姬 強，劉炳越,2，范 英

(1.中國科學院科技政策與管理科學研究所能源與環(huán)境政策研究中心，北京 100190;2.中國科學技術大學統(tǒng)計與金融系，安徽合肥 230026;3.北京航空航天大學經(jīng)濟管理學院，北京 100190)

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國際油氣價格與匯率動態(tài)相依關系研究:基于一種新的時變最優(yōu)Copula模型

姬 強1，劉炳越1,2，范 英3

(1.中國科學院科技政策與管理科學研究所能源與環(huán)境政策研究中心，北京 100190;2.中國科學技術大學統(tǒng)計與金融系，安徽合肥 230026;3.北京航空航天大學經(jīng)濟管理學院，北京 100190)

本文提出一個新的時變最優(yōu)Copula模型，可以準確識別二元時間序列任意時點最優(yōu)的相依結構。該模型構造了半旋轉copula以刻畫非對稱的反向相依關系，并引入獨立性的無分布檢驗證實相依關系的存在性。同時，我們對能源商品市場(原油、天然氣)、外匯市場間動態(tài)相依關系進行了實證分析，實證結果表明跨市場相依結構類型確實是時變的，突發(fā)事件往往是相依結構突變的主因。另外，時變最優(yōu)Copula模型的主要優(yōu)勢在于不僅能夠捕捉相依方向和相依強度的動態(tài)性，還能有效捕捉相依結構類型的動態(tài)性。

尾部相依；跨市場協(xié)同運動；時變最優(yōu)Copula模型

1 引言

2008年金融危機爆發(fā)后，國際資本市場風險加大，市場間傳染效應凸顯，如何刻畫跨市場動態(tài)相依關系，特別是極端事件下的相依結構成為構建資產(chǎn)投資組合和市場風險管理的重要內容。Copula模型由于可以捕捉非線性的相依關系以及尾部相依性(極端風險相依)，成為度量市場協(xié)同運動的有力工具，在市場相依結構分析中得到了廣泛的應用[1-5]。

關于copula方法的早期研究主要采用靜態(tài)、單一copula方法，研究問題集中在股票、外匯、債券等金融領域以及風險管理領域[6-13]。而對copula方法的改進主要從兩個方面展開：①構造多個copula的凸組合形成混合copula模型[14-15]；②對單一copula相依參數(shù)構建時變方程[15-18]。由于以往的研究主要集中在金融市場內部，得到的結論通常是市場存在非對稱的正向協(xié)同運動關系，這種非對稱的正相依結構由已有的copula方法進行刻畫非常合適。但是，跨市場間相依關系往往會呈現(xiàn)反向關系，比如美元匯率貶值往往會伴隨以美元定價的大宗商品價格的上漲[19-21]。然而，大部分常用的非對稱copula函數(shù)無法刻畫此類反向協(xié)同運動關系，而對稱的正態(tài)copula或t copula雖然能夠刻畫反向協(xié)同運動，但限定市場間相依結構具有對稱性，很難刻畫極端風險下的非對稱現(xiàn)象。同時，采用只能度量同漲(跌)的上(下)尾相依函數(shù)進行分析，往往會忽略跨市場中可能存在的反向極值相依，從而得出不存在極端協(xié)同運動的結論，與實際情況不符。因此，本文主要解決如何確定跨市場動態(tài)相依結構以及尾相依度量等問題，特別是對市場間反向不對稱相依關系進行有效刻畫。

本文提出一種新的時變最優(yōu)Copula模型，能夠有效度量在市場極端風險下的跨市場動態(tài)相依關系。主要貢獻如下：①構造半旋轉Gumbel copula函數(shù)，對市場間非線性、非對稱的反向協(xié)同運動進行刻畫。②引入獨立性的無分布檢驗，提出了數(shù)據(jù)驅動的時變最優(yōu)Copula識別方法，準確識別每個時間點上的最優(yōu)匹配的copula模型。③以能源市場(原油、天然氣)、外匯市場(美元)為例，采用時變最優(yōu)Copula模型分析跨市場間的正向和反向動態(tài)相依結構。

