馬朝暉，吳健榮

（蘇州科技大學數(shù)理學院，江蘇蘇州215009）

集值映射的單值廣義模糊積分

馬朝暉，吳健榮*

（蘇州科技大學數(shù)理學院，江蘇蘇州215009）

借助于廣義三角模給出了集值可測映射一種新的模糊積分的定義，它是單值可測函數(shù)的模糊積分的推廣。在給出該積分的一些基本性質(zhì)的基礎上，得到了該積分的一個重要收斂定理。

可測集值映射；模糊測度；廣義三角模；模糊積分

1 預備知識

對集值積分的系統(tǒng)研究可以追溯到20世紀60年代。1965年，Aumann[1]以可測集值函數(shù)的單值Lebesgue可積選擇定義了Rn空間中集值函數(shù)的積分，并討論了該積分的一些基本性質(zhì)。伴隨著模糊測度和模糊積分[2]的發(fā)展，1990年，王子孝，張德利[3]針對一些特殊的模糊測度，如λ-測度，討論了集值模糊積分。此后，文獻[4－5]采用Aumman積分的定義方式，分別將集值函數(shù)的取值限制在[0，1]和R+的冪集上，利用單值可測選擇的模糊積分定義了集值函數(shù)的模糊積分，自然，這些積分的取值均為集合。

關于集值映射單值模糊積分的研究也取得了一定進展。2001年，文獻[6]將集值函數(shù)的取值限制在[0，1]的冪集上，類似Sugeno積分給出了集值映射模糊積分的定義，并研究了該積分的一些基本性質(zhì)及Fatou引理和Lebesgue收斂定理。2012年，Croitoru在文獻[7]中給出了取值為實線性空間冪集的集值函數(shù)的單值模糊積分定義，證明了該積分的單調(diào)收斂定理和一致收斂定理。2014年，文獻[8]則研究了取值為R+的子集的集值映射及其模糊積分。

筆者通過引入了廣義三角模，給出了集值映射單值廣義模糊積分的定義，并研究該積分的一些基本性質(zhì)。引進的概念和所得到的結(jié)論是已有相應概念和結(jié)論的推廣。

文中，Ω總表示一非空集合，∑為Ω上的一個σ-代數(shù)，從而（Ω，∑）為可測空間。R+＝[0，∞），P0（R+）表示R+的全體非空子集。對于集值映射F：Ω→P0（R+），記

定義1[2]若集函數(shù)μ：∑→[0，+∞]滿足以下條件：

（1）μ（Φ）=0；

（2）A，B∈∑且A?B則μ（A）≤μ（B）（單調(diào)性）；

（3）A1?A2?…?An?…，An∈∑，?n∈N，并且存在n0∈N，使得μ（An0）＜+∞，則；

（4）A1?A2?…?An?…，An∈∑，?n∈N，則；

則稱μ為模糊測度，相應的（Ω，∑，μ）稱為模糊測度空間。其中（3）、（4）分別稱為上、下連續(xù)性。

定義2[2]稱集函數(shù)μ：∑→[0，+∞]

（1）是次可加的，若?A，B∈∑，有μ（A∪B）≤μ（A）+μ（B）；

（2）是零可加的（零可減的），若?A，B∈∑，μ（B）=0，有μ（A∪B）=μ（A）（μ（A-B）＝μ（A））。

定義3[9]記D＝[0，+∞]2/{（0，+∞），（+∞，0）}，映射S：D→[0，+∞]稱為是廣義三角模，若其滿足條件：

（1）S[x，0]=0，?x∈[0，+∞），且存在e∈（0，+∞]，使得S[x，e]=x，?x∈（0，+∞]，這里e稱為單位元；

（2）S[x，y]=S[y，x]；

（3）當x1≤x2，y1≤y2時S[x1，y1]≤S[y2，x2]；

（4）若{（xn，yn）}?D，（x，y）∈D且xn↑x，yn↓y則S[xn，yn]→S[x，y]。

注1S[x，y]=min（x，y），S[x，y]=kxy（k＞0）均為廣義三角模，其中S[x，y]=min（x，y）的單位元為∞，S[x，y]= kxy的單位元為1/k。

