陳莉紅（江西省教育廳教學(xué)教材研究室）

追本溯源至簡求新
——江西省中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新畫圖題賞析

陳莉紅（江西省教育廳教學(xué)教材研究室）

從2012年開始連續(xù)五年，江西省中考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)了一種新的考查幾何作圖的試題，它有別于傳統(tǒng)意義上的尺規(guī)作圖題，設(shè)置這類試題是為了考查學(xué)生對基本圖形性質(zhì)及圖形變換的特征的掌握情況，考查學(xué)生的幾何直觀（包括對圖形的觀察、操作、想象等）、合情推理能力及相關(guān)的實驗操作能力，重點考查的是在尋找作圖依據(jù)的過程中學(xué)生自主運用所學(xué)知識進(jìn)行推理論證的能力.經(jīng)過五年的實踐與探索，江西省中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新畫圖題逐漸形成了自己的風(fēng)格，形成了一道亮麗的風(fēng)景線.

幾何作圖；尺規(guī)作圖；創(chuàng)新畫圖

從2012年開始連續(xù)五年，江西省中考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)了一種新的考查幾何作圖的試題，它有別于傳統(tǒng)意義上的尺規(guī)作圖題，設(shè)置這類試題是為了考查學(xué)生對基本圖形性質(zhì)及圖形變換的特征的掌握情況，考查學(xué)生的幾何直觀（包括對圖形的觀察、操作、想象等）、合情推理能力及相關(guān)的實驗操作能力，重點考查的是尋找作圖依據(jù)的過程中學(xué)生自主運用所學(xué)知識進(jìn)行推理論證的能力.經(jīng)過五年的實踐與探索，江西省中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新畫圖題逐漸形成了自己的風(fēng)格，形成了一道亮麗的風(fēng)景線.本文將從創(chuàng)新畫圖題產(chǎn)生的背景、題型醞釀構(gòu)思的過程、題型特點三個方面逐一闡述我們對幾何作圖的認(rèn)識及在考查幾何作圖方面所做的積極探索與實踐.

一、江西省中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新畫圖題產(chǎn)生的背景及命制原則

1．《標(biāo)準(zhǔn)》對幾何作圖的教學(xué)要求及學(xué)生的能力要求有所提高

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）第三學(xué)段對幾何作圖的要求如下.

（1）能用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線.

（2）能用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線.

（3）對尺規(guī)作圖的要求如下.

①能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線.

②會利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形.

③會利用基本作圖完成：過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形.

④在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法.

與《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》相比，尺規(guī)作圖新增加的內(nèi)容有：過一點作已知直線的垂線；已知一直角邊和斜邊作直角三角形；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形.《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力和模型思想.其中“空間觀念”主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，依據(jù)語言描述畫出圖形；“幾何直觀”主要是指利用圖形描述分析問題.因此，幾何作圖能力是《標(biāo)準(zhǔn)》明確要求的，也是后續(xù)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須具備的能力.

2．為更好地落實《標(biāo)準(zhǔn)》理念，發(fā)揮中考評價的教學(xué)導(dǎo)向功能

幾何作圖是幾何學(xué)習(xí)的一種重要手段，通過作

圖，學(xué)生可以增強(qiáng)對幾何圖形的直觀感受，獲得圖形中蘊含的各種幾何關(guān)系的思維素材，從而對后續(xù)分析、解決問題產(chǎn)生直接影響.因此，讓學(xué)生學(xué)會在作圖中抓基本要素，明確作圖的依據(jù)和基本方法，并在復(fù)雜圖形中分辨出基本圖形，是幾何教學(xué)中提高學(xué)生分析、解決問題能力的重要一環(huán).然而，經(jīng)過幾年的教學(xué)調(diào)研發(fā)現(xiàn)初中學(xué)生的畫圖、讀圖能力比較弱.一方面，是長期標(biāo)準(zhǔn)化測試的局限性造成的，測試試題中的圖形都是已經(jīng)畫好的標(biāo)準(zhǔn)圖形，學(xué)生養(yǎng)成了直接在試題中已給圖形上答題的習(xí)慣，缺少動手畫圖的意識；另一方面，在日常教學(xué)過程中，尺規(guī)作圖的教學(xué)內(nèi)容幾乎被一線教師忽略，對學(xué)生邊讀題邊畫圖的學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)沒有引起足夠的重視，學(xué)生畫圖、讀圖能力沒有得到培養(yǎng)和提高，為后續(xù)高中階段的學(xué)習(xí)造成不必要的障礙.而中考試題對幾何作圖能力的考查可以對幾何教學(xué)起到導(dǎo)向的作用，為了更好地落實《標(biāo)準(zhǔn)》對幾何作圖的教學(xué)要求，促進(jìn)日常教學(xué)中四基、四能教學(xué)理念的落實，經(jīng)過三年的調(diào)研和醞釀之后決定從2012年開始，江西省中考數(shù)學(xué)試題設(shè)置考查幾何作圖的題型，這種題型的命制遵循以下幾個原則.

