鐘柳強(qiáng), 程 婷, 邢小青

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510631)

?

H(curl)-橢圓問(wèn)題自適應(yīng)內(nèi)罰間斷有限元方法的收斂性分析

鐘柳強(qiáng)*, 程 婷, 邢小青*

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510631)

針對(duì)H(curl)-橢圓問(wèn)題的自適應(yīng)內(nèi)罰間斷有限元方法,給出了相應(yīng)的收斂性證明:把間斷有限元空間分解成棱有限元空間及其正交補(bǔ)空間,然后結(jié)合誤差的整體上界估計(jì)、關(guān)于加密網(wǎng)格之間的網(wǎng)格尺寸的2個(gè)條件以及后驗(yàn)誤差指示子的單調(diào)性等性質(zhì),證明了在連續(xù)迭代過(guò)程中,關(guān)于誤差函數(shù)的能量范數(shù)與尺度化的誤差指示子之和是壓縮的,即自適應(yīng)內(nèi)罰間斷有限元方法是收斂的.

內(nèi)罰間斷有限元方法； 自適應(yīng)算法； 后驗(yàn)誤差指示子； 收斂性

有限元方法是現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算與工程模擬中的重要數(shù)值方法之一,而間斷有限元方法可視為傳統(tǒng)(連續(xù))有限元方法的一個(gè)發(fā)展與延拓[1-2]. 近年來(lái),關(guān)于電磁場(chǎng)問(wèn)題的間斷有限元方法得到了學(xué)者們的重視： FEZOUI等[3]采用間斷有限元的方法處理在非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中時(shí)諧Maxwell 方程組問(wèn)題的數(shù)值解,并得出了解收斂性以及穩(wěn)定性的性質(zhì); WANG等[4]介紹了用隱式間斷有限元方法求解在超材料介質(zhì)中的時(shí)諧 Maxwell 方程組,并證明完全散度格式是無(wú)條件穩(wěn)定的. 與此同時(shí),自適應(yīng)方法能夠克服在一致加密過(guò)程中所導(dǎo)致自由度過(guò)度增長(zhǎng)的情況,從而達(dá)到用最小的計(jì)算量獲得較大的計(jì)算精度,但是之前關(guān)于電磁場(chǎng)問(wèn)題的研究工作主要集中在棱有限元離散系統(tǒng)上,如針對(duì)變系數(shù)H(curl)-橢圓方程組和不定時(shí)諧麥克斯韋方程組,采用了一種不需要標(biāo)記振蕩項(xiàng)和加密單元不需要滿(mǎn)足“內(nèi)節(jié)點(diǎn)”性質(zhì)的自適應(yīng)棱有限元方法 (AEFEM). 并用該方法證明了 AEFEM 是收斂的[5-6].

基于間斷有限元方法的特點(diǎn),配合相應(yīng)自適應(yīng)有限元技術(shù),能夠提高計(jì)算電磁場(chǎng)的效率和求解精度. 本文將采用自適應(yīng)內(nèi)罰間斷有限元方法 (AIPDG) 來(lái)求解H(curl)-橢圓問(wèn)題,并研究相應(yīng)的收斂性分析. 為此,首先給出連續(xù)的變分問(wèn)題和相應(yīng)內(nèi)罰間斷有限元方法離散變分系統(tǒng),然后簡(jiǎn)介自適應(yīng)有限元算法的每一個(gè)模塊(其中后驗(yàn)誤差估計(jì)的構(gòu)造借鑒了文獻(xiàn)[7]的思想),最后通過(guò)間斷有限元空間的分解、誤差的整體上界估計(jì)以及后驗(yàn)誤差指示子的性質(zhì)等,證明了自適應(yīng)內(nèi)罰間斷有限元方法的收斂性,即在連續(xù)迭代過(guò)程中,關(guān)于誤差函數(shù)的能量范數(shù)與尺度化的誤差指示子之和是壓縮的.

