☉西北師范大學教育學院　張定強　蔡娟娥

基于理解視角分析“導數(shù)概念”的教材呈現(xiàn)*

☉西北師范大學教育學院張定強蔡娟娥

一、引言

從20世紀40年代起，概念理解就逐漸成為教育心理學的一個主要研究課題，“為理解而教”的口號也逐漸成為課堂教學的一個基本任務.［1］我國2003年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下簡稱《課標》）中對導數(shù)概念部分的要求是從了解、知道、體會到理解導數(shù)的概念，［2］即導數(shù)概念教學的根本目的是理解導數(shù)概念，因此理解導數(shù)概念是導數(shù)知識體系的核心內(nèi)容.

《課標》中對導數(shù)概念的要求是不講極限概念，直接通過實際背景和具體應用實例——速度、膨脹率、效率、增長率等反映導數(shù)思想和本質(zhì)的實例，引導學生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，理解導數(shù)的幾何意義.［2］這樣的設計必然引起人們對于“不提極限概念能否讓學生理解導數(shù)概念”這一問題的關注，這一問題已有多篇文章進行過闡述，如“新課標中的微積分課程設計有利于促進學生自主探究、反思，關注學生對導數(shù)本質(zhì)的理解”，［3］“這是降低理論要求的需要，是返璞歸真，是‘恢復了牛頓對微積分的探討過程’”，［4］“講導數(shù)想避開極限是不可能的，與其若隱若現(xiàn)、馬馬虎虎，倒不如尊重學生的認知基礎，把函數(shù)極限的知識提出來，置于第一節(jié)”［5］等.這些文章大多是從實際教學的角度論述的，很少從教材本身出發(fā)去分析這個問題.教材是以《課標》為基準編寫的，它作為實現(xiàn)課程目標和實施課堂教學活動的重要載體，能否促進或引導學生理解導數(shù)的概念呢？基于此，本文以人教A版、人教B版、蘇教版、北師大版四套教材為例，從理解的視角審視導數(shù)概念的教材呈現(xiàn).

二、研究方法

本文采用文本分析法對于四版教材中的導數(shù)概念內(nèi)容進行比較分析.普通高中課程標準實驗教科書選修1-1中“導數(shù)及其應用”為文史類選修內(nèi)容，選修2-2中“導數(shù)及其應用”為理工類選修內(nèi)容，本文選取普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學人教A版、B版、蘇教版、北師大版選修2-2為樣本研究導數(shù)概念的教材呈現(xiàn).教材呈現(xiàn)就是教材本身顯示或顯露出的內(nèi)容，從導數(shù)概念的教材嵌入模式、教材編排順序和教材欄目設置三個維度對四版教材中導數(shù)概念的呈現(xiàn)進行理解視角審視.

三、理解視角的教材呈現(xiàn)分析

1.理解視角的嵌入模式分析

嵌入是指把小物體卡緊在大物體的空隙里，這里的嵌入模式是指“導數(shù)概念”內(nèi)容在選修2-2教材中的分布情況，即導數(shù)概念是如何嵌入到選修2-2的內(nèi)容系統(tǒng)之中的.事實上四版教材都按課標要求建構(gòu)了選修2-2的內(nèi)容，人教A版、人教B版、蘇教版在章節(jié)設置上差別不大，都是以“導數(shù)及其應用→推理與證明→數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入”的順序呈現(xiàn)，在“導數(shù)及其應用”一章中，呈現(xiàn)順序為導數(shù)→導數(shù)的運算→導數(shù)的應用→定積分.北師大版教材與前三版教材在章節(jié)設置上的區(qū)別較大，把“推理與證明”一章內(nèi)容置于導數(shù)內(nèi)容之前，而把前三版教材中的“導數(shù)及其應用”一章拆分成二章呈現(xiàn).如人教A版教材中“變化率與導數(shù)”是“導數(shù)及其應用”中的第一節(jié)內(nèi)容，而在北師大版教材中卻是第二章的內(nèi)容.但是北師大版教材在具體內(nèi)容的設置上與其余三版教材并沒有很大的差別，導數(shù)的概念都是以“變化率”問題引入的，不同之處在于相同的知識點嵌入在不同的位置——“節(jié)”位置和“章”位置.（具體章節(jié)設置見表1）

表1　導數(shù)概念相關內(nèi)容設置表

人教A版、人教B版及蘇教版都把與導數(shù)概念有關的所有的知識安置在同一章中，這就使得學生明確地意識到導數(shù)概念是微積分知識網(wǎng)絡中的一部分內(nèi)容，同時知識網(wǎng)絡中的其他內(nèi)容越多，越會使得學生易于建立新、舊知識之間的關聯(lián)，從而將導數(shù)概念內(nèi)容融入到學生自身的內(nèi)部知識網(wǎng)絡中，達到對導數(shù)概念的理解.北師大版教材將一章的內(nèi)容拆分為三章，將原本處在“節(jié)”位置的內(nèi)容提升到“章”的高度，會使得教師與學生在心理上更加重視導數(shù)概念的內(nèi)容，但是這樣的設計會讓學生很容易忽視導數(shù)與微積分之間的關系，阻礙學生建構(gòu)微積分的知識網(wǎng)絡，對學生導數(shù)概念的理解不利.