（1）考查角度力求創(chuàng)新；

（2）考查內(nèi)涵力求豐富；

（3）作圖工具盡量簡單，便于閱卷；

（4）作圖形式盡量簡潔，便于操作.

在研究尺規(guī)作圖的演變與發(fā)展的歷史背景之后，我們理解尺規(guī)作圖的本質(zhì)是在一定限制條件下的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，尺規(guī)作圖的理論依據(jù)是幾何圖形的性質(zhì)、定理.例如，作角平分線的依據(jù)是兩三角形全等的判定定理，構(gòu)造全等三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形的作圖依據(jù)是直徑所對的圓周角為直角.再結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》中對幾何作圖的要求，確定江西省中考數(shù)學(xué)對幾何作圖的考查目標(biāo)定位在以作圖（操作）的形式考查圖形與幾何中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，尤其是對一些基本圖形性質(zhì)、推理、幾何直觀、圖形變換的考查.

二、江西省中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新畫圖題的構(gòu)思過程

根據(jù)上述幾何作圖題的命制原則、考查角度力求創(chuàng)新，就要求不能照搬尺規(guī)作圖的要求，尺規(guī)作圖的內(nèi)容已經(jīng)研究的非常透徹，《標(biāo)準(zhǔn)》要求的基本作圖也已經(jīng)非常全面，在尺規(guī)作圖的內(nèi)容上創(chuàng)新難度非常大.于是追本溯源，我們認(rèn)識到尺規(guī)作圖的本質(zhì)就是在一定限制條件下的作圖問題，那么“限制條件”便成了作圖的關(guān)鍵，順著這個思路延伸，一個延伸方向是放寬限制.例如，直尺上如果有了刻度，能作些什么呢？增加一個工具能怎樣呢？如“角尺+量角器”，能做成把任意角三等分的儀器.這些變化都可以使作圖變得更加豐富而實用，這可以作為數(shù)學(xué)活動讓學(xué)生實踐操作探究，但不適合書面考查.

另一個延伸方向是加強(qiáng)限制條件.1797年意大利數(shù)學(xué)家馬斯羅尼發(fā)現(xiàn)：只用一把小圓規(guī)，就能完成一切由尺規(guī)聯(lián)合完成的事情.例如，拿破侖的題：只用圓規(guī)不用直尺，把一已知圓心的圓周分成四等份.美國幾何學(xué)家佩多曾敏銳地看出固定半徑的圓規(guī)的作圖問題隱藏著有趣的奧秘，他把這種固定半徑的圓規(guī)形象的叫做生銹的圓規(guī).這個發(fā)現(xiàn)引起數(shù)學(xué)家們很大的興趣.那么只用一把直尺行不行呢？數(shù)學(xué)家很快發(fā)現(xiàn)只用一把直尺能作的圖，少得可憐，但是法國數(shù)學(xué)家彭色列在1822年寫的文章，德國數(shù)學(xué)家斯坦納在1833年出版的一本小書里都證明，只要在平面上預(yù)先畫好一個圓和它的圓心，便可以用直尺完成一切能由尺規(guī)完成的任務(wù).這個結(jié)論給了我們足夠的靈感，僅用無刻度的直尺畫圖，符合上述幾個原則，成為我們考查作圖的載體，我們給這一新的題型命名為“創(chuàng)新畫圖題”，以區(qū)別于尺規(guī)作圖.