在本文中,除了特殊的常數(shù)外,為了避免重復(fù)使用一般的常數(shù)記號(hào),采用記號(hào)、和≈，即當(dāng)存在正常數(shù)C1、C2和C3,滿(mǎn)足x1≤C1y1,x2≥C2y2,x3≤y3≤C3x3成立時(shí),則簡(jiǎn)記為x1y1,x2y2,x3≈y3.

1 模型問(wèn)題及有限元離散

本節(jié)給出連續(xù)的變分問(wèn)題、間斷有限元空間和若干記號(hào)，通過(guò)引入提升算子,得到了2種等價(jià)的離散變分形式.

1.1 連續(xù)變分問(wèn)題

令Ω為3上的一個(gè)有界連通的多面體區(qū)域,其邊界為?Ω, n表示?Ω上的單位外法向量. 本文研究如下H(curl;Ω)橢圓問(wèn)題：

(1)

其中g(shù)(L2(Ω))3可表示為給定電磁場(chǎng)外源函數(shù). 模型問(wèn)題(1)可應(yīng)用于幾類(lèi)經(jīng)典電磁場(chǎng)問(wèn)題的數(shù)值模擬,如描述渦流模型[8]、描述時(shí)域電磁場(chǎng)問(wèn)題[9],對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行相關(guān)研究具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

令L2(Ω)表示定義在Ω上的L2可積函數(shù)的集合. 引入如下標(biāo)準(zhǔn)的Sobolev空間：

H0(curl;Ω)={u(L2(Ω))3:×u(L2(Ω))3,

n×u=0 on ?Ω}.

此時(shí)可得到模型問(wèn)題(1)的連續(xù)變分問(wèn)題:求uH0(curl;Ω),滿(mǎn)足:

a(u,v)=(g,v) (?vH0(curl;Ω)),

(2)

其中

a(u,v)=∫Ω((×u),(×v)+uv)dx,(g,v)=∫Ωgvdx.注意到雙線性型a(·,·)是對(duì)稱(chēng)正定的,從而利用Lax-Milgram定理可知連續(xù)變分問(wèn)題(2)是適定的.

1.2 有限元空間及若干定義

定義如下間斷有限元空間:

Vh={v(L2(Ω))3:vT=v∣T(Pl(T))3,?Th},

其中Pl(T)表示的是定義在T上次數(shù)不超過(guò)l的多項(xiàng)式集合,l≥1是某一個(gè)給定的整數(shù).

‖v‖Σh,‖v‖.

定義分片Sobolev函數(shù)空間

H1(Ω,h)={vL2(T):vT=v∣TH1(T),?Th}.

若e,則必僅存在某一個(gè)剖分單元Th,滿(mǎn)足e?T,此時(shí)定義:{{v}}=vT,[[v]]=n×vT,v(H1(Ω,h))3.

1.3 離散變分形式

與模型問(wèn)題(1)相對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)內(nèi)罰間斷有限元方法為[10]:求uhVh,滿(mǎn)足

aIP(uh,vh)=(g,vh)(?vhVh),

(3)

(4)

其中常數(shù)μ≥0表示內(nèi)罰參數(shù),he表示面e上的直徑.

為了將式(4)的平均項(xiàng)和跳躍項(xiàng)上的部分面積分改寫(xiě)為體積分形式,需要引入提升算子[11-12],進(jìn)而得到雙線性型aIP(·,·)的另一等價(jià)形式ah(·,·).

∫Ωh(v)·wdx=<[[v]],{{w}}>εh(?wVh).

(5)

引理1[12]4685存在一個(gè)僅依賴(lài)網(wǎng)格形狀正則和多項(xiàng)式次數(shù)有關(guān)的常數(shù)CL，使得

‖h(v)‖L2(Ω)≤CL‖‖L2(εh).

定義在(H1(Ω,h))3×(H1(Ω,h))3的雙線性型ah(·,·)和 泛函Fh(·)如下:ah(w,v)=(×w,×v)+(w,v)-(h(w),×v)-

(6)

和

Fh(v)=(g,v)(?v(H1(Ω,h))3).

利用式(5),并比較式(4)和式(5),容易得到

ah(uh,wh)=aIP(uh,wh) (?uh,whVh).

