夏永輝,陳麗君,陳錦松,吳海輝

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004;2.福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350002;3.福州大學(xué) 陽光學(xué)院，福建 福州 350002)

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具有廣義指數(shù)型二分性的擾動系統(tǒng)的周期解*

夏永輝1,陳麗君1,陳錦松2,吳海輝3

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004;2.福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350002;3.福州大學(xué) 陽光學(xué)院，福建 福州 350002)

經(jīng)典的指數(shù)型二分性理論已經(jīng)得到較為完善的發(fā)展,但經(jīng)典指數(shù)型二分性相對較強,限制了很多動力學(xué)行為.為了得到更多的動力學(xué)性質(zhì),在現(xiàn)有廣義指數(shù)型二分性概念的基礎(chǔ)上，主要采用壓縮不動點定理，探討了當(dāng)線性部分具有廣義指數(shù)型二分性時,擾動系統(tǒng)周期解的存在唯一性.得到了該系統(tǒng)周期解存在且唯一的一些充分條件.

指數(shù)型二分性;線性系統(tǒng);周期解;擾動系統(tǒng)

0 引 言

考慮線性系統(tǒng)

(1)

定義1 如果存在一個投影P(P2=P)、正的常數(shù)K和α,滿足

其中X(t)為系統(tǒng)(1)的基本解矩陣,那么稱系統(tǒng)(1)具有(經(jīng)典)指數(shù)型二分性.

當(dāng)線性部分具有(經(jīng)典)指數(shù)型二分性時,已經(jīng)有許多學(xué)者討論了其擾動系統(tǒng)的周期解的存在唯一性問題[1-18].然而,這些結(jié)果的基本假設(shè)都是基于線性系統(tǒng)具有(經(jīng)典)指數(shù)型二分性基礎(chǔ)之上的.但(經(jīng)典)指數(shù)型二分性相對較強,限制了很多動力學(xué)行為.為得到更廣泛的動力學(xué)性質(zhì),文獻[19-21]提出了廣義指數(shù)型二分性的概念;文獻[22-24]還利用廣義指數(shù)二分性推廣了Hartman線性化的相關(guān)結(jié)果.本文將討論當(dāng)線性系統(tǒng)具有廣義指數(shù)型二分性時,擾動系統(tǒng)的周期存在性與唯一性問題.

1 主要定義及引理

定義2 如果存在投影P、正常數(shù)K和連續(xù)函數(shù)α(t):R→(0,+∞),

使得

(2)

式(2)中X(t)是線性系統(tǒng)

(3)

的基本解矩陣,則稱線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性.

例1 系統(tǒng)

具有廣義指數(shù)型二分性,但是不滿足經(jīng)典的指數(shù)型二分性.因此，研究當(dāng)線性系統(tǒng)具有廣義指數(shù)型二分性時擾動系統(tǒng)的性質(zhì)具有重要理論意義.

引理1 若線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性,則它不存在非平凡的有界解.

證明 若線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性,則存在一個投影P、正常數(shù)K和連續(xù)函數(shù)α(t)滿足式(2).設(shè)x(t)是線性系統(tǒng)(3)的任意一個有界解,則存在n階實向量ξ,使得

所以只需證明Pξ=0,(I-P)ξ=0.若Pξ≠0,則考慮t≤0.因為

所以,由式(2)可得

‖Pξ‖=‖X(0)Pξ‖=‖X(0)PX-1(t)X(t)Pξ‖≤

于是

(4)

另一方面,

‖X(t)(I-P)ξ‖=‖X(t)(I-P)X-1(0)X(0)(I-P)ξ‖≤

(5)

從式(4)和式(5)可以得出

引理2 若線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性,則滿足系統(tǒng)(3)的投影P是唯一的.