三、江西省中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新畫圖題特點賞析

創(chuàng)新畫圖是在一定情境下，以無刻度直尺作為唯一的作圖工具，不能度量，結(jié)合運用圖形的幾何性質(zhì)、基本定理、圖形變換等進(jìn)行分析、推理、歸納，尋找作圖依據(jù)，主要的作圖形式是找點、連線.現(xiàn)結(jié)合近五年的中考試題對江西省創(chuàng)新畫圖題的特點賞析如下.

1．在基本圖形中僅用無刻度直尺畫圖

例1（2012年江西卷第13題）如圖1，已知正五邊形ABCDE，試用無刻度的直尺，準(zhǔn)確作出它的一條對稱軸（保留作圖痕跡）．

圖1

圖2

答案：如圖2，直線AK即為所求（答案不唯一）.

【評析】2012年是考查創(chuàng)新畫圖題的第一年，以填空題形式出現(xiàn)，分值為3分.看似簡單的作圖題，所蘊含的數(shù)學(xué)知識非常豐富，充分利用了正五邊形的性質(zhì)：五條邊相等、五個角相等、軸對稱圖形，且有五條對稱軸，每條對稱軸都過頂點和對邊的中點，因此要畫出對稱軸只要找到對稱軸上另外一點或?qū)叺闹悬c即可.向圖形內(nèi)部找點，可連接對角線，運用等腰三角形、等腰梯形的對稱性可得兩條對角線的交點即為所求；向圖形外部找點，可延長不相鄰的兩邊相交的交點即為所求，可見思路多樣，畫法不唯一.既考查了正多邊形的性質(zhì)，同時又考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，既是作圖題，又是幾何推理題，只是不要求學(xué)生寫證明過程而已，該題的設(shè)置本身就是一種創(chuàng)新，改變以往“尺規(guī)作圖”的傳統(tǒng)模式，讓學(xué)生運用所學(xué)知識通過分析、探索確定作圖方案.由此題進(jìn)行拓展可得任意正n（n≥4）邊形都可以僅用無刻度直尺畫出對稱軸.

變式：在圖3（1）中，已知AB=AC，BD=DC，在圖3（2）中，AB=AC，EB=FC，在圖3（3）中，五邊形ABCDE是正五邊形，試僅用無刻度的直尺分別畫出三個圖中的BC邊的中垂線.

圖3

【評析】此題是由江西省2012年中考試題改編而來的，中考試題只有圖3（3）.在圖3（3）前面鋪墊圖3（1）、圖3（2），體現(xiàn)一個數(shù)學(xué)問題由簡單到復(fù)雜的探究過程，也能起到對學(xué)生答題方法的引導(dǎo)作用，能使學(xué)生順利完成解答.

例2（2014年江西卷第16題）如圖4，在菱形ABCD中，P是BC的中點，試僅用無刻度的直尺按要求畫圖.

（1）在圖4（1）中畫出AD的中點；

（2）在圖4（2）中對角線BD上，取兩個點E，F(xiàn)，使BE=DF.

圖4

答案：（1）在圖5（1）中，點M即為所求.

（2）在圖5（2）中，點E，F(xiàn)即為所求.

圖5

【評析】2014年中考試題在2012年的基礎(chǔ)上加大了考查的力度，分值由3分增加到5分，由填空題變成解答題，在構(gòu)題過程中通過設(shè)置多個有關(guān)聯(lián)的小題，體現(xiàn)一個數(shù)學(xué)問題由簡單到復(fù)雜的探究過程，也能對學(xué)生尋找正確的答題方法起到鋪墊和引導(dǎo)的作用.此題以菱形為基本圖形，充分運用了菱形的基本性質(zhì)，對角線互相平分且為中心對稱圖形.圖4（1）中已給定一邊的中點P，只要連接對角線找到對角線的交點，連線即可.圖4（2）只要在圖4（1）的基礎(chǔ)上進(jìn)一步運用對稱性連線AP，MC即可.例1、例2考查的重點分別是軸對稱、中心對稱，分別利用正多邊形、等腰三角形、菱形等基本圖形的性質(zhì)，全等知識進(jìn)行畫圖.畫圖的基本方法就是找點、連線.

2.以半圓或圓為輔助模型畫圖

例3（2013年江西卷第16題）如圖6，AB是半圓的直徑.在圖6（1）中，點C在半圓外；在圖6（2）中，點C在半圓內(nèi)，試僅用無刻度的直尺按要求畫圖.

