梁橋康，吳貴元，鄒坤霖，王耀南，孫 煒,2，趙全育

(1.湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長沙 410082;2.湖南大學(xué) 汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410082;3.湖南飛沃新能源科技股份有限公司，湖南 常德 415700)

?

3RPS/UPS結(jié)構(gòu)并聯(lián)機器人設(shè)計與分析

梁橋康1,2*，吳貴元1，鄒坤霖1，王耀南1，孫 煒1,2，趙全育3

(1.湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長沙 410082;2.湖南大學(xué) 汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410082;3.湖南飛沃新能源科技股份有限公司，湖南 常德 415700)

為了滿足踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練對自由度、工作空間和剛度等性能的要求，本文設(shè)計了一種新型的三自由度高剛性3RPS/UPS結(jié)構(gòu)并聯(lián)機器人.此結(jié)構(gòu)在傳統(tǒng)的3RPS結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上加入了一條UPS結(jié)構(gòu)的冗余驅(qū)動支鏈，在保證滿足自由度要求的同時，又增強了結(jié)構(gòu)的剛度性能，減少了操作平臺的晃動和形變，提高了操作精度.通過對此結(jié)構(gòu)進行逆運動學(xué)分析、工作空間分析和剛度分析，驗證了3RPS/UPS結(jié)構(gòu)可以應(yīng)用于踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練這類具有高負載、操作靈敏等特點的操作任務(wù).最后對該3RPS/UPS結(jié)構(gòu)并聯(lián)機器人進行了運動學(xué)控制仿真，仿真結(jié)果表明系統(tǒng)具有較高的動態(tài)軌跡跟蹤控制精度，適用于實際應(yīng)用.

剛度；并聯(lián)機器人；逆運動學(xué)；3RPS；工作空間；運動學(xué)控制

由于并聯(lián)機器人具有運動學(xué)逆解簡單、剛度高、關(guān)節(jié)累計誤差小和運動精度高等優(yōu)點，使其在康復(fù)機器人領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用.目前國內(nèi)外已經(jīng)開展了關(guān)于踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練并聯(lián)機器人的系統(tǒng)性研究，用于幫助踝關(guān)節(jié)扭傷者和患有足下垂、足內(nèi)翻、足外旋的患者進行踝關(guān)節(jié)的康復(fù)訓(xùn)練.踝關(guān)節(jié)的運動可以分解為繞3個垂直軸的轉(zhuǎn)動.Girone等[1]基于Stewart平臺進行了踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人原型機設(shè)計和踝關(guān)節(jié)康復(fù)臨床試驗，此結(jié)構(gòu)并聯(lián)機器人具有6自由度，滿足踝關(guān)節(jié)的運動自由度要求，取得了很好的實驗結(jié)果.但是，由于Stewart平臺具有結(jié)構(gòu)復(fù)雜、控制環(huán)節(jié)過多等缺點，越來越多的學(xué)者開展了少自由度踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人的研究.Blanco-Ortega等[2]提出了一種具有兩個自由度的康復(fù)機構(gòu)，可以模擬踝關(guān)節(jié)的兩個轉(zhuǎn)動.由于踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練機器人需要承載患者一部分身體的重量，而此負載會對動平臺造成螺旋變形，影響動平臺的位姿控制精度，所以要求用于踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練的并聯(lián)機器人應(yīng)當(dāng)具備高剛度特性.國內(nèi)外很多學(xué)者都提出了增加中間支鏈的并聯(lián)機器人，并利用其高剛度特點實現(xiàn)踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練等機器人的設(shè)計.趙鐵石等[3]對基于3RSS/S的并聯(lián)結(jié)構(gòu)進行了工作空間和運動性能分析，并驗證了該結(jié)構(gòu)能夠模擬踝關(guān)節(jié)的3種轉(zhuǎn)動.本文結(jié)合踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練機器人對自由度和高剛度的要求，綜合考慮基于3RPS少自由度并聯(lián)機器人構(gòu)件少、工作空間大、控制簡單的優(yōu)點，通過增加冗余驅(qū)動支鏈進一步提高其剛度性能和減小其運動耦合性.本文設(shè)計了一種3RPS/UPS結(jié)構(gòu)4驅(qū)動3自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)構(gòu)型，用于踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練，此結(jié)構(gòu)具有剛度高的優(yōu)點，可以實現(xiàn)模擬踝關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動活動.

