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        集值映射的單值廣義模糊積分

        2016-12-02 05:49:51馬朝暉吳健榮
        關(guān)鍵詞:單值集值測度

        馬朝暉,吳健榮

        (蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院,江蘇蘇州215009)

        集值映射的單值廣義模糊積分

        馬朝暉,吳健榮*

        (蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院,江蘇蘇州215009)

        借助于廣義三角模給出了集值可測映射一種新的模糊積分的定義,它是單值可測函數(shù)的模糊積分的推廣。在給出該積分的一些基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上,得到了該積分的一個重要收斂定理。

        可測集值映射;模糊測度;廣義三角模;模糊積分

        1 預(yù)備知識

        對集值積分的系統(tǒng)研究可以追溯到20世紀(jì)60年代。1965年,Aumann[1]以可測集值函數(shù)的單值Lebesgue可積選擇定義了Rn空間中集值函數(shù)的積分,并討論了該積分的一些基本性質(zhì)。伴隨著模糊測度和模糊積分[2]的發(fā)展,1990年,王子孝,張德利[3]針對一些特殊的模糊測度,如λ-測度,討論了集值模糊積分。此后,文獻(xiàn)[4-5]采用Aumman積分的定義方式,分別將集值函數(shù)的取值限制在[0,1]和R+的冪集上,利用單值可測選擇的模糊積分定義了集值函數(shù)的模糊積分,自然,這些積分的取值均為集合。

        關(guān)于集值映射單值模糊積分的研究也取得了一定進(jìn)展。2001年,文獻(xiàn)[6]將集值函數(shù)的取值限制在[0,1]的冪集上,類似Sugeno積分給出了集值映射模糊積分的定義,并研究了該積分的一些基本性質(zhì)及Fatou引理和Lebesgue收斂定理。2012年,Croitoru在文獻(xiàn)[7]中給出了取值為實(shí)線性空間冪集的集值函數(shù)的單值模糊積分定義,證明了該積分的單調(diào)收斂定理和一致收斂定理。2014年,文獻(xiàn)[8]則研究了取值為R+的子集的集值映射及其模糊積分。

        筆者通過引入了廣義三角模,給出了集值映射單值廣義模糊積分的定義,并研究該積分的一些基本性質(zhì)。引進(jìn)的概念和所得到的結(jié)論是已有相應(yīng)概念和結(jié)論的推廣。

        文中,Ω總表示一非空集合,∑為Ω上的一個σ-代數(shù),從而(Ω,∑)為可測空間。R+=[0,∞),P0(R+)表示R+的全體非空子集。對于集值映射F:Ω→P0(R+),記

        定義1[2]若集函數(shù)μ:∑→[0,+∞]滿足以下條件:

        (1)μ(Φ)=0;

        (2)A,B∈∑且A?B則μ(A)≤μ(B)(單調(diào)性);

        (3)A1?A2?…?An?…,An∈∑,?n∈N,并且存在n0∈N,使得μ(An0)<+∞,則;

        (4)A1?A2?…?An?…,An∈∑,?n∈N,則;

        則稱μ為模糊測度,相應(yīng)的(Ω,∑,μ)稱為模糊測度空間。其中(3)、(4)分別稱為上、下連續(xù)性。

        定義2[2]稱集函數(shù)μ:∑→[0,+∞]

        (1)是次可加的,若?A,B∈∑,有μ(A∪B)≤μ(A)+μ(B);

        (2)是零可加的(零可減的),若?A,B∈∑,μ(B)=0,有μ(A∪B)=μ(A)(μ(A-B)=μ(A))。

        定義3[9]記D=[0,+∞]2/{(0,+∞),(+∞,0)},映射S:D→[0,+∞]稱為是廣義三角模,若其滿足條件:

        (1)S[x,0]=0,?x∈[0,+∞),且存在e∈(0,+∞],使得S[x,e]=x,?x∈(0,+∞],這里e稱為單位元;

        (2)S[x,y]=S[y,x];

        (3)當(dāng)x1≤x2,y1≤y2時S[x1,y1]≤S[y2,x2];

