柏黎平

分析各地中考試卷，可以發(fā)現(xiàn)不少以二次函數(shù)知識為背景的壓軸題.二次函數(shù)在初中數(shù)學學習中占有重要地位，因其可以涵蓋初中數(shù)學的所有知識點，具有較強的綜合性，所以廣受各地中考命題人員的青睞.

二次函數(shù)壓軸題能考查綜合運用知識的能力，具有知識點多、條件隱蔽、關(guān)系復雜、思路難覓、解法靈活等特點，因此是中考數(shù)學的難點.不過，如果我們能在做習題的基礎上多總結(jié)一些方法，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，有些難點就能較快突破.下面我們就一類二次函數(shù)與三角形面積的最值問題，來探求其中方法與規(guī)律.

一、規(guī)律發(fā)現(xiàn)

引例 已知二次函數(shù)y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點（A左B右），與y軸交于點C，連接BC，點P為直線BC上方拋物線上一動點，求△PBC面積的最大值及此時點P的坐標.

【解析】本題為求三角形面積最值問題，可以采用平行線法或構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值等兩種思路來解決問題.

解法1：如圖1，易求直線BC的解析式為：y=-x+3，所以可設直線l為y=-x+b.過點P作直線l∥BC，則多數(shù)情況下，直線l與拋物線有兩個交點，此時S△PBC顯然不是最大；當直線l與拋物線有唯一交點（即方程[y=-x+b，y=-x2+2x+3]有唯一解）時，點P到BC的距離最大，因此S△PBC最大.①代入②化為一元二次方程可得x2-3x+b-3=0，當Δ=0時，方程有兩個相等實數(shù)根，即b=[214].將b的值代回原方程組，可得此時點P的坐標為[32，154]，再由P、B、C點坐標可求得△PBC的面積最大值為：[278].

解法2：如圖2，同樣求得直線BC的解析式為：y=-x+3.過點P作直線垂直于x軸，交直線BC于點D.

因為點P在拋物線上，所以可設點P坐標為（n，-n2+2n+3）（0≤n≤3），點D在BC上，因此坐標為（n，-n+3）；以PD為底邊，設△PDC的高為h1，設△PDB的高為h2，則h1+h2=3，PD=（-n2+2n+3）-（-n+3）=-n2+3n.

S△PBC=S△PDC+S△PDB=[12]PD·h1+[12]PD·h2

=[12]PD·（h1+h2）=[12]PD×3=[32]PD

=[32]（-n2+3n）=-[32]n2+[92]n.

這樣，S△PBC就是關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)易得當n=[32]時，S△PBC的最大值為[278]，此時點P坐標為[32，154].

【發(fā)現(xiàn)1】在解法1中，當三角形面積取得最大值時，只存在一個△PBC，但當面積縮小時，可能同時存在兩個不同的△PBC；

【發(fā)現(xiàn)2】在解法2中，將△PBC進行縱向切割，將其分割為兩個底邊都為PD的三角形，它們的高的和就是BC兩點的橫坐標的差；

【發(fā)現(xiàn)3】注意觀察兩種解法中，當三角形面積取得最大值時，點P的橫坐標是[32]，而點C的橫坐標為0，點B的橫坐標為3，可以理解為點P的橫坐標恰好是線段BC中點的橫坐標.其實這種情況并不是巧合，是一種規(guī)律，是可以用數(shù)學方法證明的.（有興趣的同學可以拋物線y=ax2+bx+c和直線y=mx+n（am≠0）的交點是（x1，y1），（x2，y2）為一般情況進行證明，這里就不贅述.）

二、試刀中考

例1 （2016·江蘇蘇州）如圖3，直線l∶y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2-2ax+a+4（a<0）經(jīng)過點B.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達式，并求出S的最大值；

（3）略.