首先對3RPS/UPS結(jié)構(gòu)進行逆運動學(xué)分析，為系統(tǒng)的性能分析和運動學(xué)控制做好準(zhǔn)備.其次，對3RPS/UPS結(jié)構(gòu)的工作空間進行了仿真，驗證了該結(jié)構(gòu)可以用于踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練，為剛度仿真和運動學(xué)控制提供了參考依據(jù).分別基于螺旋理論和影響系數(shù)法求解3RPS結(jié)構(gòu)和UPS結(jié)構(gòu)的全雅克比矩陣，進而建立了剛度性能模型，并通過實例驗證3RPS/UPS結(jié)構(gòu)的高剛度特性，為并聯(lián)結(jié)構(gòu)投入實際應(yīng)用提供重要的參考依據(jù).最后進行PID運動學(xué)控制仿真，仿真結(jié)果進一步驗證了該結(jié)構(gòu)可以滿足實際應(yīng)用與操作的需求.

1 并聯(lián)結(jié)構(gòu)構(gòu)型

設(shè)計的并聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖1所示，該結(jié)構(gòu)由動平臺、靜平臺、連接動靜平臺端點的3RPS支鏈和連接動靜平臺中心點的UPS支鏈構(gòu)成，其中，3RPS/UPS4條支鏈中都是以P鉸鏈作為驅(qū)動鉸鏈，其余鉸鏈為被動鉸鏈.

圖1 3RPS/UPS并聯(lián)結(jié)構(gòu)

3RPS結(jié)構(gòu)中3條能自由伸縮的RPS支鏈結(jié)構(gòu)使動平臺具有3個自由度[4]，其分別為Z方向的平動和X,Y軸方向的轉(zhuǎn)動；中間冗余驅(qū)動支鏈UPS具有6個自由度，并不對平臺的自由度造成影響；所以結(jié)構(gòu)3RPS/UPS動平臺的自由度由3RPS結(jié)構(gòu)決定，為3自由度平臺.

2 結(jié)構(gòu)逆運動學(xué)分析

結(jié)構(gòu)的逆運動學(xué)位置逆解問題指已知動平臺執(zhí)行器部分的相應(yīng)位置和姿態(tài)矢量，求解關(guān)節(jié)的位置和姿態(tài)矢量.逆運動學(xué)分析是進行工作空間仿真、剛度分析和控制的前提和基礎(chǔ).

2.1 3RPS結(jié)構(gòu)逆運動學(xué)分析

(1)

(2)

式中：sα=sinα,cα=cosα,sβ=sinβ,cβ=cosβ,sγ=sinγ,cγ=cosγ.

靜平臺端點A1，A2，A3的絕對坐標(biāo)為

(3)

動平臺端點在動坐標(biāo)系{P-xByBzB}下的坐標(biāo)為:

(4)

(5)

(6)

式(6)中的3個方程有5個變量(xP,yP,α,β,γ)，因此 ，已知(xP,yP,α,β,γ)中的任意2個變量就可以求出這5個變量；而變量zP獨立于(xP,yP,α,β,γ)變量.于是，為了運算的方便，本文選擇(zP,α,β)作為驅(qū)動分支3RPS結(jié)構(gòu)動平臺的3個自由度，而其余的自由度(xP,yP,γ)可以通過式(7)求出

(7)

逆運動學(xué)問題可以簡單描述為：給定動平臺的3個獨立位姿參數(shù)(zP,α,β)，求驅(qū)動鉸鏈P的驅(qū)動位移，由圖1可知，該問題可以轉(zhuǎn)化為求驅(qū)動桿的長度.設(shè)3個驅(qū)動桿的長度分別為li(i=1,2,3),由圖1所示的幾何關(guān)系可得：

(8)

2.2 UPS冗余驅(qū)動支鏈逆運動學(xué)分析

建立UPS支鏈各關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系如圖2所示[5].

