朱玉祥（江蘇省南京市第2929中教育集團(tuán)致遠(yuǎn)校區(qū)）

從特殊到一般破表象明實(shí)質(zhì)
——一道中考壓軸題的解題教學(xué)分析

朱玉祥（江蘇省南京市第2929中教育集團(tuán)致遠(yuǎn)校區(qū)）

探究類問題的結(jié)構(gòu)通常是先給出幾個(gè)小問題，在對小問題探究的過程中，積累獲得知識(shí)與方法的經(jīng)驗(yàn)，接著就轉(zhuǎn)入問題解決.要解決的問題與小問題相關(guān)而又有一定的變化.能不能順利解決問題，一要取決于對小問題探究的經(jīng)驗(yàn)，二要取決于對小問題探究經(jīng)驗(yàn)的遷移能力與認(rèn)知高度.因此，解題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生先積累特殊性經(jīng)驗(yàn)，再提升一般化認(rèn)識(shí).

問題探究；經(jīng)驗(yàn)積累；從特殊到一般；數(shù)學(xué)聯(lián)系；數(shù)學(xué)本質(zhì)

筆者最近給學(xué)生講了一道問題探究類的題目.這類題目的結(jié)構(gòu)是：先給出小問題讓學(xué)生探究；然后題鋒一轉(zhuǎn)，就進(jìn)入問題解決.一般來說，探究的小問題往往和要解決的問題相關(guān)，或是方法相關(guān)，或是解決問題和小問題探究中獲得的結(jié)論相關(guān).

然而，經(jīng)驗(yàn)未必就能解決所有問題.講這道題時(shí)，以往經(jīng)驗(yàn)讓學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤.下面筆者談?wù)勗谶@道題的解題教學(xué)過程中是如何引導(dǎo)學(xué)生完成問題解決的.

一、思維阻滯

1.原題呈現(xiàn)

題目（2013年陜西卷第25題）問題探究：

（1）試在圖1（1）中作出兩條直線，使它們將圓面四等分.

（2）如圖1（2），M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，試在圖1（2）中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點(diǎn)M），使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說明理由.

問題解決：

（3）如圖1（3），在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+ CD＝BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn).如果AB＝a，CD＝b，且b＞a，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長；若不存在，說明理由.

圖1

2.嘗試解答

學(xué)生拿到題目比較興奮，認(rèn)為第（1）小題和第（2）小題太容易了，幾乎沒做太多的思考，就開始畫圖.進(jìn)入第（3）小題，課堂安靜下來了.筆者看到，有學(xué)生借第（1）小題和第（2）小題的經(jīng)驗(yàn)，嘗試過點(diǎn)P畫AD的垂線（如圖2）.筆者就問：這條直線能平分四邊形ABCD的面積嗎？能說出道理嗎？學(xué)生想了想，發(fā)現(xiàn)所分的兩部分面積并不相等.解決問題的思維受阻.

圖2

3.思維受阻分析

“問題探究”的兩道小題應(yīng)該是問題解決的起點(diǎn)，但這兩道小題選取的圖形都非常特殊，一個(gè)是圓，一個(gè)是正方形，都是中心對稱性圖形，而第（3）小題是梯

形，有本質(zhì)的改變.第（1）小題與第（2）小題問題接近，沒有形成一定的探究梯度，而第（3）小題又高高在上，缺少鋪墊，因而思維受阻.思維受阻的關(guān)鍵，是學(xué)生不能突破第（1）小題與第（2）小題的表象，不能從特殊到一般地做關(guān)聯(lián)性探究.所以，講題要設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)，給學(xué)生以引導(dǎo).

二、問題再探

1.尋找關(guān)聯(lián)

（1）從圖形看關(guān)聯(lián).第（1）小題與第（2）小題所給的圖形都是中心對稱圖形，那么，第（3）小題的圖形會(huì)不會(huì)也能變換轉(zhuǎn)化成中心對稱圖形？研究圖1（3），因?yàn)辄c(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，不妨嘗試旋轉(zhuǎn)變換，把四邊形ABCD繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后，再判斷旋轉(zhuǎn)前后的圖是不是中心對稱圖形.

（2）從題目要求看關(guān)聯(lián).第（1）小題與第（2）小題是用兩條直線把所給圖形的面積四等分（兩條直線都過圖形的對稱中心），如果沿著其中一條直線剪開來，取其一半，題目就改變成用一條直線把一半圖形面積兩等分.如圖3是第（1）小題取其一半后的圖，圖4是第（2）小題取其一半后的圖.這樣，第（3）小題和第（1）小題、第（2）小題的解題要求就比較接近了.