下文主要分為以下幾部分：第二節(jié)，我們構建了時變最優(yōu)Copula模型的理論框架；第三節(jié)，我們以能源市場、外匯市場為例進行實證分析；最后是結論。

2 模型方法

由于受到市場基本面、突發(fā)事件和外部信息流入等多維因素的交互影響，市場間相依結構是隨時間動態(tài)變化的，其較高的復雜性意味著采用單一、靜態(tài)的copula函數(shù)很難準確并完整地刻畫這一動態(tài)特性。因此，本節(jié)首先根據(jù)Patton[22]的想法，構造了半旋轉Gumbel函數(shù)，彌補了Gumbel copula(或旋轉Gumbel)只能刻畫正向相依結構以及上尾(或下尾)相依的不足。其次，在此基礎上，提出數(shù)據(jù)驅動的時變最優(yōu)Copula識別方法，對不同市場間的時變相依結構進行準確刻畫。

2.1 copula函數(shù)建模

Copula是一個多元分布函數(shù)，其邊緣分布是[0, 1]區(qū)間的均勻分布。二元copula的嚴格定義為：若隨機變量U,V～Uniform(0, 1)，則二維隨機向量(U,V)的聯(lián)合分布為一個copula函數(shù)，記為(U,V)～C。根據(jù)Sklar[23]，二元隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F可表示為：

F(x,y) = C(FX(x),FY(y))

(1)

其中FX和FY為(X, Y)的邊緣分布，C是描述(X, Y)間相依結構的copula函數(shù)。若所有的累積分布函數(shù)可微，則(X,Y)的聯(lián)合密度f可表示為：

f(x,y)=c(u,v)·fX(x)·fY(y)

(2)

我們采用Kendall’sτ秩相關系數(shù)來刻畫市場相依關系的強度和方向。同時，根據(jù)Joe[24]，我們采用copula捕捉下尾和上尾相依函數(shù)以度量市場正向極端協(xié)同運動，即隨機變量X、Y，其累積分布函數(shù)分別為FX、FY，對應的copula函數(shù)為C(u,v)，則對于較小的α(比如0.05)。

τLL(α) =Pr(X

(3)

(4)

另外，參照下尾和上尾相依形式，我們提出左上尾和右下尾相依函數(shù)以度量市場反向極端協(xié)同運動如下:

τLU(α) = Pr(XFY-1(1-α))

(5)

τUL(α) = Pr(X>FX-1(1-α) | Y

(6)

其中，τLL(α)、τUU(α)、τLU(α)和τUL(α)分別表示下尾相依、上尾相依、左上尾相依以及右下尾相依。顯然，下尾相依τLL(α) 和上尾相依τUU(α)僅能刻畫市場間同向極端協(xié)同運動，而左上尾相依τLU(α)和右下尾相依τUL(α)則能度量市場間反向極端協(xié)同運動。為了捕捉跨市場間非對稱的左上尾相依τLU(α)和右下尾相依τUL(α)，本文對Gumbel copula函數(shù)進行了擴展(具體見2.1.1節(jié))。

2.1.1 Copula半旋轉變換及其相依性質

一般地，常用的copula函數(shù)有Normal、t、Gumbel等。其中，Normal copula和t copula均可以描述對稱的正、負相依性，但Normal copula不具有尾部相依，而t copula具有對稱的尾部相依。Gumbel copula可以描述非對稱的正相依性，且具有上尾相依，而旋轉Gumbel(生存Gumbel)能夠捕捉下尾相依。為捕捉非對稱的左上尾τLU(α)和右下尾相依τUL(α)等極端相依，我們構造了半旋轉Gumbel copula函數(shù)如下。

