安徽省太和中學(xué) 岳 峻 劉 陽

平面向量要點點撥

安徽省太和中學(xué) 岳 峻 劉 陽

向量作為溝通“數(shù)”和“形”的重要工具，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的基本概念之一。向量具有“幾何形式”與“代數(shù)形式”兩重身份，既有明確的幾何意義，又可以像數(shù)那樣的運算，是代數(shù)與幾何的一個交匯點。向量為同學(xué)們提供了一種重要的、有價值的數(shù)學(xué)工具，同時又創(chuàng)設(shè)了一種新的數(shù)學(xué)思維情境，把幾何從“思辨數(shù)學(xué)”化成“算法數(shù)學(xué)”，將“技巧性解題”化成“算法解題”。向量法是一種具有廣闊應(yīng)用空間的通法。

對平面向量的考查分為三個層次：

第一層次：主要考查向量的性質(zhì)和運算法則，要求掌握基本運算技能，理解其直觀的幾何意義，并能正確地進行運算。

第二層次：主要考查向量的坐標(biāo)表示，向量的線性運算。

第三層次：和其他數(shù)學(xué)知識結(jié)合在一起，如可以和曲線、數(shù)列等知識結(jié)合，考查邏輯推理和運算能力。

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將幾何知識和代數(shù)知識有機地結(jié)合在一起，能夠開闊解題思路。

一、對平面向量幾何運算法則的理解

分析 本題的求解過程實際上就是對平面向量幾何運算法則反復(fù)應(yīng)用的過程。

點評 解答此類問題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形合理選取平面向量的基底，并利用向量加、減法表示待求向量。

例2 設(shè)a、b是向量，則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（ ）。

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

分析 平面向量加、減的幾何運算遵循平行四邊形法則，如右圖所示，若|a|=|b|，亦即平行四邊形的鄰邊相等，則該四邊形為菱形；若|a+b|=|a-b|，亦即平行四邊形的對角線相等，則該四邊形為矩形，即a⊥b。

解析 若向量a、b滿足|a|=|b|，則以a、b為相鄰兩邊的平行四邊形為菱形；

若向量a、b滿足|a+b|=|a-b|，則以a、b為相鄰兩邊的平行四邊形為矩形。

因為菱形不一定為矩形，矩形也未必是菱形，

所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要條件。故選D。

點評 本題也可以按如下方法解決：|a+b|=|a-b|?（a+b）2=（a-b）2?a·b=0?a⊥b，與|a|=|b|沒有關(guān)系，故“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要條件。

解析 本題如果直接利用向量的夾角公式計算，將有很大的運算量。若利用向量的幾何意義，問題將會大大簡化。表示點A在以C為圓心、為半徑長的圓上，數(shù)形結(jié)合，易求出的夾角的范圍為。故選D。

二、對平面向量坐標(biāo)運算的掌握

例4 已知平面向量a=（1，2），b=（4，2），c=ma+b（m∈R），且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m=（ ）。

A.-2 B.-1 C.1 D.2

分析 平面向量a與b的數(shù)量積為a·b=|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角。要注意夾角的定義和它的取值范圍（0°≤θ≤180°）。

所以m=2。故選D。

三、三角形內(nèi)心、外心的向量表示

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

四、平面向量的綜合應(yīng)用

點評 平面向量應(yīng)用性問題常常要利用向量的坐標(biāo)運算來解決。當(dāng)題中出現(xiàn)明顯的垂直特征時，應(yīng)優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，用向量表示出要題中給定的條件，再利用幾何意義進行求解。