圖3

圖4

2.突破表象

過對稱中心且互相垂直的兩條直線是四等分圖形面積的本質(zhì)嗎？先來看圓，用兩條直線把圓的面積四等分，直線必須過圓心且分成的圖形必是全等的扇形.那么畫圖就要從四等分圓周開始.而弧相等，它們所對的圓心角等，就得到四個(gè)90°的圓心角，于是就有了兩條互相垂直的直徑.所以，用兩條直線四等分圓的本質(zhì)應(yīng)是四等分圓周.

圖5

3.特例分析

（1）之所以說垂直不是本質(zhì)，是因?yàn)檫^對稱中心的兩條互相垂直的直線并不一定能把該圖形的周長四等分，也就未必總能把所給圖形的面積四等分.不妨來看菱形.

如圖6，在菱形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O到菱形ABCD的四邊距離相等.過點(diǎn)O任作直線EF⊥HG，分別交AB，BC，CD，AD于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，H，顯然，要想S四邊形EBGO＝S△OBC，必須S△OEB＝S△OGC，所以必須BE＝CG才行.可是，EF⊥HG并不能保證有BE＝CG.所以，過對稱中心的兩條互相垂直的直線只能把圓和正方形的面積四等分（也能把偶數(shù)邊的正多邊形面積四等分），不能把菱形的面積四等分.

圖6

（2）如果中心對稱圖形的對稱中心到各邊的距離不相等，那么面積四等分線如何等分其周長呢？以矩形為例.

可以看到，中心對稱圖形的對稱中心若到各邊的距離不等，四等分該圖面積的兩條直線分其周長應(yīng)與對稱中心到各邊的距離的比值相關(guān).

三、問題解決

1.延伸思考

要解決第（3）小題，先從第（1）小題到第（2）小題的延伸方向來思考.邊的延伸：圓→正方形→菱形；角的延伸：圓→正方形→矩形；更一般化的延伸：圓→正方形→平行四邊形.再從第（3）小題的條件知識(shí)與結(jié)論知識(shí)之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系來思考.條件知識(shí)是一個(gè)兩底和等于一腰的梯形通過旋轉(zhuǎn)能得到菱形，結(jié)論知識(shí)是過另一腰中點(diǎn)的直線兩等分梯形面積可從四等分菱形面積獲得，它們的數(shù)學(xué)聯(lián)系就是過菱形中心存在面積的四等分線.

2.問題解決

解：（1），（2）略.

（3）因?yàn)锳B∥CD，AB+CD＝BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，

所以將四邊形ABCD繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得菱形C′BCB′，如圖8所示.

圖8

當(dāng)點(diǎn)Q在BC上，并且CQ＝AB＝a（或BQ＝CD＝b）時(shí)，存在直線AD和PQ將菱形C′BCB′的面積四等分，即S四邊形ABQP=S四邊形PQCD.

所以，在BC上存在點(diǎn)Q，且當(dāng)BQ＝b時(shí)，PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.

求BQ長的過程略.

四、感悟

問題探究類的題目總是先給一些小問題（或特殊問題）探究.這個(gè)時(shí)候，探究不能止于所給問題，還需要看探究的問題與要解決的問題之間還有多大的間隔，有多少阻礙.探究需要縮小間隔，排除阻礙.例如，探究的問題比較特殊，而要解決的問題又趨于一般化，之間相隔著一般化的認(rèn)識(shí)與探究，就需要把探究的問題延展引申，做一般化的研究，拉近與要解決的問題之間的距離.

問題解決的經(jīng)驗(yàn)，是關(guān)注起始問題提供的起點(diǎn)，一是知識(shí)起點(diǎn)，二是方法起點(diǎn)，但經(jīng)驗(yàn)也要再積累.有的題目從小問題提供的知識(shí)起點(diǎn)或方法起點(diǎn)就能直接用于問題解決，有的題目卻難以奏效.這時(shí)候就必須把起點(diǎn)從特殊向一般轉(zhuǎn)化.當(dāng)需要解決的問題與所給的起點(diǎn)問題變化比較大的時(shí)候，就要提升起點(diǎn)的高度，做更深入的探究，不能停留在原有經(jīng)驗(yàn)之中.而變化的發(fā)現(xiàn)，正是要從解題中感悟和積累.

［1］章建躍．在“落實(shí)立德樹人根本任務(wù)全面深化課程教學(xué)改革”中再立新功［J］．中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（1/2）：2－4．

［2］董林偉．從形式走向本質(zhì)：關(guān)于初中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)教學(xué)的思考［J］．中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（11）：2－5．

2016—07—07

朱玉祥（1955—），男，中學(xué)高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究．