（1）在圖6（1）中，畫出△ABC的三條高的交點；

（2）在圖6（2）中，畫出△ABC中AB邊上的高.

圖6

答案：（1）在圖7（1）中，點P即為所求.

（2）在圖7（2）中，CD即為所求.

圖7

變式：已知點A，B，C在⊙O上，∠C＝30°，試使用無刻度的直尺畫圖．

（1）在圖8（1）中畫一個含30°角的直角三角形；

（2）點D在弦AB上，在圖8（2）中畫一個含30°角的直角三角形．

圖8

例4（2015年江西卷第17題）⊙O為△ABC的外接圓，試僅用無刻度的直尺，根據(jù)下列條件分別在圖9（1），圖9（2）中畫出一條弦，使這條弦將△ABC分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡，不寫作法）．

（1）如圖9（1），AC=BC；

（2）如圖9（2），直線l與⊙O相切于點P，且l∥BC.

圖9

答案：（1）如圖10（1）所示.

（2）如圖10（2）所示.

圖10

【評析】例3、例4分別以半圓、圓為背景，再輔助三角形，考查了圓的基本概念和性質(zhì)，例3考查了銳角三角形、鈍角三角形邊上的高的作法，及三角形三條高交于一點，第三條一定過另兩條高的交點的性質(zhì)，以直徑作為三角形的一條邊，用直徑所對的圓周角為直角，構(gòu)造垂直，巧妙地代替了圓規(guī)的功能，只需連線即可.例4中要平分圓內(nèi)接三角形的面積，就要過一個頂點作對邊的中線，也就是要找到一邊的中點，三角形的邊同時是圓的弦，也就是找弦的中點，于是聯(lián)想到圓的垂徑定理，經(jīng)歷連線、找點、再連線，完成答題.第（2）小題中添加一條與弦平行的圓的切線做好鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生連接圓心和切點，延長交弦于一點，即可找到弦的中點，真正考查了幾何直觀及學(xué)生對與圓有關(guān)的性質(zhì)的理解和應(yīng)用.因此，以半圓或圓為背景構(gòu)思畫圖題時，可充分調(diào)用圓的相關(guān)知識.例如，圓心角與圓周角的關(guān)系，切線性質(zhì)，垂徑定理等進(jìn)行輔助設(shè)計，構(gòu)思簡潔自然，看似簡單的找點連線，實則考查學(xué)生邏輯思維和應(yīng)用能力.

3.以網(wǎng)格為輔助模型畫圖

例5（2014年江西卷第17題）已知梯形ABCD，試使用無刻度的直尺畫圖．

（1）在圖11（1）中畫一個與梯形ABCD面積相等，且以CD為邊的三角形；

圖11

（2）在圖11（2）中畫一個與梯形ABCD面積相等，且以AB為邊的平行四邊形．

答案：（1）如圖12（1）所示，△CDE即為所求（答案不唯一）．

圖12

（2）如圖12（2）所示，?ABFE即為所求（答案不唯一）．

例6（2016年江西卷第17題）如圖13，六個完全相同的小長方形拼成了一個大長方形，AB是其中一個小長方形的對角線，在大長方形中完成下列畫圖，要求：①僅用無刻度的直尺；②保留必要的畫圖痕跡.

（1）在圖13（1）中畫出一個45°角，使點A或點B是這個角的頂點，且AB為這個角的一邊；

圖13

（2）在圖13（2）中畫出線段AB的垂直平分線.

答案：（1）如圖14所示（畫法有兩種，正確畫出其中一種即可）.

圖14

（2）如圖15所示（畫法不唯一）.