        (4)若{(xn,yn)}?D,(x,y)∈D且xn↑x,yn↓y則S[xn,yn]→S[x,y]。

        注1S[x,y]=min(x,y),S[x,y]=kxy(k>0)均為廣義三角模,其中S[x,y]=min(x,y)的單位元為∞,S[x,y]= kxy的單位元為1/k。

        定義4[10]稱廣義三角模S是次可加的,若?x,y∈[0,+∞],有

        定義5[9]設(shè)(Ω,∑,μ)為模糊測度空間,S是廣義三角模,f是非負(fù)可測函數(shù),則f在A上的廣義模糊積分為

        其中Nα(f)={ω|f(ω)>α}。

        定義6[11]稱集值映射F:Ω→P0(R+)可測,若F-1(U)∈∑,(?閉集U?R+)。

        定義7[8]設(shè)(Ω,∑,μ)為模糊測度空間,集值映射F:Ω→P0(R+)是可測的,A∈∑,則F在A上關(guān)于μ的積分定義為

        方便起見,以下記F-1([α,+∞))=Fα,?α∈[0,+∞)。

        2 主要研究

        首先,利用廣義三角模,給出集值映射一種新的模糊積分定義。

        定義8設(shè)(Ω,∑,μ)為模糊測度空間,F(xiàn):Ω→P0(R+)是可測的集值映射,A∈∑,F(xiàn)在A上的單值廣義模糊積分(簡稱為(G)積分)定義為

        注2若F為單值函數(shù)時,可看出該定義是定義5單值可測函數(shù)模糊積分的推廣;若S[x,y]=min(x,y),則該積分定義即為定義7。

        下面討論該積分的若干性質(zhì),首先從定義8可以直接得到以下結(jié)論:

        定理1設(shè)(Ω,∑,μ)為模糊測度空間,F(xiàn):Ω→P0(R+)是可測的集值映射,A∈∑。

        (3)若F(ω)={a},?ω∈Ω,a∈(0,+∞),則(G)。

        (5)F1,F(xiàn)2:Ω→P0(R+)是可測的集值映射,且?ω∈Ω,F(xiàn)1(ω)?F2(ω),則。

        (7)設(shè)μ,S次可加,F(xiàn),G:Ω→P0(R+)是可測集值映射,則。

        定理2設(shè)(Ω,∑,μ)為模糊測度空間,F(xiàn):Ω→P0(R+)是可測集值映射,B∈∑,μ(B)=0。

        證明(1)由μ的單調(diào)性及μ(B)=0可得μ(B∩Fα)=0。又μ是零可加的,則

        (2)的證明類似。

        定理3設(shè)(Ω,∑,μ)為模糊測度空間,μ是零可加的當(dāng)且僅當(dāng)對于可測集值映射F,G:Ω→P0(R+),F(xiàn)=G μ-a.e蘊(yùn)含。

        證明必要性:設(shè)μ是零可加的,F(xiàn),G:Ω→P0(R+)是可測的集值映射且F=G μ-a.e。令A(yù)={ω∈Ω|F(ω)≠G(ω)},則有μ(A)=0。由μ的單調(diào)性,對任意α∈[0,+∞),有μ(Fα)≤μ(Gα∪A)。再由μ是零可加的及μ(A)=0,可知μ(Gα)=μ(Gα∪A),所以μ(Fα)≤μ(Gα)。類似可得μ(Gα)≤μ(Fα)。

        所以對任意α∈[0,+∞),有μ(Fα)=μ(Gα),進(jìn)而由定義8可得。

        充分性:設(shè)A,B∈∑,μ(B)=0,要證μ(A∪B)=μ(A),下面分兩種情況討論:

