(jié)果?？梢钥闯雠c仿真結(jié)果基本一致。因此仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了前面對三電平理論分析的正確性。

圖7 母線電壓為20 V的正弦指令跟蹤實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Sinusoidal command tracking experimental results when bus voltage is equal to 20 V

圖8 母線電壓為40 V的正弦指令跟蹤實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.8 Sinusoidal command tracking experimental results when bus voltage is equal to 40 V

3.2 雙電磁鐵方案全行程懸浮

根據(jù)設(shè)計的雙電磁鐵反饋線性化控制方法，進(jìn)行全行程懸浮的仿真和實(shí)驗(yàn)。雙電磁鐵與磁懸浮平臺之間的氣隙總和為1.8 mm，起始位置為0.2 mm處，懸浮氣隙變化步長為0.2 mm。

圖9為全行程懸浮的仿真結(jié)果，圖9(a)為懸浮氣隙階躍變化的跟蹤波形，可以看出，懸浮氣隙階躍變化后，經(jīng)過約60 ms的調(diào)整后，懸浮系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定；圖9(b)和圖9(c)分別為對應(yīng)上電磁鐵和下電磁鐵的工作電流，可以看出在穩(wěn)定懸浮時，上電磁鐵提供懸浮力，下電磁鐵僅在懸浮氣隙變化時工作，即其提供的瞬間吸力快速將平臺拉回給定氣隙，驗(yàn)證了理論分析的正確性。

由于搭建的單自由度實(shí)驗(yàn)平臺以直線導(dǎo)軌約束其它五自由度運(yùn)動，而在磁浮方向存在一定的非線性摩擦力，對系統(tǒng)的動態(tài)特性帶來一定影響，因此實(shí)驗(yàn)中只對全行程范圍內(nèi)的穩(wěn)態(tài)結(jié)果進(jìn)行分析。圖10為全行程懸浮的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，懸浮系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)定后，將測量的數(shù)據(jù)存儲后繪制波形，圖10(a)為穩(wěn)定后不同懸浮氣隙的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖10(b)為對應(yīng)的上電磁鐵工作電流，結(jié)果表明根據(jù)設(shè)計的控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)雙電磁鐵在全行程范圍內(nèi)穩(wěn)定懸浮。

圖9 全行程懸浮的仿真結(jié)果Fig.9 Simulation results of full-stroke suspension

圖11為懸浮平臺穩(wěn)定后，上電磁鐵的工作電流隨氣隙變化的仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比?？梢钥闯?，仿真結(jié)果的電流與氣隙比值接近于常數(shù)，與理論值較為接近，而實(shí)驗(yàn)中由于不能忽略鐵心和懸浮平臺磁阻、存在非線性摩擦力等因素，在不同氣隙下的工作電流略大于仿真結(jié)果，另外，由于兩側(cè)導(dǎo)軌存在平行偏差，使得實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果的電流偏差逐漸變大。

圖10 全行程懸浮的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.10 Experimental results of full-stroke suspension

圖11 上電磁鐵工作電流隨氣隙變化曲線Fig.11 Variations of up-electromagnet current with airgap length

4 結(jié) 論

本文針對電磁懸浮系統(tǒng)中存在的非線性問題進(jìn)行研究，通過線性PID控制器的輸出值確定雙電磁鐵工作電流切換模式的方法，設(shè)計了一種基于三電平控制技術(shù)的雙電磁鐵磁浮系統(tǒng)控制策略，仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其有效性，并得到如下結(jié)論：

1)與兩電平斬波器相比，三電平控制方法能夠有效降低電流紋波，且紋波不隨母線電壓的升高而增加。

2)以雙電磁鐵為模型的反饋線性化方法，可以使非線性的模型全局線性化，最終結(jié)合線性控制器能夠?qū)崿F(xiàn)磁浮系統(tǒng)全行程懸浮。

[1] WAI R J，LEE J D．Performance comparisons of model-free control strategies for hybrid magnetic levitation system[J]．IEEE Proceedings-Electric Power Applications，2005，152(6)：1556-1564．

[2] 劉慧娟，張奕黃．磁懸浮列車中直線發(fā)電機(jī)感應(yīng)電動勢的計算[J]．電機(jī)與控制學(xué)報，2002，6(3)：191-194．

LIU Huijuan，ZHANG Yihuang．Calculation of electromotive force of linear generator used in magnetic levitation vehicle[J]．Electric Machines and Control，2002，6(3)：191-194．

[3] 張立，劉坤．基于FPGA的飛輪磁軸承一體化控制系統(tǒng)設(shè)計[J]．電機(jī)與控制學(xué)報，2012，16(4)：84-90．

ZHANG Li，LIU Kun．Integrated control system design of magnetic bearings for flywheel based on FPGA[J]．Electric Machines and Control，2012，16(4)：84-90．

[4] CHEN M，KNOSPE C R．Feedback linearization of active magnetic bearings：current-mode implementation[J]．IEEE Transactions on Magnetics，2005，10(6)：632-639．

[5] NAGAYA K，ISHIKAWA M．A noncontact permanent magnet levitation table with electromagnetic control and its vibration isolation method using direct disturbance cancellation combining optimal regulators[J]．IEEE Transactions on Magnetics，1995，31(1)：885-896．

[6] WAI R J，LEE J D，CHANG K L．Real-time PID control strategy for maglev transportation system via particle swarm optimization[J]．IEEE Transactions on Industrial Electronics，2011，58(2)：629-646．

[7] 李奇南，徐德鴻．四電磁鐵支撐鋼板磁懸浮系統(tǒng)氣隙交叉耦合控制[J]．中國電機(jī)工程學(xué)報，2010，30(33)：129-134．

