☉華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院　黃丹玲

☉華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院　徐章韜

基于目標矩陣的高中數(shù)學教材分析——以“兩角差的余弦公式”課題為例

☉華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院黃丹玲

☉華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院徐章韜

一、從一個現(xiàn)象說起

“兩角差的余弦公式”課題是高中數(shù)學必修4的內(nèi)容，也是三角恒等變換的起始內(nèi)容，在人教版教材中，它被安排在三角函數(shù)和平面向量之后學習，而在傳統(tǒng)數(shù)學課堂中教師也往往按照這條主線依次進行教學，并未做什么變化.但近日筆者發(fā)現(xiàn)，有些教師將“三角函數(shù)的誘導公式”這一部分內(nèi)容放在三角恒等變換之后進行教學，教師利用三角恒等變換的各種公式直接推導出誘導公式，從而避免了部分學生對教材中利用三角函數(shù)線來推導誘導公式的方法難以消化和理解的難題，也幫助學生理解和記憶了有關三角函數(shù)的各種公式.如此看來，這種教學方式似乎更加有利于提高教學效果，但采用這樣的教學方式又需要怎樣的前提條件和注意事項呢？接下來，筆者就對該課題進行教材分析，望借此得出結論與大家一起探討學習.

二、有關教材分析

教材是為了實現(xiàn)一定的教學目標，將構成教材的各種要素，以及它們之間的相互關系所構成的一種系統(tǒng).而在這個教材系統(tǒng)中，各要素之間的邏輯關系顯得尤為重要，我們將這種關系稱為學習的層級關系或要素間的形成關系，它決定了整個教材的層級結構.教材分析是指對于給定的教材，教師在教學中，應通過對教學內(nèi)容的分析，找出教材的層級結構，即找出構成教材的要素及其相互間的層級關系（形成關系），以及根據(jù)所找出的層級結構對教學內(nèi)容進行序列化.

教材分析的目的不是讓每個人得出相同的結果，相反，它依據(jù)教師的教材觀，以一定的方法向教師展現(xiàn)一定的內(nèi)容或傳達一定的信息，以期望對教師的實際教學工作能提供有效的幫助.教師對教材的分析是教師備課中的一項重要工作，教師在編寫教案時，總要先依據(jù)教學計劃確定教學目的，然后對教材和學情進行透徹的分析，這之后才能繼續(xù)編寫教學過程，完成整個教學設計.因此，教材分析是教師備好課、上好課、達到預期的教學目的和出色地完成教學任務的重要基礎.同時，由于教材分析是對教材整體性、客觀性的把握，是教師的創(chuàng)造性勞動，需要教師擁有系統(tǒng)化的知識和豐富的實踐經(jīng)驗，因此，教材分析也是對教師教學能力和創(chuàng)造能力的一種體現(xiàn).

由于教材是一種包含了人類思想、觀點的一種定性系統(tǒng)，我們并不能像許多物理系統(tǒng)那樣去進行定量分析，而只能采用邏輯的、層級的分析方法來進行科學的分析.所以中小學數(shù)學教材分析的方法主要有學習層級法、課題分析法、邏輯分析法、ISM法以及目標矩陣法.在眾多的教材分析法中，目標矩陣法不僅能夠提高教材分析的結構化和有序化，而且其簡潔、方便的特點也便于廣大信息技術教師的理解和掌握.

三、目標矩陣法

1.目標矩陣原理

教學目標分析方法有很多，所謂教學目標分析，就是按照認知理論原理和知識領域中各教學目標（知識點）的內(nèi)在邏輯關系，分解出教學目標及各級子目標，直至最低一級子目標（預備知識），厘清各級教學子目標之間的相互關系和順序.

ISM法（Interpretive Structural Modeling Method）是Warfield將圖論用于研究社會系統(tǒng)中復雜要素間關聯(lián)結構分析的一種方法.它的主要依據(jù)是有向圖模型和布爾矩陣，以人們的實際經(jīng)驗，在計算機的幫助下將一個復雜的系統(tǒng)分解成若干個子系統(tǒng)（要素），后來這種方法也用于教材分析.

目標矩陣的方法與ISM法具有相同的原理，但與ISM法相比，目標矩陣法避免了許多復雜的計算，僅以一些簡單的操作就能達到ISM法的效果，因此，目標矩陣法可以看做優(yōu)化了的ISM法.用目標矩陣法分析教材，無論是分析知識點與知識點之間的關系，還是課題與課題之間的關系，最后都可以用圖形來表示它們之間的邏輯關系，因此，這種方法綜合了其他所有教材分析方法的優(yōu)點.目標矩陣方法在學校教學中不僅應用廣泛而且還取得了良好的教學效果.