        (1)當(dāng)μ(A)=+∞時,由μ的單調(diào)性可得μ(A∪B)=+∞=μ(A)。

        (2)當(dāng)μ(A)<+∞時,定義可測集值映射F,G:Ω→P0(R+)如下:?ω∈Ω,

        其中e是S的單位元。則{ω∈Ω|F(ω)≠G(ω)}=B-A,由μ的單調(diào)性可得

        所以μ(A)=μ(A∪B),即μ是零可加的。

        推論1若μ零可加,F(xiàn)=G在A上μ-a.e(?A∈∑),則。

        證明充分性:由于對任意α∈[0,+∞)有S[α,μ(Fα)]≤β,所以。另外,由于

        (1)若αnk↑∞,則μ(Fαnk

        與β∈(0,+∞)矛盾。

        (2)若αnk↓0,則由μ(Ω)<+∞知

        與β∈(0,+∞)矛盾。

        (3)若αnk單調(diào)收斂于α0∈(0,+∞),則單調(diào)收斂于,由廣義三角模的性質(zhì)有

        即存在α0∈(0,+∞),使得S[αn0,μ(Fα0)]=β。證畢。

        最后,給出文中定義的積分的一個重要收斂定理。

        定理5設(shè)(Ω,∑,μ)為模糊測度空間,F(xiàn)n:Ω→P0(R+)是可測集值映射列,且Fn(ω)?Fn+1(ω)(?ω∈Ω,n∈N),定義

        證明由文獻(xiàn)[11]中的命題3.4知,F(xiàn)是可測集值映射。不失一般性,設(shè)A=Ω(對?A∈∑,類似可證)。因?yàn)镕n(ω)?Fn+1(ω)?F(ω)(?ω∈Ω,n∈N),所以由其積分性質(zhì)有

        性知

        (3)當(dāng)I=+∞時,則有αk使得S[αk,μ(Fαk)]>k(k=1,2,…),類似(2)的證明知存在nk,使得當(dāng)n≥nk時S[αnk,μ((Fn)αnk)]>k,所以

        [1]AUMANN J.Integrals of set-valued functions[J].J Math Anal Appl,1965,12:1-12.

        [2]SUGENO M.Theory of fuzzy integrals and its applications[D].Tokyo:TokyoInstitute of Technology,1974.

        [3]王子孝,張德利.集值函數(shù)的模糊積分[C]//中國模糊數(shù)學(xué)與模糊系統(tǒng)學(xué)會第五屆年會論文集.成都:西南交通大學(xué)出版社,1990:102-105.

        [4]ZHANG D,GUO C.Fuzzy integrals of set-valued mappings and fuzzy mappings[J].Fuzzy Sets and Systems,1995,75(1):103-109.

        [5]ZHANG D,GUO C.Generalized fuzzy integrals of set-valued functions[J].Fuzzy Sets and Systems,1995,76(3):365-373.

        [6]CHO S J,LEE B S,LEEG M,et al.Fuzzy integrals for set-valued mappings[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,117(3):333-337.

        [7]CROITORU A.Fuzzy integral of measurable multifunctions[J].Iran J Fuzzy Systems,2012,9(4):133-140.

        [8]CROITORU A.Strong integral of multifunctions relative to a fuzzy measure[J].Fuzzy Sets and Systems,2014,244(1):20-33.

        [9]WU C X,WANG S L,SONG S J.Generalized triangle norms and generalized fuzzy integrals[C]//Proc of Sino-Japan Sympo on Fuzzy Sets and Systems.Beijing:International Academic Press,1990.

        [10]夏陽,吳健榮.一般可測函數(shù)的(G)模糊積分[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2011,25(1):96-102.

        [11]CASTAING C,VALADIER M.Convex Analysis and Measurable Multifunctions[M].Berlin Heidelberg,New York:Springer,1977.

        Single-valued generalized fuzzy integrals of set-valued mappings

        MA Zhaohui,WU Jianrong
        (School of Mathematics and Physics,SUST,Suzhou 215009,China)

        By using the generalized triangle norm,we introduced a new concept of a fuzzy integral of a measurable set-valued mapping,which generalized the fuzzy integral of a measurable single-valued function.After presenting some basic properties of this integral,we obtained an important convergence theorem of it.

        measurable set-valued mappings;fuzzy measure;generalized triangle norm;fuzzy integral

        O159MR(2000)Subject Classification:28B20

        A

        1672-0687(2016)04-0023-05

        責(zé)任編輯:謝金春

        2014-10-28

        國家自然科學(xué)基金資助項目(11371013)

        馬朝暉(1990-),女,河南周口人,碩士研究生,研究方向:非線性分析。

        *通信聯(lián)系人:吳健榮(1963-),男,教授,博士,碩士生導(dǎo)師,E-mail:jrwu@mail.usts.edu.cn。

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