【解析】（1）方法略，函數(shù)解析式為：y=-x2+2x+3；

（2）本題初看與上面的引例不同，但其拋物線上的動點，及計算三角形面積的最值都與引例類似，可用解法2的方法求解問題，不過考慮到縱向作垂線分割三角形計算有一定的困難，可以采用橫向作垂線分割三角形，縱向距離為高.

如圖4，過點M作ME⊥y軸于點E，交AB于點D，可設點M坐標為（m，-m2+2m+3），D在AB上，因此D坐標為：

[m2-2m3，-m2+2m+3]， DM=[-m2+5m3]，

S=[12]DM（BE+OE）=[12]DM·OB

=[12]×3×[-m2+5m3]=-[12]m2+[52]m.

然后可由二次函數(shù)性質(zhì)求出最大值為[258].

【評析】在平面直角坐標系中研究一些圖形的面積時，可采用割補法將復雜、不規(guī)則的圖形分割成若干個三角形計算.分割時要注意以下幾點：①分割后的三角形面積應該容易計算；②一般的分割方法為橫向或縱向；③如有必要，也可斜向分割.

如本題中也可連接OM，計算四邊形BOAM的面積減△BOA的面積.有時可能要進行多次嘗試，才能找到更為簡單的計算三角形面積的方法.

例2 （2010·江蘇徐州）如圖5，已知二次函數(shù)y=-[14]x2+[32]x+4的圖像與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點，其對稱軸與x軸交于點D，連接AC.

（1）點A的坐標為 ，點C的坐標為 ；

（2）線段AC上是否存在點E，使得△EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）點P為x軸上方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時，相應的點P有且只有2個？

【解析】（1）解答略，A（0，4），C（8，0）.

（2）易得D（3，0），CD=5.直線AC對應的解析式為y=[-12]x+4，分三種情況討論：①DE=DC，②ED=EC，③CD=CE，可求得三個點E的坐標分別為：E1（0，4），E2[112，54]，E3（8-[25]，[5]）.

（3）本題思路較為難覓，關(guān)鍵要理解“S取何值時，相應的點P有且只有2個”這句話的意思：其實只要考慮S的取值范圍（即最大值與最小值），然后探討在S取不同數(shù)值時的點P的個數(shù)即可.在求S的取值范圍時，還要對點P所在的位置進行討論，當點P的位置在AC上方時，就可以用引例中的兩種方法求S的最大值，我們以第二種方法來解.

過P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC于點Q.設P（m，-[14]m2+[32]m+4），則Q（m，-[12]m+4）.

① 當點P在AC上方時，即0

此時當且僅當S=16時，相應的點P只有1個，當0

② 點P在AB之間時，即-2

故S=16時，相應的點P有且只有兩個.

【評析】本題的第（3）題問法比較難理解，尤其是“相應的點P有且只有2個”，這需要對此問題有一定的研究經(jīng)驗，知道引例中的平行線研究方法的原理（關(guān)鍵是不同面積數(shù)值與點P的個數(shù)的對應關(guān)系），否則不容易聯(lián)想到要考慮△PAC面積的取值范圍.當然，在具體計算S的最大值時，還是用設坐標，用含m的代數(shù)式表示△PAC的面積的方法更為簡潔一些.

值得一提的是，如果我們能想到引例中“發(fā)現(xiàn)3”揭示的規(guī)律，甚至可以更為簡單地求出當點P在AC上方時S的最大值，即：當點P的橫坐標取點A（0，4）和點C（8，0）的中點（4，2）的橫坐標4時，△PAC的面積最大，于是可以迅速得出點P的坐標為（4，6），△PAC的面積就可以直接求，不必再用引例中的兩種稍嫌復雜的方法解答.可見，當我們做多了習題后，若能注重對同類型的問題進行一般性的總結(jié)，往往可以得出實用的規(guī)律，幫助我們簡化解題過程，從而節(jié)省計算的時間.

（作者單位：江蘇省太倉市雙鳳中學）