根據(jù)圖2的坐標(biāo)關(guān)系，可得冗余驅(qū)動支鏈UPS的D-H表[5]如表1所示.

表1 冗余驅(qū)動支鏈的D-H參數(shù)表

圖2 冗余驅(qū)動支鏈各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系

根據(jù)相鄰坐標(biāo)系變換式式(9)，可以得到坐標(biāo)系{P-xByBzB}到坐標(biāo)系{O-xAyAzA}的齊次變換公式為式(10):

(9)

(10)

由圖1可知，式(10)與式(2)均表示動坐標(biāo)系{P-xByBzB}到靜坐標(biāo)系{O-xAyAzA}的齊次變換公式，由此可以推出冗余驅(qū)動支鏈變量與動平臺位姿的關(guān)系如下：

(11)

(12)

3 工作空間仿真

表2 3RPS/UPS結(jié)構(gòu)的參數(shù)

圖3 位置空間

圖4 主動自由度空間

4 靜剛度分析

當(dāng)外力作用于動平臺時，平臺會產(chǎn)生螺旋變形.踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練機器人需要承受患者身體一部分的重力作用， 3RPS/UPS結(jié)構(gòu)用于踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練時，當(dāng)動平臺上受到外界重力作用后，3RPS和UPS都會給動平臺提供支撐力，從而減小動平臺的螺旋變形量.本文分別對3RPS和UPS兩部分結(jié)構(gòu)進行了剛度分析，基于雅克比矩陣得出剛度系數(shù)矩陣，并利用Matlab仿真分析不同位姿下的靜剛度分布情況.

4.1 3RPS結(jié)構(gòu)力雅克比矩陣分析

在不考慮UPS冗余驅(qū)動支鏈的驅(qū)動力和約束力以及重力的情況下，動平臺的受力情況如圖5所示.

圖5 動平臺的受力圖

基于逆螺旋理論[9]，第i條RPS支鏈的約束力fci(i=1,2,3)作用于支鏈S鉸，方向與R副轉(zhuǎn)動軸ui的方向一致，第i條RPS支鏈的驅(qū)動力fai(i=1,2,3)作用于支鏈S鉸，方向與支鏈向量方向一致.動平臺的力矩平衡方程可以表示為：

F1=fa1a1+fa2a2+fa3a3+fc1c1+

fc2c2+fc3c3．

F1=fJ1．

(14)

J1為3RPS結(jié)構(gòu)的力雅克比矩陣[11-12]，J1=(a1a2a3c1c2c3)T,f為3RPS驅(qū)動結(jié)構(gòu)對動平臺的作用力，f=(fa1fa2fa3fc1fc2fc3)T.

4.2 UPS冗余驅(qū)動支鏈雅克比矩陣分析

(15)

(16)

(17)

(18)

式中:sn為關(guān)節(jié)軸線的單位向量.根據(jù)圖2所示的UPS支鏈各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，可以求出一階偏導(dǎo)影響系數(shù)矩陣

(19)

(20)

(21)

根據(jù)表1和式(9)可以算出各坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣,最后求出式(21)各項如式(22)

(22)

因此，全雅克比矩陣可以表示為：

(23)

4.3 3RPS/UPS結(jié)構(gòu)剛度分析

通過使用Chintien等[14]提出的守恒協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)換剛度矩陣(CCT)，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣Kc可按式(24)計算

Kc=KG+JTKiJ．

(24)

其中：

(25)

其中：n為變量的個數(shù)，Kj為關(guān)節(jié)剛度矩陣，T=[T1,T1,…,Tn]T代表驅(qū)動力(或驅(qū)動力矩)，xi(i=1,2,…,n)是描述動平臺位姿的參數(shù).

