張文匯,李雪妍

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州 730070)

?

關(guān)于GC-平坦維數(shù)

張文匯,李雪妍

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州 730070)

在任意結(jié)合環(huán)上引入了模的覆蓋GC-平坦維數(shù),對GC-平坦模類的投射可解性給出刻畫.證明了模的GC-平坦維數(shù)不超過其覆蓋GC-平坦維數(shù),并且在GFC閉環(huán)上二者相等.

GC-平坦維數(shù);GFC閉環(huán);覆蓋GC-平坦維數(shù)

0 引言

Gorenstein 同調(diào)代數(shù)是 Auslader 和 Bridger 等創(chuàng)立并發(fā)展起來的,半對偶模的概念首先是由 Foxby 等于1972 年在交換的 Noether 環(huán)上引入的[1-3].2007 年,Holm 等在任意結(jié)合環(huán)上引入了半對偶模的定義[4].目前,相對于半對偶模的 Gorenstein 同調(diào)理論的研究已取得了許多重要的研究成果[5-6].

2004 年,Holm 證明了在右凝聚環(huán)上 Gorenstein 平坦模類是投射可解類[7].2015 年,Bouchiba 引入了覆蓋 Gorenstein 平坦維數(shù)的定義[8],它是 Gorenstein 平坦維數(shù)的推廣.借助這種維數(shù),文獻(xiàn)[8]在任意結(jié)合環(huán)上給出了 Gorenstein 平坦模類是投射可解類的一個(gè)等價(jià)刻畫.2006 年,Hom等引入了GC-平坦模的定義[9].稱R-模M是GC-平坦模,如果存在IC(R)?R-正合的正合列

使得M?coker(F1→F0),其中所有的Fi和Fi都是平坦模.2010年,Yang等證明了在Noether環(huán)上GC-平坦模類是投射可解類[10].受以上文獻(xiàn)啟發(fā),我們引入模的覆蓋GC-平坦維數(shù),對 GC-平坦模類的投射可解性給出刻畫.

文中所提到的環(huán)均指有單位元的交換環(huán),除特殊說明,模均指酉模,C總表示半對偶模.N*表示正整數(shù)集,I(R)(F(R),GI(R),GF(R))表示內(nèi)射R-模類(平坦R-模類,Gorenstein內(nèi)射R-模類,Gorenstein平坦R-模類),FC-fd(M)表示模M的C-平坦維數(shù),M+表示M的示性模HomZ(M,Q/Z).設(shè)X是一個(gè)R-模類.稱序列F=…→F1→F0→F-1→F-2→…是X?R-(HomR(X,-))正合的,如果對任意E∈X,復(fù)形E?RF(HomR(E,F))正合.稱X是投射可解類,如果X包含所有的投射R-模,并且在任意正合列0→M1→M2→M3→0中,若M3∈X,則M1∈X當(dāng)且僅當(dāng)M2∈X.稱X關(guān)于擴(kuò)張封閉,如果在任意正合列0→M1→M2→M3→0中,M1,M3∈X蘊(yùn)含M2∈X.未說明的概念及記號(hào)可參照文獻(xiàn)[11-12].

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]稱R-模C是半對偶模,若滿足以下條件:

(1)C有有限生成的投射分解;

(2)R?HomR(C,C);

C-內(nèi)射模類和C-平坦模類定義為

定義2[9]稱R-模M是GC-內(nèi)射模,如果存在HomR(IC(R),-)正合的正合列

使得M?ker(I0→I1)，其中所有的Ii和Ii都是內(nèi)射模.

稱R-模M是GC-平坦模,如果存在IC(R)?R-正合的正合列

使得M?coker(F1→F0),其中所有的Fi和Fi都是平坦模.

把GC-內(nèi)射模類和GC-平坦模類分別記作GIC(R)和GFC(R).當(dāng)C=R時(shí),GIC(R)=GI(R),GFC(R)=GF(R).

