楊敏波,鄭 雨

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

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一類分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Possion方程組的Pohozaev等式*

楊敏波,鄭 雨

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

建立了一類分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Possion方程組的Pohozaev等式,利用臨界點(diǎn)理論的方法，把一類分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Possion方程組問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具有非線性Neumann邊值條件的橢圓方程組的問(wèn)題，從而改進(jìn)了經(jīng)典的半線性情形的相應(yīng)結(jié)論.

Schr?dinger-Possion方程組;Pohozaev等式;分?jǐn)?shù)階Laplace算子;變分法

0 引 言

近年來(lái),分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Possion方程組解的存在性問(wèn)題引起了很多學(xué)者的關(guān)注,這類問(wèn)題有著深刻的物理背景,例如:反常擴(kuò)散問(wèn)題、晶體脫位問(wèn)題、軟薄膜問(wèn)題、半透膜問(wèn)題和水波問(wèn)題等.

在證明方程組解的存在性過(guò)程中,建立方程組的Pohozaev等式是一件十分重要的工作[1-5].本文的目的是建立方程組

(1)

的Pohozaev等式.

(2)

令

(3)

并考慮方程組

(4)

由方程(3)中T的定義知,此時(shí)方程組(1)等價(jià)于以下問(wèn)題：

(5)

則方程的解對(duì)應(yīng)著泛函的臨界點(diǎn).

本文的主要結(jié)論是以下定理:

其中:X=(x,xN+1);x=(x1,x2,…,xN)∈RN.

1 一些概念及引理

為證明分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Possion方程組的Pohozaev等式,首先需要證明此類分?jǐn)?shù)階非局部方程解的正則性.有關(guān)正則性證明可參考文獻(xiàn)[1]中的命題3.9.

∫△R(-Δv(X·v)v|2dX+∫bRvN+1

(6)

∫△Rv(X·v)

(7)

∫bRg(v)(x·v)dx=-N∫bRG(v)dx+R∫?bRg(v)dτ.

(8)

證明 如果令i∈{1,2,…,N+1}，并定義?△R的外法向量為ν,那么

即

(9)

對(duì)任意i,j∈{1,2,…,N+1},通過(guò)格林公式可得

對(duì)i∈{1,2,…,N+1}求和，利用式(9)可證得式(7).

若將積分區(qū)域△R替換為bR,則對(duì)任意i∈{1,2,…,N},有

對(duì)i∈{1,2,…,N}求和,利用式(9)可證得式(8).引理2證畢.

∫bRvφ(x·v)φφτ.

(10)

證明 對(duì)?v∈H1(RN),存在唯一的φ∈D1,2(RN),使得

(11)

即φ是方程-Δφ=4πv2在RN中的唯一解.詳見(jiàn)文獻(xiàn)[3]

利用引理1，將積分區(qū)域△R替換為bR可得(詳細(xì)證明見(jiàn)文獻(xiàn)[5]引理3.1)

(12)

(13)

由方程(11)可得

(14)

由方程(12)～方程(14)可知結(jié)論成立.引理 3證畢.

引理4[4]如果v∈H1(RN),那么存在一序列{Rn},Rn→∞,當(dāng)n→∞時(shí),有

引理5 若v∈H1(RN),則

證明 根據(jù)引理3和引理4可得

由于φ是方程(11)在D1(RN)中的解，所以

綜上所述，即在邊界所求的積分趨向0.引理 5證畢.

2 定理1的證明

定理1的證明 將方程組(5)的第1個(gè)方程乘以x·v在△R上的積分，可得

(15)

由方程組(5)中的第2個(gè)方程的邊界條件得

利用引理1和引理2可得

定理1證畢.

Pohozaev等式是由Pohozaev在討論Dirichlet問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)重要的恒等式,它在研究沒(méi)有非平凡解的方程中具有重要的作用.近幾十年來(lái),很多人研究Pohozaev等式.例如:文獻(xiàn)[6]考慮了一般的半線性橢圓方程的Pohozaev等式;文獻(xiàn)[7]證明了擬線性偏微分方程的Pohozaev等式等.所以,研究本文方程組(5)的Pohozaev等式具有重要的意義.

[1]VittorioCotiZ,MargheritaN.Existenceofgroundstatesfornonlinear,pseudo-relativisticSchr?dingerequations[J].MatAppl,2011,22(1):51-72.

[2]AzzolliniA,D′AveniaP,PomponioA.OntheSchr?dinger-maxwellequationsundertheeffectofageneralnonlinearterm[J].AnnInstHPoincaréAnalNonLinéaire,2010,27(2):779-791.

[3]D′AprileT,MugnaiD.Non-existenceresultsforthecoupledKlein-Gordon-Maxwellequations[J].AdvNonlinearStud,2004,4(3):307-322.

[4]D′AprileT,MugnaiD.SolitarywavesfornonlinearKlein-Gordon-MaxwellandSchr?dinger-Maxwellequations[J].ProcRoySocEdinburghSectA,2004,134(5):893-906.

[5]ChangXiaojun,WangZhiqiang.GroundstateofstateofscalarfieldequationsinvolvingafractionalLaplacianwithgeneralnonlinearity[J].Nonlinearity,2013,26(2):479-494.

[6]NiWeiming.UniquenessofsolutionsofnonlinearDirichletproblems[J].JDierentialEqu,1983,50(2):289-304.

[7]GhoussoubN,YuanChaoqui.Multiplesolutionsforquasi-linearPDEsinvolvingthecriticalSobolevandHardyexponents[J].TransAmerMathSoc,2000,352(12):479-494.

(責(zé)任編輯 陶立方)

The Pohozaev identity for fractional Schr?dinger-Possion system

YANG Minbo,ZHENG Yu

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

The Pohozaev type identity for the system of fractional Schr?dinger-Possion type was studied.By the critical point theory,a kind of fractional Schr?dinger-Possion equations problem was transformed to the problem of elliptic equations with nonlinear Neumann boundary conditions.The results improved the corresponding ones for the classical semilinear case.

Schr?dinger-Possion system; Pohozaev identity; fractional Laplace; variational method

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.01.006

??2015-06-23；

2015-10-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271331)

楊敏波(1979-),男,浙江杭州人,副教授.研究方向：非線性泛函分析.

O175.25

A

1001-5051(2016)01-034-04