圖15

【評析】例5和例6都是以網(wǎng)格為背景的畫圖題，例5是傳統(tǒng)的小正方形網(wǎng)格，有坐標(biāo)系的功能，能起到度量的作用，往往能降低試題的難度，考查的重點是等積轉(zhuǎn)化的思想，梯形轉(zhuǎn)化為等積的三角形和平行四邊形，如果沒有網(wǎng)格做背景，就需要構(gòu)造全等三角形來轉(zhuǎn)化，大多數(shù)學(xué)生會很難找到切入點，添加網(wǎng)格以后，不同層次的學(xué)生可以選用不同的方法，優(yōu)等生可依據(jù)幾何直觀就能順利找到頂點，中等生可以通過等高等積計算，求出三角形或平行四邊形的邊長，找到頂點的位置，連線即可.例6考查角度有創(chuàng)新，以橫縱交替放置的邊長之比為2∶1的長方形為背景，畫出以AB為一邊的45°角，和線段AB的垂直平分線.這道題構(gòu)思巧妙，仔細(xì)觀察，長方形背景中若能把相應(yīng)的邊延長與邊線相交，則會很快發(fā)現(xiàn)這其實就是正方形網(wǎng)格，那么在這個正方形網(wǎng)格中要畫出45°角，則需要構(gòu)造一個以AB為直角邊的等腰直角三角形，這在正方形網(wǎng)格中不難做到；要畫線段AB的垂直平分線，需要找到兩點，一個是AB的中點，這個只要連接長方形另一條對角線即可，關(guān)鍵是找到另一個點，滿足連線與AB垂直，這個難度比較大，需要在第（1）小題的基礎(chǔ)上，繼續(xù)連線畫出一個以AB為一邊的正方形，再連接正方形的對角線找到正方形的中心，再連線即可.由此，此題的構(gòu)思環(huán)環(huán)相扣、步步為營、非常巧妙，不得不贊嘆此題是道好題，美中不足的是對學(xué)生要求能力過高，學(xué)生必須具備聯(lián)想到正方形網(wǎng)格模型的意識，轉(zhuǎn)化為正方形網(wǎng)格背景答題，還要具備構(gòu)造基本圖形的能力，另外標(biāo)準(zhǔn)答案中第（1）小題沒有保留作圖痕跡，似乎考慮不夠嚴(yán)謹(jǐn)，也會有不好的導(dǎo)向，如有學(xué)生直接用量角器和三角板畫出滿足條件的線段，是否也要給滿分呢？這樣就會使得該題失去應(yīng)有的效度.

由上可知，以網(wǎng)格為背景的創(chuàng)新畫圖似乎打開了一個新的視野，那么還有沒有其他的創(chuàng)新途徑呢？當(dāng)然有，同樣還可以考慮基本圖形，我們可以設(shè)置菱形的網(wǎng)格為背景.

變式：如圖16，6個形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點.已知菱形的一個銳角為60°，已知點A，B都在格點上，試在圖中僅用無刻度直尺畫出一個以AB為邊的直角三角形.

圖16

同樣的道理，還可以用正三角形網(wǎng)格為背景構(gòu)思創(chuàng)新畫圖題，讀者不妨嘗試一番.

綜上所述，江西省中考創(chuàng)新畫圖題經(jīng)過不斷的探索和實踐，已經(jīng)找到了三個不同的發(fā)展方向，無論哪個方向，都還有很大的空間，有待我們進(jìn)一步的探索.

除了以上三種形式的畫圖，還有沒有其他可能呢？根據(jù)尺規(guī)作圖的規(guī)則，古希臘的學(xué)者們崇尚的作圖方法是靜止的，無論作圖的過程中還是證明的過程中，都不考慮圖形的運動，可能他們認(rèn)為，圖形的運動將導(dǎo)致邏輯上的不嚴(yán)謹(jǐn)，而《標(biāo)準(zhǔn)》中現(xiàn)在已經(jīng)把圖形的運動變換作為工具使用，是一種創(chuàng)新與發(fā)展.歐氏幾何在證明兩個三角形全等時用到了重合的概念，沒有運動怎么能得到圖形的重合呢？而分析圖形的運動對于培養(yǎng)幾何直觀是非常重要的，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一的變換，就是對圖形運動的抽象，因此創(chuàng)新作圖中還可以結(jié)合圖形的變換、旋轉(zhuǎn)、中心對稱、軸對稱等進(jìn)行探索，在畫圖題中融入圖形運動的因素，這些都有待我們進(jìn)一步的實踐探索.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］彭翕成，張景中.仁者無敵面積法［M］.上海：上海教育出版社，2011.

［3］史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第2輯）：圖形與圖形關(guān)系的抽象［M］.長春：東北師范大學(xué)出版社，2009.

2016—08—01

陳莉紅（1973—），女，中學(xué)高級教師，主要從事在職教師教學(xué)中的問題、教師培訓(xùn)及中考命題研究.