模的GC-內(nèi)射維數(shù)和GC-平坦維數(shù)的定義為

若上述n不存在,則規(guī)定Gc-id(M)=+∞;

若上述n不存在,則規(guī)定GC-fd(M)=+∞.

引理1[13]設(shè)M是R模.則以下等價(jià):

(1)M是GC-平坦模;

(3)存在R-模的正合列0→M→F→G→0,其中F是C-平坦模,G是GC-平坦模.

2 覆蓋GC-平坦維數(shù)

注:(1)當(dāng)C=R時(shí),余純C-內(nèi)射(強(qiáng)余純C-內(nèi)射)模即為余純內(nèi)射(強(qiáng)余純內(nèi)射)模[14],余純C-平坦(強(qiáng)余純C-平坦)模即為余純平坦(強(qiáng)余純平坦)模.

定義4 設(shè)M是R-模.如下定義模M的余純C-內(nèi)射維數(shù)和余純C-平坦維數(shù):

關(guān)于余純 C-平坦維數(shù),我們有如下結(jié)論:

命題1 (1)設(shè)M是R-模,n是非負(fù)整數(shù).則以下等價(jià):

( i )在R-模的正合列0→K→En-1→…→E1→E0→M→0中,若Ei(0≤i≤n-1)是強(qiáng)余純C-平坦模,則K是強(qiáng)余純C-平坦模;

( ii )cc-fd(M)≤n;

(iii)在R-模的正合列0→K→Fn-1→…→F1→F0→M→0中,若Fi(0≤i≤n-1)是C-平坦模,則K是強(qiáng)余純C-平坦模;

(2)設(shè)0→N→E→M→0是R-模的正合列.則以下成立:

( i )若E是強(qiáng)余純C-平坦模,且cc-fd(M)≥1,則cc-fd(M)=1+cc-fd(N).

( ii )cc-fd(M)≤1+max{cc-fd(N),cc-fd(E)}.

(iii)cc-fd(E)≤max{cc-fd(M),cc-fd(N)}.

證明 (1)(i)?(ii).設(shè)0→K→En-1→…→E1→E0→M→0是R-模的正合列,其中Ei(0≤i≤n-1)是強(qiáng)余純C-平坦模.令K0?ker(E0→M),對任意C-內(nèi)射模I,以函子I?R-作用正合列0→K0→E0→M→0,可得長正合列:

(ii)?(iii).設(shè)0→K→Fn-1→…→F1→F0→M→0是R-模的正合列,其中Fi(0≤i≤n-1)是C-平坦模.令K0?ker(F0→M),對任意C-內(nèi)射模I,以函子I?R-作用正合列0→K0→F0→M→0,可得長正合列:

(2)由同調(diào)代數(shù)方法驗(yàn)證可知. 】

下面引入模的覆蓋GC-平坦維數(shù).

定義5 設(shè)M是R-模,n是非負(fù)整數(shù).如果存在R-模的正合列0→M→E→G→0,其中FC-fd(E)=n,G是GC-平坦模,則定義模M覆蓋GC-平坦維數(shù)為n,記為CGC-fd(M)=n.

如果滿足上述條件的正合列不存在,則規(guī)定CGC-fd(M)=+∞.

由引理1易見,CGC-fd(M)=0當(dāng)且僅當(dāng)M是GC-平坦模.GC-平坦維數(shù)與覆蓋GC-平坦維數(shù)具有如下關(guān)系:

命題2 設(shè)R是環(huán),M是R-模.則

由文獻(xiàn)[10]定理3.1知GC-id(M+)≤GC-fd(M).

設(shè)CGC-fd(M)=n<+∞,則存在正合列0→M→E→G→0,其中FC-fd(E)=n,G是GC-平坦模.由文獻(xiàn)[4]的命題5.3知C-投射模類是預(yù)覆蓋類,故考慮如下行正合交換圖:

GC-fd(M)≤n=CGC-fd(M).