定義4[10]稱廣義三角模S是次可加的，若?x，y∈[0，+∞]，有

定義5[9]設（Ω，∑，μ）為模糊測度空間，S是廣義三角模，f是非負可測函數(shù)，則f在A上的廣義模糊積分為

其中Nα（f）={ω|f（ω）＞α}。

定義6[11]稱集值映射F：Ω→P0（R+）可測，若F-1（U）∈∑，（?閉集U?R+）。

定義7[8]設（Ω，∑，μ）為模糊測度空間，集值映射F：Ω→P0（R+）是可測的，A∈∑，則F在A上關于μ的積分定義為

方便起見，以下記F-1（[α，+∞））=Fα，?α∈[0，+∞）。

2 主要研究

首先，利用廣義三角模，給出集值映射一種新的模糊積分定義。

定義8設（Ω，∑，μ）為模糊測度空間，F(xiàn)：Ω→P0（R+）是可測的集值映射，A∈∑，F(xiàn)在A上的單值廣義模糊積分（簡稱為（G）積分）定義為

注2若F為單值函數(shù)時，可看出該定義是定義5單值可測函數(shù)模糊積分的推廣；若S[x，y]=min（x，y），則該積分定義即為定義7。

下面討論該積分的若干性質(zhì)，首先從定義8可以直接得到以下結(jié)論：

定理1設（Ω，∑，μ）為模糊測度空間，F(xiàn)：Ω→P0（R+）是可測的集值映射，A∈∑。

（3）若F（ω）={a}，?ω∈Ω，a∈（0，+∞），則（G）。

（5）F1，F(xiàn)2：Ω→P0（R+）是可測的集值映射，且?ω∈Ω，F(xiàn)1（ω）?F2（ω），則。

（7）設μ，S次可加，F(xiàn)，G：Ω→P0（R+）是可測集值映射，則。

定理2設（Ω，∑，μ）為模糊測度空間，F(xiàn)：Ω→P0（R+）是可測集值映射，B∈∑，μ（B）=0。

證明（1）由μ的單調(diào)性及μ（B）=0可得μ（B∩Fα）=0。又μ是零可加的，則

（2）的證明類似。

定理3設（Ω，∑，μ）為模糊測度空間，μ是零可加的當且僅當對于可測集值映射F，G：Ω→P0（R+），F(xiàn)＝G μ-a.e蘊含。

證明必要性：設μ是零可加的，F(xiàn)，G：Ω→P0（R+）是可測的集值映射且F＝G μ-a.e。令A={ω∈Ω|F（ω）≠G（ω）}，則有μ（A）=0。由μ的單調(diào)性，對任意α∈[0，+∞），有μ（Fα）≤μ（Gα∪A）。再由μ是零可加的及μ（A）=0，可知μ（Gα）=μ（Gα∪A），所以μ（Fα）≤μ（Gα）。類似可得μ（Gα）≤μ（Fα）。

所以對任意α∈[0，+∞），有μ（Fα）=μ（Gα），進而由定義8可得。

充分性：設A，B∈∑，μ（B）=0，要證μ（A∪B）=μ（A），下面分兩種情況討論：

（1）當μ（A）=+∞時，由μ的單調(diào)性可得μ（A∪B）=+∞=μ（A）。

（2）當μ（A）＜+∞時，定義可測集值映射F，G：Ω→P0（R+）如下：?ω∈Ω，

其中e是S的單位元。則{ω∈Ω|F（ω）≠G（ω）}=B-A，由μ的單調(diào)性可得

所以μ（A）=μ（A∪B），即μ是零可加的。

推論1若μ零可加，F(xiàn)=G在A上μ-a.e（?A∈∑），則。

證明充分性：由于對任意α∈[0，+∞）有S[α，μ（Fα）]≤β，所以。另外，由于

（1）若αnk↑∞，則μ（Fαnk

與β∈（0，+∞）矛盾。

（2）若αnk↓0，則由μ（Ω）＜+∞知

與β∈（0，+∞）矛盾。

（3）若αnk單調(diào)收斂于α0∈（0，+∞），則單調(diào)收斂于，由廣義三角模的性質(zhì)有

即存在α0∈（0，+∞），使得S[αn0，μ（Fα0）]=β。證畢。

最后，給出文中定義的積分的一個重要收斂定理。

定理5設（Ω，∑，μ）為模糊測度空間，F(xiàn)n：Ω→P0（R+）是可測集值映射列，且Fn（ω）?Fn+1（ω）（?ω∈Ω，n∈N），定義

證明由文獻[11]中的命題3.4知，F(xiàn)是可測集值映射。不失一般性，設A＝Ω（對?A∈∑，類似可證）。因為Fn（ω）?Fn+1（ω）?F（ω）（?ω∈Ω，n∈N），所以由其積分性質(zhì)有

性知

（3）當I＝+∞時，則有αk使得S[αk，μ（Fαk）]＞k（k＝1，2，…），類似（2）的證明知存在nk，使得當n≥nk時S[αnk，μ（（Fn）αnk）]＞k，所以

[1]AUMANN J.Integrals of set－valued functions[J].J Math Anal Appl，1965，12：1-12.

[2]SUGENO M.Theory of fuzzy integrals and its applications[D].Tokyo：TokyoInstitute of Technology，1974.

[3]王子孝，張德利.集值函數(shù)的模糊積分[C]//中國模糊數(shù)學與模糊系統(tǒng)學會第五屆年會論文集.成都：西南交通大學出版社，1990：102-105.

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[6]CHO S J，LEE B S，LEEG M，et al.Fuzzy integrals for set－valued mappings[J].Fuzzy Sets and Systems，2001，117（3）：333-337.

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[10]夏陽，吳健榮.一般可測函數(shù)的（G）模糊積分[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2011，25（1）：96-102.

[11]CASTAING C，VALADIER M.Convex Analysis and Measurable Multifunctions[M].Berlin Heidelberg，New York：Springer，1977.

Single-valued generalized fuzzy integrals of set-valued mappings

MA Zhaohui，WU Jianrong
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

By using the generalized triangle norm,we introduced a new concept of a fuzzy integral of a measurable set-valued mapping,which generalized the fuzzy integral of a measurable single-valued function.After presenting some basic properties of this integral,we obtained an important convergence theorem of it.

measurable set-valued mappings；fuzzy measure；generalized triangle norm；fuzzy integral

O159MR（2000）Subject Classification：28B20

A

1672－0687（2016）04－0023－05

責任編輯：謝金春

2014－10－28

國家自然科學基金資助項目（11371013）

馬朝暉（1990-），女，河南周口人，碩士研究生，研究方向：非線性分析。

*通信聯(lián)系人：吳健榮（1963-），男，教授，博士，碩士生導師，E-mail：jrwu@mail.usts.edu.cn。