由此,可得到離散變分問(wèn)題(3)的另一個(gè)等價(jià)形式,求uhVh,滿(mǎn)足

ah(uh,vh)=Fh(vh) (?vhVh).

(7)

在函數(shù)空間(H1(Ω,h))3上定義依賴(lài)于網(wǎng)格的能量范數(shù):

(8)

下面的引理給出了ah(·,·)的連續(xù)性和強(qiáng)制性,其中關(guān)于連續(xù)性可參見(jiàn)文獻(xiàn)[13]131的引理4.2,關(guān)于強(qiáng)制性可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[12]4686的式(15).

ah(w,v)≤Ccont‖w‖h‖v‖h(?w,vVh),

(9)

同時(shí)存在常數(shù)μ0和Ccoer，使得對(duì)于μ≥μ0,有強(qiáng)制性結(jié)論:

ah(v,v)≥Ccoer‖v‖(?vVh).

(10)

利用引理2及Lax-Milgram定理可證明離散變分問(wèn)題(7)的解是存在且唯一的.

注2 為保證式(10)的強(qiáng)制性,μ需假設(shè)足夠大. 值得注意的是本文證明 AIDPG 方法的收斂性時(shí),對(duì)μ仍然需要假設(shè)足夠大(見(jiàn)定理1).

注3 由引理2可知:ah(·,·)≈‖·‖,即雙線性型形式與能量范數(shù)是等價(jià).

2 自適應(yīng)間斷有限元法

自適應(yīng)有限元方法的一般流程為[14]497:求解→估計(jì)→標(biāo)記→加密.

uh=SOLVE(h,g).

本文總假設(shè)上述所求得的有限元解是精確的.

基于文獻(xiàn)[7]的后驗(yàn)誤差估計(jì)的設(shè)計(jì)思想,定義如下一種基于殘量型的后驗(yàn)誤差估計(jì)指示子,即對(duì)于任意的單元Th,eεh,在單元上的誤差指示子為:

(11)

注意到由網(wǎng)格的形狀正則有hT≈he(即它們是相容的).

(12)

k+1=REEINE(k,k)

3 收斂性分析

本節(jié)首先給出間斷有限元空間的分解及相關(guān)預(yù)備知識(shí),然后利用誤差的整體上界估計(jì)及后驗(yàn)誤差指示子的性質(zhì)等,證明了自適應(yīng)內(nèi)罰間斷有限元方法的收斂性.

離散有限元空間Vh可分解為協(xié)調(diào)有限元空間和非協(xié)調(diào)有限元空間,即利用能量?jī)?nèi)積的正交分解,有

Vh⊕,

(13)

引理3(局部正交性)[7]19令uH0(curl;Ω)和uhVh分別是式(2)、(7)的解,則如下局部 Galerkin 正交性成立:

‖‖hμ1/2‖‖εh.

(14)

引理5[7]20令uhVh是式(7)的解,則存在一個(gè)常數(shù)μ1>μ0,其中μ0為引理2所給出的常數(shù),對(duì)任意的μ>μ1,有

引理6[7]21令uH0(curl;Ω)和uhVh分別是式(2)和式(7)的解,存在一個(gè)由引理5所給出的常數(shù)μ1,使得對(duì)任意的μ>μ1,有

ah(u-uh,u-uh)≤CUη2(uh,h).

(15)

在給出自適應(yīng)內(nèi)罰間斷有限元方法的收斂性之前,需要先介紹如下2個(gè)條件.

條件1 對(duì)1個(gè)單元剖分成2個(gè)單元的過(guò)程叫做單元加密,該過(guò)程由初始網(wǎng)格剖分0以及加密原則所決定. 如果T′是Th的細(xì)分,則存在常數(shù)0<βm≤βM<1滿(mǎn)足βmhT≤hT′≤βMhT. 而且0上任意的加密剖分h的形狀規(guī)則由0決定.

