安徽省太和中學 岳 峻 劉 陽

平面向量要點點撥

安徽省太和中學 岳 峻 劉 陽

向量作為溝通“數(shù)”和“形”的重要工具，是現(xiàn)代數(shù)學中的基本概念之一。向量具有“幾何形式”與“代數(shù)形式”兩重身份，既有明確的幾何意義，又可以像數(shù)那樣的運算，是代數(shù)與幾何的一個交匯點。向量為同學們提供了一種重要的、有價值的數(shù)學工具，同時又創(chuàng)設了一種新的數(shù)學思維情境，把幾何從“思辨數(shù)學”化成“算法數(shù)學”，將“技巧性解題”化成“算法解題”。向量法是一種具有廣闊應用空間的通法。

對平面向量的考查分為三個層次：

第一層次：主要考查向量的性質(zhì)和運算法則，要求掌握基本運算技能，理解其直觀的幾何意義，并能正確地進行運算。

第二層次：主要考查向量的坐標表示，向量的線性運算。

第三層次：和其他數(shù)學知識結(jié)合在一起，如可以和曲線、數(shù)列等知識結(jié)合，考查邏輯推理和運算能力。

應用數(shù)形結(jié)合思想，將幾何知識和代數(shù)知識有機地結(jié)合在一起，能夠開闊解題思路。

一、對平面向量幾何運算法則的理解

分析 本題的求解過程實際上就是對平面向量幾何運算法則反復應用的過程。

點評 解答此類問題的關鍵是結(jié)合圖形合理選取平面向量的基底，并利用向量加、減法表示待求向量。

例2 設a、b是向量，則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（ ）。

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

分析 平面向量加、減的幾何運算遵循平行四邊形法則，如右圖所示，若|a|=|b|，亦即平行四邊形的鄰邊相等，則該四邊形為菱形；若|a+b|=|a-b|，亦即平行四邊形的對角線相等，則該四邊形為矩形，即a⊥b。

解析 若向量a、b滿足|a|=|b|，則以a、b為相鄰兩邊的平行四邊形為菱形；

若向量a、b滿足|a+b|=|a-b|，則以a、b為相鄰兩邊的平行四邊形為矩形。

因為菱形不一定為矩形，矩形也未必是菱形，

所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要條件。故選D。

點評 本題也可以按如下方法解決：|a+b|=|a-b|?（a+b）2=（a-b）2?a·b=0?a⊥b，與|a|=|b|沒有關系，故“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要條件。

解析 本題如果直接利用向量的夾角公式計算，將有很大的運算量。若利用向量的幾何意義，問題將會大大簡化。表示點A在以C為圓心、為半徑長的圓上，數(shù)形結(jié)合，易求出的夾角的范圍為。故選D。

二、對平面向量坐標運算的掌握

例4 已知平面向量a=（1，2），b=（4，2），c=ma+b（m∈R），且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m=（ ）。

A.-2 B.-1 C.1 D.2

分析 平面向量a與b的數(shù)量積為a·b=|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角。要注意夾角的定義和它的取值范圍（0°≤θ≤180°）。

所以m=2。故選D。

三、三角形內(nèi)心、外心的向量表示

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

四、平面向量的綜合應用

點評 平面向量應用性問題常常要利用向量的坐標運算來解決。當題中出現(xiàn)明顯的垂直特征時，應優(yōu)先考慮建立平面直角坐標系，用向量表示出要題中給定的條件，再利用幾何意義進行求解。