可以證明，當U～Uniform(0,1)時，1-U～ Uniform(0,1)。為捕捉各種類型的跨市場相依關系，我們給出定理1～定理3的嚴格證明。其中，定理1給出了半旋轉Gumbel copula分布的具體形式，定理2探討了Gumbel類copula與Kendall’sτ秩相關系數(shù)的關系，定理3給出了左上尾、右下尾相依與copula函數(shù)之間的關系。

定理1：對于Gumbel copula分布COG(θ)，如果二元隨機向量(U, V)滿足U, V～Uniform(0,1)且(U, V)～COG(θ)，令ciG(u,v;θ)為copula CiG(u,v;θ)的密度函數(shù)(i∈{O,R1,R2})，則:

(1-U,V)～CR1G(θ),CR1G(u,v;θ)=v-COG(1-u,v;θ), cR1G(u,v;θ) = cOG(1-u,v;θ), θ∈ΘG

(7)

(U,1-V)～CR2G(θ), CR2G(u,v;θ) = u-COG(u,1-v;θ), cR2G(u,v;θ) = cOG(u,1-v;θ), θ∈ΘG

(8)

證明：記(U, V)～COG(θ)，則COG(u,v;θ) = Pr(U≤u,V≤v)。令U′=1-U，V′=V，由copula定義，有(U′, V′)～CR1G(θ)，則:

CR1G(u,v;θ)=Pr(U′≤u,V′≤v)= Pr(1-U≤u,V≤v)=Pr(V≤v) -Pr(U<1-u,V≤v)=v-COG(1-u,v;θ)

同理，

CR2G(u,v;θ) = u-COG(u,1-v;θ)

cR1G(u,v;θ) = cOG(1-u,v;θ), θ∈ΘG

cR2G(u,v;θ) = cOG(u,1-v;θ), θ∈ΘG. #

定理2：Copula CiG(θ)(i∈{O,R})只能擬合具有正相依關系的隨機向量，而Copula CiG(θ) (i∈{R1,R2})只能擬合具有負相依關系的隨機向量。

證明：根據(jù)引理1，

同理，

定理3：對于任一Cij, i∈{O,R1,R,R2}, j∈{N,t,G}(當i=O時, j∈{N,t,G}；當i∈{R1,R,R2}時, j=G)，對于較小的α(比如0.05)，其尾相依函數(shù)可表示為：

(9)

(10)

證明：由copula，可以得到相應的隨機變量X和Y均不超過給定的分位數(shù)的概率，即：

C(u,v)=Pr(X≤FX-1(u),Y≤FY-1(v)), 因此，對任意給定的Cij(u,v;θ)，i∈{O,R1,R,R2}，j∈{N,t,G}，其左上尾相依函數(shù)為：

同理，

2.1.2 Copula性質總結

本節(jié)通過copula密度函數(shù)圖(圖1～2)對各種copula函數(shù)的適用范圍給出更直觀的描述，并總結各copula函數(shù)的性質(詳見表1)。Normal、t、R1Gumbel、R2Gumbel copula函數(shù)可以刻畫跨市場反向協(xié)同運動；而Normal、t、Gumbel、R Gumbel copula可以刻畫市場正向協(xié)同運動。其中，Normal copula沒有尾相依性，t copula有對稱的尾相依性，R1Gumbel、R2Gumbel、Gumbel和R Gumbel分別具有非對稱的左上尾、右下尾、上尾和下尾相依。總之，我們的copula集合可以捕捉各種類型的跨市場相依結構。

圖1 Normal和t copula密度函數(shù)

圖2 Gumbel-類copula密度函數(shù)

FamilyParameterDistributionDependenceTailDependenceNormal(-1,1)對稱正、負相依無t(-1,1),(2,∞)對稱正、負相依全部尾相依Gumbel(1,∞)非對稱正相依上尾相依R1Gumbel(1,∞)非對稱負相依左上尾相依RGumbel(1,∞)非對稱正相依下尾相依R2Gumbel(1,∞)非對稱負相依右下尾相依