對(duì)于上述的自動(dòng)加密滿(mǎn)足的性質(zhì)與剖分形式無(wú)關(guān),因?yàn)閷?duì)于加密單元的形狀正則是保留上述性質(zhì)的. BINEV等[16]討論了依賴(lài)于初始標(biāo)記0的加密剖分的情形,對(duì)于更多情形的討論可參見(jiàn)文獻(xiàn)[17].

事實(shí)上,對(duì)任意的eεh,必存在某一個(gè)Th，滿(mǎn)足e?T,且由網(wǎng)絡(luò)的形狀正則性有he≤ChT. 同理，對(duì)任意e*εh*,如存在某一個(gè)T*h*，滿(mǎn)足e*?h*及hT*≤Che*,特別地，若e*e,則T*由T加密得到，因此由條件1有：hThT*，從而證得he≤ChThT*≤Che*.

利用誤差指示子的定義(12)和條件2,容易得到如下誤差指示子的單調(diào)性.

ηh*(V,h*)≤ηh(V,h) (?VVh).

再兩邊開(kāi)方即證得結(jié)論.

(1+ζ-1)Cer(‖×(V*-V)‖‖V*-V‖).

(16)

(17)

然后估計(jì)I2. 事實(shí)上,利用跡不等式及hT(0,1),則≤hT，從而可得:

I2‖×(V-V*)‖

(18)

(19)

把式(17)～(19)代入式(16),則證得所需結(jié)論.

(h(v),‖h(v)‖T‖×v‖T≤

(20)

ah*(v,v)≤ah(v,v)+

結(jié)論得證.

ah*(u-uh*,u-uh*)≤(1+ε)ah(u-uh,u-uh)-

(21)

ah*(u-uh*,u-uh*)=

ah*(u-uh*,u-uh*)≤ah*(u-uh,u-uh)-

Ccoer(‖‖‖‖

Ccont‖‖

(22)

(23)

把式(23)代入到式(22),并且運(yùn)用Young’s不等式可得:

a(u-uh*,u-uh*)≤(1+ε)a(u-uh,u-uh)-

(24)

此處ε(0,1). 利用三角不等式和式(14),可得:

‖‖μ‖‖

(25)

最后把式(25)代入式(24),并利用引理9 (其中令vh=u-uh(H1(Ω,h))3),即證得本引理的結(jié)論.

有了上述準(zhǔn)備工作,下面給出自適應(yīng)內(nèi)罰間斷有限元方法的收斂性證明.

(26)

證明 為了推導(dǎo)過(guò)程的書(shū)寫(xiě)方便,簡(jiǎn)記Eku-uk、ak(·,·)a(·,·)和ηkη(uk,k)分別為自適應(yīng)算法中第k步的誤差、雙線性型和誤差估計(jì)指示子.

(27)

(28)

為簡(jiǎn)化系數(shù),引入記號(hào):Λ1)和Λ2,則式(28)簡(jiǎn)化為:

(29)

推論1 在定理1的假設(shè)條件下,有

‖u-uk‖≤CΞ,

證明 利用強(qiáng)制性(10)以及定理1可知:Ccoer‖u-uk‖

αk(Ccont‖u-u0‖,0)).

(30)

‖u-uk‖,

推論1表明,對(duì)于任意給定的充許誤差精度,自適應(yīng)內(nèi)罰間斷有限元方法總會(huì)在有限步內(nèi)達(dá)到.

[1] RIVIERE B. Discontinuous Galerkin methods for solving elliptic and parabolic equations:theory and implementation[M]. Philadelphia:Society for Industrial and Applied Mathematics,2008.

[2] 張鐵. 間斷有限元理論與方法[M]. 北京：科學(xué)出版社,2012.

[3] FEZOUI L,LANTERI S,LOHRENGEL S,et al. Convergence and stability of a discontinuous Galerkin time-domain method for the 3D heterogeneous Maxwell equations on unstructured meshes[J]. Esaim Mathematical Modelling & Numerical Analysis,2005,39(6):1149-1176.[4] WANG J X,XIE Z Q,CHEN C M. Implicit DG method for time domain maxwell’s equations involving metamaterials[J]. Advances in Applied Mathematics and Mechanics,2015,7(6):796-817.