2.理解視角的編排順序分析

編排順序即知識點出現(xiàn)的先后順序.由表1可知，四版教材“導數(shù)概念”之前設置的內(nèi)容都是“變化率問題”，這種設置符合《課標》的要求.同時，四版教材在編排模式上很相似，都存在這樣一種模式：問題提出→知識點呈現(xiàn)→例題引導→練習鞏固→習題檢測，但是每個版本中這一模式又各具特色.在人教A版、人教B版、北師大版教材中“導數(shù)概念”編排順序都是：平均變化率→瞬時變化率→導數(shù)概念→導數(shù)的幾何意義；而在蘇教版教材中將導數(shù)幾何意義置于曲線上一點處的切線部分.在人教A版教材中上述編排模式循環(huán)出現(xiàn)了兩次，即平均變化率與瞬時變化率之間沒有習題的緩沖，直接以瞬時速度作為過渡，引出導數(shù)概念，且相對于其他三版教材，人教A版例題與習題數(shù)量最少；人教B版教材編排模式較為簡單，三個知識點三個循環(huán)，三個知識點都設有大量的練習題起到鞏固知識的作用，且習題數(shù)量最多，緩沖力度最強；蘇教版教材的模式與人教B版類似，但多了一個知識點（瞬時速度），即四個知識點四個循環(huán)，曲線上一點處的切線不再以導數(shù)的幾何意義出現(xiàn)，而是作為引出導數(shù)概念的一個實例出現(xiàn)；北師大版教材編排模式的特殊之處在于：平均變化率與瞬時變化率公用例題，即這里的例題不僅起到引導學生更好地掌握平均變化率知識的作用，同時也引出了瞬時變化率的知識，而且北師大版教材將導數(shù)概念與導數(shù)幾何意義分兩節(jié)呈現(xiàn).（具體的編排順序見表2）

表2　導數(shù)概念內(nèi)容編排順序表

四版教材整體上都是以概念形成的方式引出導數(shù)概念，即通過實例歸納出在Δx趨于0的情況下平均變化率趨于一個常數(shù)，這個常數(shù)就是瞬時變化率，從而給出了導數(shù)的概念.而“導數(shù)的幾何意義”或者是“曲線上一點的切線”都是與學生之前學習的直線的斜率相關聯(lián)的內(nèi)容，因此這一部分的概念都是以概念同化的方式進行.不同的是蘇教版教材把曲線上一點處的切線也作為了引出導數(shù)概念的一個實例，微積分的創(chuàng)立與處理曲線的切線和物體運動的瞬時速度兩類問題直接相關，因此蘇教版教材的這種設置是符合學生的認知規(guī)律的，會使得學生歸納導數(shù)概念更加的容易，有助于學生對導數(shù)的理解，同時還可節(jié)省向?qū)W生解釋導數(shù)幾何意義的時間.人教A版教材的設計使得教師的教學負擔減輕，例題與習題的數(shù)量保證了教師可以在同一節(jié)課完成導數(shù)概念的教學.而人教B版、蘇教版、北師大版教材例習題較多，會使教師與學生的負擔較重.

3.理解視角的欄目設置分析

本文中的欄目設置只針對“導數(shù)概念”部分的教材.人教A版教材的欄目形式較為豐富，有“正文”、“思考”、“探究”、“觀察”、“旁注”等欄目，“思考”欄目是升華原問題引出新問題或是凸顯問題背后的子問題；“探究”欄目是問題討論背后的拓展與延伸，是更成熟的題源；“觀察”欄目是前后內(nèi)容之間聯(lián)系的橋梁；“旁注”欄目是能夠拓寬學生的知識面．［10］整個教材內(nèi)容簡潔明了，環(huán)環(huán)相扣，為教師的教學提供了廣闊的思考空間．美中不足的是有些“思考”與“探索”內(nèi)容更多的是為下文即將要引入的知識做鋪墊，但是卻與下文的“距離”較遠，這使得教師很多時候會忽略這些欄目或者是教師需要在較短的時間內(nèi)完成超量的教學任務，例如，教材1．1．1變化率問題一節(jié)最后的“思考”欄目是為1．1．3導數(shù)的幾何意義做鋪墊的，［6］這就需要教師在1～2個課時中完成3個課時的任務，否則這樣的“思考”欄目的作用將大大降低．