2.1.3 Copula參數(shù)估計及其擬合優(yōu)度檢驗

(11)

(12)

對于copula建模而言，除了參數(shù)估計外，另外一個重要的問題是檢驗真實的未知copula是否為已選的copula類型，從而有如下檢驗，

T1: H0:C∈C={Cθ:θ∈Q} vs. H1: C?C

其中Q為R上的開子集。如果真實的未知copula屬于C，則存在唯一的θ∈Q，使得C∈C。進行T1檢驗需要基于如下函數(shù)，

(13)

2.2 時變最優(yōu)Copula建模

常用的時變copula模型大多是對單一copula的相依參數(shù)建模[15-18]。這些時變copula模型均為固定copula函數(shù)類型不變，而僅僅允許copula相依參數(shù)隨時間動態(tài)變化。允許copula相依結構類型變化的研究中，Guégan和Zhang Jing[28]采用二元分割程序檢測copula相依類型的變化，另外機制轉移copula模型可以通過引入狀態(tài)變量，描述不同機制下的相依結構類型[29-30]。本文提出數(shù)據(jù)驅動的時變最優(yōu)Copula識別方法，其建模過程分為最優(yōu)copula建模和時變建模兩步。時變最優(yōu)Copula建模過程如下。

2.2.1 最優(yōu)copula建模過程

在最優(yōu)copula建模過程中，要明確兩點：第一，樣本序列正、負相依關系的顯著性。第二，對應于正、負相依關系的可選copula集。因此，首先需要根據(jù)樣本對(X, Y)的相依關系進行統(tǒng)計推斷。對于序列長度為n的隨機向量(X, Y)，我們建立如下兩個檢驗：

T2: H0: τ=0 vs. H1: τ<0

(14)

T3: H0: τ=0 vs. H1: τ>0

(15)

因此，最優(yōu)copula的求解算法如下：

步驟1:采用GARCH(1,1)模型擬合t時刻子樣本(時間t為子樣本最后一個點)，進而得到[0,1]區(qū)間的均勻分布序列。

步驟5: 從{N,t}中選擇t時刻最優(yōu)的copula。

2.2.2 時變建模過程

滾動窗口分析是時間序列分析的常用方法，大量文獻采用滾動窗口方法對經(jīng)濟現(xiàn)象或市場特征進行動態(tài)分析[32-35]。同樣，我們采用滾動窗口分析完成時變最優(yōu)Copula模型的時變建模過程。參考Fan Jianqing和Gu Juan[33]和Aloui等[35]，將窗口長度固定為250天，近似一年的交易期。從實證結果來看，將窗寬選取為250天的簡化處理并不妨礙我們得出一般化結論。另外，對于各時間窗口內最優(yōu)擬合的copula是否能夠準確刻畫二元序列間相依關系，我們進行了擬合優(yōu)度檢驗。

3 實證分析

本節(jié)我們采用時變最優(yōu)Copula模型對國際原油市場、天然氣市場與美元匯率市場協(xié)同運動進行實證分析。采用copula模型進行能源市場與外匯市場間相依關系的研究還十分有限[36-38]。本文中，能源市場選取Brent原油價格(OIL)和Henry Hub天然氣價格(GAS)，數(shù)據(jù)來源于美國能源信息署；外匯市場選取美元指數(shù)(USDX)，數(shù)據(jù)來源于美國聯(lián)邦儲備銀行。樣本期從2000年1月4日至2014年8月22日。