[5] ZHONG L Q,SHU S,CHEN L,et al. Convergence of adaptive edge finite element methods forH(curl)-elliptic problems[J]. Numerical Linear Algebra with Applications,2010,17(2/3):415-432.

[6] ZHONG L Q,CHEN L,SHU S,et al. Convergence and optimality of adaptive edge finite element methods for time-harmonic Maxwell equations[J]. Mathematics of Computation,2012,81(278):623-642.

[7] 邢小青,鐘柳強(qiáng).H(curl)-橢圓問(wèn)題不連續(xù) galerkin 法的后驗(yàn)誤差估計(jì)[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,44(3):18-21.

XING X Q,ZHONG L Q. A posteriori error estimate of discontinuous Galerkin methods forH(curl)-elliptic problems[J]. Journal of South China Normal University(Natural Science Edition),2012,44(3):18-21.[8] BOSSAVIT A. Computational electromagnetism:variational formulation,complementarity,edge elments[M]. San Diego,CA:Academic Press,1998.

[9] HIPTMAIR R. Multigrid method for Maxwell’s equations[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis,1999,36(1):204-225.

[10]ARNOLD D. An interior penalty finite element method with discontinuous elements[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis,1982,19(4):742-760.

[11]BASSI F,REBAY S. A high-order accurate discontinuous finite element method for the numerical solution of the compressible Navier-Stokes equations[J]. Journal of Computational Physics,1997,131(2):267-279.

[12]PERUGIA I,SCHOTZAU D,MONK P. Stabilized interior penalty methods for the time-harmonic maxwell equations[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2002,191(41-42):4675-4697.

[13]HOUSTON P,PERUGIA I,SCHOTZAU D. An a posteriori error indicator for discontinuous galerkin discretizations ofH(curl)-elliptic partial differential equations[J]. IMA Journal of Numerical Analysis,2007,27(1):122-150.

[14]NOCHETTO R H,SIEBERT K G,VEESER A. Theory of adaptive finite element methods:an introduction[M]∥DEVORE R,KUNOTH A. Multiscale,nonlinear and adaptive approximation. Berlin:Springer,2009:409-542.

[15]DORFLER W. A convergent adaptive algorithm for poisson’s equation[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis,1996,33(3):1106-1124.

[16]BINEV P,DAHMEN W,DEVORE R A. Adaptive finite element methods with convergence rates[J]. Numerische Mathematik,2004,97(2):219-268.

[17]BANSCH E. Local mesh refinement in 2 and 3 dimensions[J]. Impact of Computing in Science and Engineering,1991,3(3):181-191.

【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文責(zé)編：肖菁】

Convergence of Adaptive Interior Penalty Discontinuous Galerkin Methos for H(curl)-Elliptic Problems

ZHONG Liuqiang*, CHENG Ting, XING Xiaoqing*

(School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

The convergence of Adaptive Interior Penalty Discontinuous Galerkin methos (AIPDG) forH(curl)-elliptic problem is proved. To this end, the discontinuous finite element space is decomposed into the edge finite element and the corresponding orthogonal space, then the global upper bound, two conditions for the meshsizes between the refinement procedure, and the property of the error of estimator are established and combined. At last, the AIPDG is proved to be a contraction, for the sum of the norm of energy error estimation and the scaled error indicator, between two consecutive adaptive loops; namely, AIPDG is convergent.

Interior Penalty Discontinuous Galerkin method; adaptive algorithm; the error of estimator; convergence

2016-06-29 《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11671159);廣東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2016A030313842);全國(guó)博士學(xué)位論文作者專(zhuān)項(xiàng)資金項(xiàng)目(201212);廣東省高等學(xué)校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計(jì)劃專(zhuān)項(xiàng)(Yq2013054);廣州市珠江科技新星項(xiàng)目(2013J2200063)

O241.82

A

1000-5463(2016)05-0092-07

*通訊作者:鐘柳強(qiáng),教授,Email:zhong@scnu.edu.cn;邢小青,副教授,Email:xingxq@scnu.edu.cn.