人教B版教材中出現(xiàn)的欄目有：“正文”、“旁注”、“探索與研究”、“思考與討論”，“旁注”是對特定知識或特定符號的說明與解釋，能幫助學生更好地理解相對應的知識；“探索與研究”是引導學生進行研究性學習，升華知識．人教B版教材中的“旁注”較人教A版教材中更為詳細，形式也更多樣，與其他學科的聯(lián)系也較為緊密．“探索與研究”內(nèi)容相對來說難度較高，例如，教材1．1．2節(jié)中的探索與研究內(nèi)容是“研究圓面積與圓周長的關系”，并且需要學生以此寫一篇小論文，談談他們對導數(shù)概念的理解，［7］這樣的設置更多的時候是被遺棄的．

蘇教版教材中除“思考”、“探究”、“旁注”欄目外，還增設了“鏈接”、“EXCEL”欄目，這里的“EXCEL”欄目體現(xiàn)EXCEL可大幅度地減少復雜、重復計算所用時間的功能，教材中呈現(xiàn)的是運用EXCEL進行計算并得出結(jié)果的窗口，同時附上了對應單元格的公式，便于學生的自主學習；“鏈接”是所學內(nèi)容在現(xiàn)實生活中的應用，這里的“鏈接”即是導數(shù)概念在經(jīng)濟學中的應用——邊際函數(shù)，［9］同時邊際函數(shù)在后面的教學內(nèi)容中還會出現(xiàn)，這里的“鏈接”又同時起到承上啟下的作用．“EXCEL”欄目的設置為教師提供了減輕教學負擔的途徑，也讓學生意識到信息技術對數(shù)學學習的重要作用；“鏈接”內(nèi)容緊跟“導數(shù)概念”內(nèi)容出現(xiàn)，讓學生及時地鞏固導數(shù)概念，更好地理解導數(shù)概念．

北師大版教材中的欄目較少，除了“正文”，只有“思考交流”與“信息技術應用”欄目．這里的“思考交流”不同于前三版教材的“思考”，不是為后文做鋪墊，而是對前文的深化鞏固，例如，教材第33頁出現(xiàn)的思考交流內(nèi)容為：“舉出生活中兩個函數(shù)的實例，結(jié)合具體問題討論它們在某一點處導數(shù)的實際意義”，［8］已經(jīng)是所在章節(jié)的末尾，是為了讓學生從實際出發(fā)理解導數(shù)的概念．

四、結(jié)束語

人教A版教材中導數(shù)概念的嵌入模式更容易使學生建構(gòu)起自身的知識網(wǎng)絡，同時在編排模式方面，例題習題容量相對較少的設計大大減輕了學生和教師的負擔，有利于學生對導數(shù)的理解；人教B版教材同樣在導數(shù)概念的嵌入模式上更容易讓學生理解導數(shù)概念，在欄目設置方面，有些內(nèi)容要求過高、難度較大，對于學生的學業(yè)要求也相應較高；北師大版教材在編排模式上更加的合理，緩沖力度適中，同時在欄目的設置方面引入現(xiàn)代信息技術工具，學生可以親身經(jīng)歷導數(shù)概念中包含的思想，更好地理解導數(shù)概念；蘇教版教材在導數(shù)概念編排順序方面及在欄目設置方面的獨特設計使得學生有足夠多的實例歸納出導數(shù)的概念，同時及時地鞏固導數(shù)的概念，促使學生對導數(shù)概念的理解．

每一版本教材都有每一版本教材的特色，也有每一版本教材針對的學生人群，教師應根據(jù)學生的實際狀況選擇合適的課程進行教學，同時除借鑒每一版本的特色之處，還要使得教學更加有效地進行．

1.鮑建生，周超．數(shù)學學習的心理基礎與過程［M］．上海：上海教育出版社，2009．

2.中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［M］．北京：人民教育出版社，2003．

3.宋寶和，郭兆明，房元霞．變化率思想：高中開設微積分課程的價值［J］．課程·教材·教法，2006（9）．

4.《基礎教育教材建設叢書》編委會．中小學教材的編寫出版［M］．北京：人民教育出版社，2003．

5.房元霞，宋寶和．沒學過極限學生能學會導數(shù)嗎——新課程“導數(shù)”概念教學的實驗研究［J］．數(shù)學通報，2007（9）．

6.課程教材研究所·中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心．普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-2（A版）［M］．北京：人民教育出版社，2007．

7.課程教材研究所·中學數(shù)學教材實驗研究組．普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-2（B版）［M］．北京：人民教育出版社，2005．

8.嚴士健，王尚志．普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-2［M］．北京：北京師范大學出版社，2008．

9.單墫．普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-2［M］．南京：鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F江蘇教育出版社，2008．

10.王渭寧．人教A版與北師大版高中數(shù)學教材比較研究——以“圓錐曲線與方程”為例［J］．高中數(shù)學教與學，2015（8）．

*本文系教育部教師工作司項目“創(chuàng)新教師培養(yǎng)模式”（項目編號：06-138-PY）的階段性研究成果.