3.1 數(shù)據(jù)與描述性統(tǒng)計

表2展示了石油、天然氣以及美元指數(shù)日收益序列的描述性統(tǒng)計。在整個樣本期，這些序列均為偏態(tài)(非對稱)分布，且具有明顯的波動聚集現(xiàn)象，JB統(tǒng)計量均顯著地拒絕了序列分布的正態(tài)性假設。各收益序列以及收益平方序列的Ljung-Box統(tǒng)計量表明各收益序列存在顯著的條件異方差，LM檢驗統(tǒng)計量也表明各收益序列存在明顯的ARCH效應。以上檢驗結果表明，我們對各收益序列構建GARCH(1,1)模型是合理的。

3.2 跨市場協(xié)同運動

整體來看，美元與原油呈強反向協(xié)動關系，美元與天然氣呈弱反向協(xié)動關系，而原油與天然氣市場呈正向協(xié)動關系(見圖3～5)。2008年爆發(fā)的金融危機以及2011年的歐債危機，使得OIL-USDX、GAS-USDX、OIL-GAS市場收益間的階段性協(xié)同運動顯著增強，表現(xiàn)為Kendall’sτ秩相關系數(shù)的值在危機爆發(fā)期明顯增大，并且伴隨危機影響的消除逐漸減弱。在08年～12年的整個經(jīng)濟危機的大背景下，OIL-USDX、GAS-USDX市場協(xié)動關系呈“W”型，OIL-GAS則呈“M”型。這也反映了不同市場間信息傳染效應的強弱與外生沖擊的強度有直接關系。另外，與原油市場相比，天然氣市場的全球化程度不高，且其影響機制和影響因素都相對復雜，因而GAS-USDX市場間的反向關系整體很微弱。

表2 各市場收益序列的描述性統(tǒng)計及ARCH效應檢驗

注：*, **分別表示在5%和1%的水平下顯著。Q,Q2分別表示收益序列、收益平方序列的Ljung-Box檢驗統(tǒng)計量。ARCH表示ARCH效應的Lagrange Multiplier檢驗統(tǒng)計量。

在整個樣本區(qū)間內，Normal和t copula所占比例較大，說明在大部分時間里市場間具有對稱的相依結構。而在某些特殊時期，OIL-USDX和GAS-USDX市場對中最優(yōu)的copula為R1Gumbel或R2Gumbel，表明能源市場與外匯市場間確實存在非對稱的反向極端相依。比如，在短暫的2008年上半年的金融危機前夕，原油市場與美元市場間最優(yōu)的相依結構為R2Gumbel，Brent原油市場收益傾向大幅上漲而美元市場傾向大幅下跌；而在2011年年中的歐債危機階段，原油市場與美元市場間最優(yōu)的相依結構為R1Gumbel，Brent原油市場收益處于下行風險而美元市場處于上行通道。上述實證結果與現(xiàn)實情況的吻合不僅表明左上尾和右下尾相依的存在性，同時驗證了采用時變最優(yōu)Copula模型研究跨市場極端相依的有效性。

綜上，時變最優(yōu)Copula實證結果表明，跨市場相依關系強度具有明顯的動態(tài)特征；相依方向也不總是表現(xiàn)為正或負相依，有時會出現(xiàn)正、負相依模式的交替；整個樣本期最優(yōu)的copula相依結構也隨時間動態(tài)變化。因而，本文提出的時變最優(yōu)Copula模型能夠很好地刻畫市場間相依結構模式轉變的動態(tài)性，準確捕捉市場間的動態(tài)相依關系。

圖3 Brent原油與美元指數(shù)動態(tài)相依圖

圖4 Henry Hub天然氣與美元指數(shù)動態(tài)相依圖

圖5 Brent原油與Henry Hub天然氣動態(tài)相依圖

3.3 TVOC模型的擬合優(yōu)度檢驗

為檢驗TVOC是否在任意時點能夠準確刻畫市場間相依結構，我們采用2.1.3節(jié)中的擬合優(yōu)度檢驗對每個窗口期最優(yōu)的copula進行檢驗，其動態(tài)檢驗p值如圖6所示。我們能夠看出在絕大多數(shù)時間點最優(yōu)copula的擬合優(yōu)度檢驗p值均大于0.05，表明TVOC模型基本可以準確刻畫跨市場動態(tài)相依特征。