LI Qinan，XU Dehong．Gap cross-coupling control for 4-Electromagnet supported steel plate magnetic suspension system[J]．Proceedings of the CSEE，2010，30(33)：129-134．

[8] 郭亮，陳本永．精密磁懸浮工作平臺的力特性分析[J]．中國電機(jī)工程學(xué)報，2008，28(21)：118-122．

GUO Liang，CHEN Benyong．A study on force characteristics of precision magnetic levitation stage[J]．Proceedings of the CSEE，2008，28(21)：118-122．

[9] TRUMPER D L，OLSON S M，SUBRAHMANYAN P K．Linearizing control of magnetic suspension systems[J]．IEEE Transactions on Control Systems Technology，1997，5(4)：427-438．

[10] HURLEY W G，HYNES M，WOLFLE W H．PWM control of a magnetic suspension system[J]．IEEE Transactions on Education，2004，47(2)：165-173．

[11] KIM Y C，KIM K H．Gain scheduled control of magnetic suspension system[J]．American Control Conference，1994(3)：3127-3131．

[12] KANELLAKOPOUS I，KOKOTOVIC P V，MORSE A S．Systematic design of adaptive controllers for feedback linearizable systems[J]．IEEE Transactions on Automatic Control，1991，36(11)：1241-1253．

[13] QUEIROZ M S，DAWSON D M．Nonlinear control of active magnetic bearings: a backstepping approach[J]．IEEE Transactions on Control Systems Technology，1996，4(5)：545-552．

[14] KALOUST J，HAM C，SIEHLING J．Nonlinear robust control design for levitation and propulsion of a maglev system[J]．IEEE Proceedings Theory and Applications，2004，151(4)：460-464．

[15] FRANCO A L D，BOURLES H，De PIERI E R．Robust nonlinear control associating robust feedback linearization and H∞control[J]．IEEE Transactions on Automatic Control，2006，51(7)：1200-1207．

[16] DUAN G R，WU Z Y，BINGHAM C．Robust magnetic bearing control using stabilizing dynamical compensators[J]．IEEE Transactions on Industry Applications，2000，36(6)：1654-1660．

[17] 劉德生，李杰，張錕．基于反饋線性化的EMS型磁浮列車非線性懸浮控制器設(shè)計[J]．國防科技大學(xué)學(xué)報，2005，2(27)：96-101．

LIU Desheng，LI Jie，ZHANG Kun．The design of the nonlinear suspension controller for EMS maglev train based on feedback linearization[J]．Journal of National University of Defense Technology，2005，2(27)：96-101．

[18] JOO S J，SEO J H，BINGHAM C．Design and analysis of the nonlinear feedback linearizing control for an electromagnetic suspension system[J]．IEEE Transactions on Control Systems Technology，1997，5(1)：135-144．

[19] 王喜蓮，葛寶明，趙楠．磁浮開關(guān)磁阻電機(jī)懸浮力的反饋線性化PID控制[J]．中國電機(jī)工程學(xué)報，2009，15(29)：114-118．

WANG Xilian，GE Baoming，ZHAO Nan．Axial suspending feedback linearization PID control for magnetic suspending switched reluctance motor[J]．Proceedings of the CSEE，2009，15(29)：114-118．

[20] 常肖，徐龍祥，董繼勇．磁懸浮軸承數(shù)字功率放大器[J]．機(jī)械工程學(xué)報，2010，46(20)：9-14．

CHANG Xiao，XU Longxiang，DONG Jiyong．Digital power amplifier of active magnetic bearing[J]．Journal of Mechanical Engineering，2010，46(20)：9-14．

(編輯：張 楠)

Control method for magnetic suspension system of double-electromagnet based on three-level chopper

WANG Ming-yi， CAO Ji-wei， LI Li-yi， PAN Dong-hua， LIU Jia-xi

(School of Electrical Engineering and Automation, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

In the magnetic suspension system, due to the strong nonlinearity of model, it is difficult to achieve the stable suspension of the mover over the entire operating range,and the nonlinear problem of the system has a significant impact on performance. Meanwhile, the traditional two-level chopper can produce a large current ripple, and decrease the current control precision. For single degree of freedom double-electromagnet system, the nonlinear mathematical model of a second-order current suspension was established; In order to reduce the current ripple,the accuracy of the current was improved through three-level control method; Combined with PID controller, the current switching mode based on the feedback linearization of double-electromagnet system was designed,and nonlinear control strategy for single degree of freedom magnetic suspension system was proposed. Simulation and experimental results show that the proposed nonlinear controller can achieve the stable suspension of the mover under different suspension gap.

magnetic suspension; double-electromagnet; three-level; feedback linearization; nonlinear

2015-03-09

國家自然科學(xué)基金 (51537002)；國家科技重大專項(xiàng)(2009ZX02207-001)；國家杰出青年科學(xué)基金項(xiàng)目(51225702)

王明義(1986—)，男，博士，講師，研究方向?yàn)橹本€電機(jī)驅(qū)動與控制技術(shù)；

曹繼偉(1983—)，男，博士，講師，研究方向?yàn)樾滦透咚匐姍C(jī)的研制設(shè)計；

李立毅

10.15938/j.emc.2016.11.010

TP 273

A

1007-449X(2016)11-0070-07

李立毅(1969—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樘胤N電機(jī)；

潘東華(1982—)，男，博士，助理研究員，研究方向?yàn)槌苤本€電機(jī)系統(tǒng)的研究與應(yīng)用；

劉家曦(1980—)，男，博士，副教授，研究方向?yàn)槌茈姍C(jī)伺服控制、超高速電機(jī)驅(qū)動控制。