根據(jù)雅克比矩陣J1和J2的定義，可以定義x=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]=[xP,yP,zP,α,β,γ].由于雅可比矩陣變化量對結(jié)構(gòu)整體剛度的影響可以忽略不計，式(24)可以簡化為：

Kc=JTKjJ．

(26)

根據(jù)上述的分析結(jié)論，3RPS/UPS結(jié)構(gòu)總體剛度為

(27)

4.4 3RPS/UPS結(jié)構(gòu)剛度仿真[9，15]

根據(jù)以上分析，可以采用Matlab進行剛度分布分析.設(shè)支鏈的軸向剛度和側(cè)向剛度均為χ=10 N/mm.圖6是3RPS結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)矩陣在不同位姿下的特征值分布，也即表示剛度在不同方向上的映射分量，第一列圖像分別表示剛度在(α,β,γ)方向上的映射分量，第二列圖像分別表示剛度在(xP,yP,zP)方向上的映射分量.其中，剛度在(α,β,γ,yP,zP)方向上的剛度分量均關(guān)于α對稱，而剛度在xP方向上的剛度既關(guān)于α對稱又關(guān)于β對稱；在(α,β,γ)方向上的剛度分量遠遠小于(xP,yP,zP)方向上的剛度分量.由于剛度和活動范圍是一對互為導(dǎo)數(shù)的變量，所以剛度小的方向(α,β,γ)上活動范圍大，而剛度大的方向(xP,yP,zP)上活動范圍小，上文對工作空間的仿真結(jié)果也同樣表征了這一活動自由度特點.

3RPS/UPS結(jié)構(gòu)在3RPS結(jié)構(gòu)和UPS支鏈的共同作用下得到的剛度映射結(jié)果見圖7，剛度在不同方向上的映射分量圖像的排列順序與圖6相同，其剛度對稱性與圖6一致.對比圖6和圖7，可以發(fā)現(xiàn)，在UPS支鏈的作用下，3RPS/UPS結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機器人剛度比3RPS結(jié)構(gòu)的具有更大的剛度性能.

圖6 3RPS結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)矩陣特征值在不同位姿下的結(jié)果，zP=150

5 運動學(xué)控制仿真

由于并聯(lián)機器人的逆運動學(xué)運算簡單，而正運動學(xué)運算比較復(fù)雜，所以本文選用基于關(guān)節(jié)空間的閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)，進行運動學(xué)控制實驗.控制原理是把對笛卡爾空間的位姿控制轉(zhuǎn)換為對關(guān)節(jié)空間的位置控制，即把動平臺位姿(α,β,zP)的期望通過逆運動學(xué)運算轉(zhuǎn)換為對4個驅(qū)動鉸鏈P位移的期望，等價于求取4條驅(qū)動桿長度的期望，于是可以通過對驅(qū)動桿長度進行直接閉環(huán)控制，實現(xiàn)動平臺位姿的間接控制，該控制系統(tǒng)的原理圖見圖8.3RPS結(jié)構(gòu)的3條驅(qū)動桿長度求解見式(8)，由圖1可知，UPS冗余驅(qū)動支鏈驅(qū)動桿的長度為

本文采用Simulink進行仿真實驗，其中，控制器采用PID控制器，利用SimMechanics模塊建立結(jié)構(gòu)模型，逆運動學(xué)運算采用S函數(shù)編寫m文件實現(xiàn).動平臺中心點的運動軌跡見表3，通過逆運動學(xué)運算，得到動平臺位置和驅(qū)動桿位移的期望軌跡如圖9所示.通過PID運動學(xué)控制，控制誤差如圖10所示，從圖中可以看出，3RPS/UPS并聯(lián)結(jié)構(gòu)能夠快速響應(yīng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定運行時，桿長的動態(tài)控制精度較高，最大動態(tài)誤差為2%，通過對驅(qū)動桿長的直接閉環(huán)控制，動平臺的位置可以得到間接控制，其最大動態(tài)誤差為5%.動平臺位置控制誤差大的原因是控制算法忽略了非線性關(guān)系與關(guān)節(jié)協(xié)調(diào)耦合.因此，課題組下階段的研究將集中在3RPS/UPS并聯(lián)機器人的控制策略，以提高系統(tǒng)的控制精度.