使得下式成立:

(6)

任取ξ∈Rn,考慮t≥0,由不等式(6)得

(7)

對?t≤0,有

(8)

引理3 若線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性,則系統(tǒng)

(9)

存在唯一的有界解

其中:A(t)是定義在R上的連續(xù)有界方陣;f:Rn→Rn連續(xù).

證明 令

(10)

直接對式(10)微分,容易驗證x0(t)是系統(tǒng)(9)的一個解.從而得

由于線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性,且

所以存在M>0,使得當(dāng)s→∞時有

(11)

(12)

由式(11)和式(12)得

于是得出x0(t)是系統(tǒng)(9)的一個有界解.由引理1和引理2可知系統(tǒng)(9)的有界解是唯一的,且

引理3證畢.

2 主要結(jié)果(周期解)

定理1 若系統(tǒng)(3)是一個周期為ω的線性系統(tǒng)且具有廣義指數(shù)型二分性,則X(t)PX-1(s)是一個以ω為周期的函數(shù).

顯然,X(T)PX-1(T) 也是線性系統(tǒng)(3)的一個投影.由引理2可得X(T)PX-1(T)=P.于是

定理1證畢.

注1 當(dāng)廣義指數(shù)型二分性變成經(jīng)典指數(shù)型二分性時,α(t)≡α,定理1就退化成經(jīng)典指數(shù)型二分性的已知結(jié)果(見文獻[2]定理3.18).

定理2 若線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性,且A(t+ω)=A(t),f(t+ω)=f(t),則系統(tǒng)(9)具有唯一的周期解.

證明 設(shè)x(t) 是系統(tǒng)(9)的解,由引理3可得

(13)

且系統(tǒng)(9)的解是唯一的.下證周期性.由式(13)得

令τ=s-ω，且由定理1和條件f(t+ω)=f(t)可知

因此,系統(tǒng)(9)具有唯一的周期解.定理2證畢.

現(xiàn)在考慮非線性系統(tǒng)

(14)

式(14)中:A(t)是定義在R上的連續(xù)有界方陣;f:R×Rn→Rn連續(xù).記

定理3 若線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性，且

(15)

則系統(tǒng)(14)存在唯一的周期解.

證明 設(shè)B={φ(t) |φ(t+ω)=φ(t)}，對于?φ(t)∈B,令

(16)

由定理2可知,系統(tǒng)(16)存在唯一的周期解,記作

定義算子T:φ→xφ,于是Tφ(t)=xφ(t).由式(2)和式(15)可得

對于?φ(t)∈B及ψ(t)∈B,由式(15)可得

‖Tφ(t)-Tψ(t)‖=

由已知條件可知2KLr<1,所以T:φ→xφ存在唯一的不動點.因此,系統(tǒng)(14)存在唯一的周期解.定理3證畢.

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(責(zé)任編輯 陶立方)

Periodic solution of perturbed system with generalized exponential dichotomy

XIA Yonghui1,CHEN Lijun1,CHEN Jinsong2,WU Haihui3

(1.CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China; 2.CollegeofMathematicsandComputerScience,FuzhouUniversity,Fuzhou350116,China; 3.CollegeofSunshine,FuzhouUniversity,Fuzhou350002,China)

The classical exponential dichotomy had been well developed,while the concept of classical exponential dichotomy was always too strong.It restricted many dynamic behavior.A set of sufficient conditions were obtained for the periodic solutions of non-autonomous nonlinear system if the linear part admited a generalized exponential dichotomy.

exponential dichotomy; linear system; periodic solution; perturbed system

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.01.005

??2015-03-12；

2015-06-12

浙江省自然科學(xué)基金資助項目(LY15A010007)；中國博士后基金資助項目(2014M562320);福州大學(xué)基礎(chǔ)課骨干教師訪問基金資助項目;福建省教育廳科研項目(JB12254)

夏永輝(1978-)，男，福建壽寧人，教授，博士.研究方向：常微分方程與動力系統(tǒng).

O241

A

1001-5051(2016)01-028-06