2.目標矩陣的具體實施步驟

運用目標矩陣法分析教材，主要有以下五個步驟：制定教學目標，決定具有形成關系的直接低級目標，列出目標矩陣，按目標水平分類，形成關系圖.

（1） 制定教學目標

“兩角差的余弦公式”是推導出任意兩角之差的余弦公式，并進行證明的一項學習內(nèi)容.該學習內(nèi)容的教學目標（G）是：探索發(fā)現(xiàn)并能用向量的數(shù)量積推導出“兩角差的余弦公式”，理解數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，增強學生向量方法應用的意識，會運用公式進行簡單的化簡求值.

通過分析，得出“兩角差的余弦公式”課題的前提知識和各類教學目標，如表1所示.

表1　課題的前提知識和各類教學目標

（2） 決定具有形成關系的直接低級目標

通過分析不僅可以給出指定教學目標的低級目標，而且可以給出各目標間的直接形成關系，即各目標的直接低級目標.以這種方法求得“兩角差的余弦公式”課題中各目標的直接低級目標，如表2所示.

表2　課題各目標的直接低級目標

圖1　目標矩陣（Ⅰ）

（3） 目標矩陣

目標矩陣是基于直接低級目標（表2）作出的，將各種水平的低級目標在橫軸與縱軸上進行排列，排列的順序沒有特殊要求.

以位于橫軸上的目標為高級目標，若位于縱軸上的某一目標是橫軸上某一目標的直接低級目標，則在二者交點的位置處置1，例如，位于橫軸上的低級目標1是以R1作為直接低級目標的，因此在這兩個目標的交點位置處置1.以此類推，對應于橫軸上的各個高級目標，按照表2給出的直接低級目標，分別在相應的交點位置處置1，由此可得到圖1這樣的目標矩陣（Ⅰ）.

（4） 按目標水平分類

圖2　目標矩陣（Ⅱ）

根據(jù)目標的水平不同，可對目標進行分類.目標分類可通過對目標矩陣的一定操作而得到.這種操作可按從低向高的方向進行.首先觀察目標矩陣（I）的橫軸，對應于R1、R2、R3、R4等4個低級目標所在的列均無“1”出現(xiàn)，這表示R1～R4這些低級目標不存在直接低級目標，所以，它們是目標層次結構中的底層.實際上這些目標是作為課題學習的前提知識，因此作為目標體系的底層是容易理解的.位于底層的低級目標是一種水平最低的低級目標，根據(jù)實際的目標分類情況，我們稱之為第八類目標.觀察目標矩陣（Ⅰ）的縱軸，將第八類目標R1～R4所在行上的“1”全部置為空白，由此構成圖2這樣的目標矩陣（Ⅱ）.觀察圖2橫軸上各低級目標所在的列，除第八類目標R1～R4對應的列外，目標1、目標5、目標6和目標8所在的列全部為空白（不存在“1”）.這類目標被列為第七類目標.

如此下去，可得到低級目標按不同水平分類表，如表3所示.

表3　各級目標按不同水平分類表

基于上述的實際分類情況，各級目標的水平隨分類號的數(shù)值增加而下降，第一類目標為給定的教學目標，是目標體系中級別最高的教學目標.

（5） 形成關系圖

根據(jù)目標的水平，將同一水平的目標排在同一水平線上，第八類低級目標位于最底層，第一類目標位于最高層，并將各級間的形成關系以箭頭表示，由此得到圖3的形成關系圖.

圖3　形成關系圖

四、結論與感想

從以上基于目標矩陣的教材分析可以看出，學生只要掌握了前提知識R2，即誘導公式中的cos（2kπ±α）=cosα，k∈Z，就可以實現(xiàn)對“兩角差的余弦公式”的推導與證明.所以將誘導公式放在三角恒等變換之后學習是完全可行的，這些誘導公式都可以通過兩角和（差）的正弦、余弦公式推導出來，這也為誘導公式的推導和證明開辟了另外一條道路，教師可在實際教學中參考這種教學方式.當然，教學方法的選擇不僅僅依賴于教材分析，教師還應當綜合考慮學生學習情況和心理特點等各種因素.數(shù)學是一個嚴謹而又聯(lián)系密切的邏輯系統(tǒng)，所謂“條條大路通羅馬”，教師應當靈活處理教材，真正做到因材施教，這樣才能提高課堂教學質(zhì)量和教學效率.

1.傅德榮，章慧敏．教育信息處理［M］.北京：北京師范大學出版社，2001.