圖6 TVOC模型動態(tài)擬合優(yōu)度檢驗P值

4 結語

本文提出了一個新的研究市場動態(tài)相依結構的方法—時變最優(yōu)Copula模型，該方法適用于跨市場動態(tài)相依性分析。

研究表明時變最優(yōu)Copula模型能很好地描述極端風險下跨市場相依的動態(tài)特征，主要優(yōu)勢在于：1)構造的半旋轉Gumbel模型能夠有效地刻畫跨市場非對稱的反向相依關系，彌補了常用的copula函數(shù)(Normal、t、Gumbel)在這方面的缺陷。2)構造的時變最優(yōu)Copula模型提供了一個動態(tài)copula函數(shù)集合，能夠動態(tài)捕捉各種類型的跨市場相依模式，彌補了采用單一、靜態(tài)copula函數(shù)在這方面的缺陷。3)時變最優(yōu)Copula模型的動態(tài)性不僅包括了相依方向、相依強度的動態(tài)性，而且還包括相依結構類型的動態(tài)性。

實證結果表明，在不同條件下，市場間相依關系的特征及程度都是不同的。在經(jīng)濟平穩(wěn)運行期，市場間大多具有對稱的相依性，最優(yōu)的copula通常為Normal和t copula。在此經(jīng)濟背景下，相依關系的方向、程度與資產(chǎn)屬性及其內部經(jīng)濟關聯(lián)有關。然而，上述因素導致的跨市場相依關系往往是弱相依的。相反，在極端事件情景下，市場相依常常是非對稱的，這一時期的市場間相依關系主要由極端的外部沖擊決定，因而市場收益間相依關系往往呈現(xiàn)明顯增強的趨勢，市場間風險溢出效應明顯加大。

因此，本文提出的時變最優(yōu)Copula模型能夠刻畫不同機理影響下的市場間相依關系，這對于市場投資者和風險管理者靈活調整投資組合策略，規(guī)避投資風險以及防范市場風險溢出乃至金融傳染等方面具有重要的意義。而且，本文構造的半旋轉copula在度量非線性非對稱負相依關系方面具有較大的優(yōu)勢，能夠為市場風險管理者構建投資組合進行風險對沖提供新的分析工具。

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Dynamic Dependence Between International Oil, Natural Gas and Exchange Market Based on a New Time-varying Optimal Copula Model

JI Qiang1, LIU Bing-yue1, 2, FAN Ying3

(1.Center for Energy and Environmental Policy research, Institute of Policy and Management,Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China; 2.Department of Statistics and Finance, University of Science and Technology of China, Hefei 230026, China; 3.School of Economics & Management, Beihang University, Beijing 100191, China)

In this paper, a new time-varying optimal copula model is proposed to precisely identify the optimal dependence structure of bivariate time series at every time point. In this model, half-rotated copulas, i.e.CR1G(u,v;θ)=v-COG(1-u,v;θ) andCR2G(u,v;θ)=u-COG(u,1-v;θ), are constructed to capture the asymmetric negative dependence, especially for the negative extreme dependence, i.e. lower-upper tailτLU(α)=Pr(XFY-1(1-α)) and upper-lower tail dependenceτUL(α)=Pr(X>FX-1(1-α)|Y

tail dependence; co-movement across markets; time-varying optimal copula

2015-08-12；

2016-03-28

國家自然科學基金資助項目(91546109，71133005，71203210)

簡介：范英(1966-)，女(漢族)，河北陽原人，北京航空航天大學經(jīng)濟管理學院院長，博士生導師，研究方向：能源經(jīng)濟學、能源市場與碳市場、能源-環(huán)境-經(jīng)濟系統(tǒng)建模等，E-mail: ying_fan@263.net.

1003-207(2016)10-0001-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.10.001

F830

A