文獻(xiàn)[9]中,作者在Noether環(huán)上對GC-平坦維數(shù)給出等價(jià)刻畫,在任意結(jié)合環(huán)上得到如下結(jié)論:

定理1 設(shè)R是環(huán),M是R-模,n是非負(fù)整數(shù).

若CGC-fd(M)=n,則存在R-模的正合列0→K→H→M→0,其中FC-fd(K)=n-1,H是GC-平坦模(若n=0,則K=0).

反之,若存在R-模的正合列0→K→H→M→0,其中FC-fd(K)=n-1,H是GC-平坦模(若n=0,則K=0),則CGC-fd(M)≤n.

證明 設(shè)CGC-fd(M)=n.當(dāng)n=0時(shí),M是GC-平坦模,結(jié)論成立.

現(xiàn)設(shè)n≥1.由定義知存在正合列0→M→E→G→0,其中FC-fd(E)=n,G是GC-平坦模.由FC-fd(E)=n知存在正合列0→K→E→F→0,其中FC-fd(K)=n-1,F是C-平坦模.考慮拉回圖

對中間行應(yīng)用引理1知H是GC-平坦模.正合列0→K→H→M→0即為所求.

反之,考慮推出圖

其中F是C-平坦模,G是GC-平坦模.由FC-fd(K)=n-1知FC-fd(E)≤n.由最右列知CGC-fd(M)≤n. 】

命題3 在R-模的正合列0→N→E→M→0中,若M和N是GC-平坦模,則CGC-fd(E)≤1.

證明 由M是GC-平坦模知,存在正合列0→G→F→M→0,其中F是C-平坦模,G是GC-平坦模.考慮拉回圖

及推出圖

其中D是C-平坦模,H是GC-平坦模.由文獻(xiàn)[4]中命題5.2知，C-平坦模關(guān)于擴(kuò)張封閉,故Q是C-平坦模.再對中間列應(yīng)用引理1知L是GC-平坦模.考慮正合列0→G→L→E→0,因?yàn)镚和L是GC-平坦模,所以CGC-fd(E)≤1. 】

定義6 設(shè)R是環(huán),稱R是GFC閉環(huán),如果GFC(R)關(guān)于擴(kuò)張封閉.

由文獻(xiàn)[13]知若R是凝聚環(huán),則GFC(R)關(guān)于擴(kuò)張封閉,故凝聚環(huán)是GFC閉環(huán).

由文獻(xiàn)[15]知,R是GF-閉環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)GF(R)投射可解類.在GFC閉環(huán)上,我們有如下結(jié)論：

命題4 設(shè)R是環(huán),則R是GFC閉環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)GFC(R)是投射可解類.

證明 充分性 顯然.

必要性 設(shè)0→K→N→M→0是R-模的正合列,其中M和N是GC-平坦模.下證K是GC-平坦模.

由N是GC-平坦模知存在正合列0→N→F→H→0,其中F是C-平坦模,H是GC-平坦模.考慮推出圖

由R是GFC閉環(huán)知，G是GC-平坦模.又F是C-平坦模,對中間行應(yīng)用引理1知K是GC-平坦模. 】

在命題2中,我們證明了對任意R-模M,GC-fd(M)≤CGC-fd(M).在GFC閉環(huán)上,有如下結(jié)論：

定理2 設(shè)R是GFC閉環(huán),M是R-模.則GC-fd(M)=CGC-fd(M).

證明 由命題2知GC-fd(M)≤CGC-fd(M).下證CGC-fd(M)≤GC-fd(M).

設(shè)GC-fd(M)=n<+∞,對n進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納.若n=0,則M是GC-平坦模,結(jié)論成立.若n=1則存在正合列0→G1→G0→M→0,其中G1和G0是GC-平坦模.故存在正合列0→G1→G0→M→0,其中F是C-平坦模,H是GC-平坦模.考慮推出圖

由R是GFC閉環(huán)知N是GC-平坦模.又FC-fd(F)=0,對中間行應(yīng)用定理1知CGC-fd(M)≤1=GC-fd(M).