圖7 3RPS/UPS結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)矩陣特征值在不同位姿下的結(jié)果，zP=150

圖8 運動學(xué)控制系統(tǒng)的原理圖

仿真系統(tǒng)的輸入?yún)?shù),動平臺中心點P坐標(biāo)(α,β,zP)((°),mm)α=10sin(πt/180)β=10sin(πt/180+π/2)zP=8sin(πt/180)+h

圖9 驅(qū)動桿位移和動平臺位置的期望軌跡

圖10 3RPS/UPS結(jié)構(gòu)的運動學(xué)控制誤差

6 結(jié) 論

1) 通過3RPS/UPS并聯(lián)結(jié)構(gòu)工作空間仿真可以得出(α,β,γ)的轉(zhuǎn)動空間范圍大，(xP,yP,zP)的移動空間范圍較小，轉(zhuǎn)動空間滿足踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練3個轉(zhuǎn)動范圍的要求.

2) 3RPS/UPS并聯(lián)結(jié)構(gòu)的整體靜剛度由3RPS結(jié)構(gòu)的剛度與UPS冗余驅(qū)動支鏈的剛度兩個部分組成，在UPS被動支鏈的作用下，3RPS/UPS結(jié)構(gòu)的剛度比3RPS結(jié)構(gòu)的剛度在各方向上均有較大的提高.

3) 3RPS/UPS并聯(lián)結(jié)構(gòu)的剛度映射分量值在3個方向上較大，在另外3個方向上較小，即結(jié)構(gòu)線位移(xP,yP,zP)剛度遠遠高于角位移(α,β,γ)剛度.活動范圍是剛度的導(dǎo)數(shù)，即(xP,yP,zP)活動范圍小，(α,β,γ)活動范圍大.

4) 本文進行的剛度分析對結(jié)構(gòu)的最佳剛度工作區(qū)域的選擇、精度的提高、結(jié)構(gòu)設(shè)計的改進等有重要意義.

5) 本文通過PID運動控制仿真，驗證了3RPS/UPS并聯(lián)結(jié)構(gòu)可以應(yīng)用于實時控制.但是，該控制算法忽略了非線性關(guān)系與關(guān)節(jié)協(xié)調(diào)耦合，使動平臺位置動態(tài)控制誤差較大.因此，課題組下一步將針對3RPS/UPS并聯(lián)機器人控制策略展開研究，以進一步提高系統(tǒng)的動態(tài)控制精度.

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Design and Analysis of 3RPS/UPS Parallel Mechanism

LIANG Qiao-kang1,2?, WU Gui-yuan1, ZOU Kun-lin1, WANG Yao-nan1,SUN Wei1,2，ZHAO Quan-yu3

(1.College of Electrical and Information Technology，Hunan Univ，Changsha，Hunan 410082，China; 2.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Changsha, Hunan 410082, China; 3. Finework (Hunan) New Energy Technology Inc., Changde,Hunan 415700, China)

To meet the demand of ankle rehabilitation training in degree of freedom (DOF), workspace and stiffness, this paper proposed a three-DOF parallel mechanism with a novel 3RPS/UPS structure. By adding a redundant driving chain with UPS structure under the foundation of the conventional 3RPS mechanism, the proposed structure can meet the demand of DOF and enhance the stiffness simultaneously. Consequently, the shaking and deformation of the operating platform is decreased, and the operation accuracy is improved as well. In this paper, we conducted a systematic analysis on the aspect of inverse kinematics, workspace and stiffness, and then demonstrated the feasibility of the proposed 3RPS/UPS structure to ankle rehabilitation training with the characteristics of heavy-load, microoperation and so on. To verify the applicability in practical operation of the proposed 3RPS/UPS structure, we conducted kinematics control simulation and obtained a high accuracy in dynamic trajectory tracking.

stiffness; parallel mechanism; inverse kinematic; 3RPS; workspace; kinematics control

1674-2974(2016)10-0110-09

2016-01-27

國家自然科學(xué)基金資助項目(61673163)，National Natural Science Foundation of China(61673163);湖南省普通高校青年骨干教師培養(yǎng)對象項目;湖南省自然科學(xué)基金資助項目(2016JJ3045)；湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗開放基金資助項目(31565006);長沙市科技計劃項目(k1501009-11)

梁橋康(1982-)，男，湖南婁底人，湖南大學(xué)副教授，博士

?通訊聯(lián)系人，E-mail:qiaokang@hnu.edu.cn

TP242.3

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