黎 穩(wěn), 陳艷美, 莫榮華

(1. 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510631; 2. 廣東技術(shù)師范學(xué)院計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510665;3. 廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣州 510006)

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可對角化矩陣的特征值與特征空間的擾動

黎 穩(wěn)1*, 陳艷美1,2*, 莫榮華3

(1. 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510631; 2. 廣東技術(shù)師范學(xué)院計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510665;3. 廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣州 510006)

矩陣特征值和特征空間的計算是數(shù)值代數(shù)的重要課題之一,在科學(xué)工程計算等領(lǐng)域有重要的作用. 而特征值與特征空間的擾動分析是有關(guān)特征值數(shù)值分析的一個重要研究方向,它的經(jīng)典結(jié)果分別是特征值擾動的Hoffman-Wielandt定理和特征空間的sinθ定理. 文中所考慮的是可對角化矩陣的乘法與加法擾動下的特征值與特征空間的組合擾動分析，給出了組合擾動界,所得到的結(jié)果推廣了Hermite矩陣的組合擾動的相關(guān)結(jié)果. 另一方面，從新得到的結(jié)果可以分別導(dǎo)出有關(guān)特征值和特征空間的擾動界.

可對角化矩陣； 加法擾動界； 乘法擾動界

許多科學(xué)與工程計算都涉及矩陣特征值計算問題，而特征值的敏感性分析是特征值的數(shù)值分析中的重要方向. 不少學(xué)者研究了特征系統(tǒng)的擾動界[1-8],提出了矩陣分解的一些組合擾動界[6-7，9-10].特別地,給出了Hermitian矩陣的特征系統(tǒng)的一些組合擾動界[6-7]. 為了對矩陣的特征系統(tǒng)給出組合擾動界,首先介紹一些符號.

AX=X，

(1)

(2)

(3)

(4)

眾所周知,矩陣的擾動有2種不同的方式：

定義

(5)

(6)

(7)

界(7)的1個漸近形式是

(8)

本文首先給出了加法擾動的組合擾動界,改進(jìn)了界(7)的結(jié)果;然后得到了乘法擾動的組合擾動界,推廣了式(8)的結(jié)果.

1 加法擾動界

本節(jié)主要得到特征值與特征空間在加法擾動下的組合擾動界. 首先給出一些引理.

引理1[12]52假定X=(X1,X2)n×n是一個非奇異矩陣,其中X1n×m,那么對于2-或者F-范數(shù)‖·‖和任意的列滿秩矩陣n×m,有 ‖‖≤‖‖2‖‖2‖‖,

(9)

其中用M?表示矩陣M的Moore-Penrose逆.

引理2[13]167設(shè)TCn×n和i=diag(n×n(i=1,2,3,4),則一定存在集合〈n〉的一個置換,使得‖1T2-3T4‖,

(10)

其中σmin(T)是矩陣T的最小奇異值.

(11)

證明 由式(1)可得

再由式(4)可得

(12)

顯然有

(13)

綜合式(4)和式(5)可得

(14)

再由引理1 和引理2,存在集合〈r〉的轉(zhuǎn)置,使得

從而證明了式(11).

(15)

其中κ(X)=‖X‖2‖X-1‖2是矩陣X的譜條件數(shù). 不等式(15)可見文獻(xiàn)[14]335和文獻(xiàn)[15]107.

由式(11)可得sinθ型定理[16]. 事實(shí)上，有

(16)

2 乘法擾動的情形

引理3[5]475-476已知Ωs×s和Γt×t是2個Hermite矩陣,而且E,Fs×t. 如果(Ω)(Γ)=?,那么ΩX-XΓ=ΩE+FΓ有唯一解Xs×t,而且

引理4[6]245已知=diag(1,…,r)和(1,…,r)滿足，則一定存在集合〈r〉的一個置換,使得

下面給出可對角化矩陣的特征值和特征空間的組合擾動界.

(17)

(18)

從而得到

(19)

和

(20)

把引理3用到式(19)可得

(21)

又由引理1可得

(22)

由式(21)和式(22)可得

(23)

由引理4 和式(20)可得存在〈r〉上的置換,使得

再結(jié)合式(23)可以得到

由此證明了定理2.

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【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文責(zé)編：肖菁】

Perturbation Bounds of Eigenvalues and Eigenspaces for Diagonalizable Matrices

LI Wen1*, CHEN Yanmei1,2*, MO Ronghua3

(1. School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou 510631, China; 2. School of Computer Science, Guangdong Polytechnic Normal University, Guangzhou 510665, China; 3. School of Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China)

The computation for eigenvalues and eigenspaces is one of the important research fields in numerical algebra, and it plays an important role in scientific Engineering computations. The perturbation analysis for eigenvalues and eigenspaces is one of the significant topics in the numerical analysis in eigenvalue computing. The classical perturbation results are the Hoffman-Wielandt theorem for eigenvalue perturbation and the sinθfor the eigenspace. In this paper, the combined perturbation analysis for the matrix and it’s perturbed matrix being diagonalizable matrices under the additive and the multiplicative perturbation are considered, and their combined perturbation bounds are given, respectively, which extend the corresponding combined perturbation result for the Hermitian matrix case. On the other hand, the eigenvalue perturbation bound and the eigenspace perturbation bound can be derived from the new bounds, respectively.

diagonalizable matrix; additive perturbation bound; multiplicative perturbation bound

2016-05-12 《華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11271144,11571124,11671158,11601340); 中山大學(xué)廣東省計算科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目(2016016); 廣東技術(shù)師范學(xué)院青年科研項(xiàng)目

O241.6

A

1000-5463(2016)05-0082-04

*通訊作者:黎穩(wěn),教授,Email:liwen@scnu.edu.cn;陳艷美,講師,Email:chch1980@163.com.