現(xiàn)設(shè)n>1,由GC-fd(M)=n可知存在正合列0→Gn→…→G1→G0→M→0,其中Gi(0≤i≤n)是GC-平坦模.考慮正合列0→N→G0→M→0,其中GC-fd(N)=n-1,G0是GC-平坦模.由歸納假設(shè)得,CGC-fd(N)≤GC-fd(N)=n-1,于是存在正合列0→N→D→G→0,其中FC-fd(D)=n-1,G是GC-平坦模.考慮推出圖

由R是GFC閉環(huán)知E是GC-平坦模.又FC-fd(D)=n-1,對中間行應(yīng)用定理1知，CGC-fd(M)≤n=GC-fd(M). 】

[1]FOXBYHB.Gorensteinandrelatedmodules[J].Math Scand,1972,31:267.

[2] VASCONCELOS W V.DivisorTheoryinModuleCategories[M].Amsterdam:North-Holland Publishing Co.,1974.

[3] GOLOD E S.G-dimension and generalized perfect ideals[J].AlgebraGeometryAppl,CollectionofArticles,TurdyMatSteklov,1984,165:62.

[4] HOLM H,WHITE D.Foxby equivalence over associative ring[J].MathKyotoUniv,2007,47(4):781.

[5] WHITE D.Gorenstein projective dimension with respect to a semidualizing module[J].CommAlgebra,2010,2(1):111.

[6] LIU Z F, HUANG Z Y,XU A M.Gorenstein projective dimension with respect to a semidualizing module[J].CommAlgebra,2013,41(1):1.

[7] HOLM H.Gorenstien homological dimensions[J].JPureAlgebra,2004,189(1-3):167.

[8] BOUCHIBA S.On Gorenstien flat dimension[J].JAlgebraAppl,2015,14(6):1550096.

[9] HOLM H,JO/RGENSEN P.Semi-dualing modules and related Gorenstein homological dimension[J].JPureAppAlgebra,2006,205(2):423.

[10] YANG X Y,LIU Z K.C-Gorenstein projective,injective and flat module[J].CzechoslorakMathJ,2010,60(135):1109.

[11] ENOCHS E,JENDA O.RelativeHomologicalAlgebra[M].New York:de Cruyter,2000.

[12] ROTMAN J J.AnIntroductiontoHomologicalAlgebra[M].New York :Academic Press,1979.

[13] 張亞峰.關(guān)于C-Gorenstein范疇的穩(wěn)定性及同調(diào)維數(shù)的討論[D].蘭州：西北師范大學(xué),2015.

[14] ENOCHS E,JENDA O.Copure injective resolutions,flat resolvents and dimensions[J].CommentMathUnivCarolinae,1993,34(2):203.

[15] BENNIS D.Rings over which the class of Gorenstein flat modules is closed under extension[J].CommAlgebra,2009,37(3):855.

(責(zé)任編輯 陸泉芳)

On GC-flat dimension

ZHANG Wen-hui,LI Xue-yan

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China )

The coverGC-flat dimension ofR-modules over an associative ring is introduced.It is characterized that the class ofGC-flat modules is projectively resolving.We show that theGC-flat dimension ofR-modules is less than or equal to its coverGC-flat dimension,and they are equivalent over a GFCclosed ring.

GC-flat dimension;GFCclosed ring;coverGC-flat dimension

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.06.001

2016-05-10;修改稿收到日期:2016-07-23

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201376)

張文匯(1977—)，女，甘肅天水人，副教授，博士，碩士研究生導(dǎo)師.主要研究方向?yàn)榄h(huán)的同調(diào)理論.

E-mail:zhangwh@nwnu.edu.cn

O 154.2

A

1001-988Ⅹ(2016)06-0001-05