安徽省合肥中科大附中 黃嚴(yán)生 高龍錦
盤(pán)點(diǎn)向量運(yùn)算,直擊向量應(yīng)用
安徽省合肥中科大附中 黃嚴(yán)生 高龍錦
向量是數(shù)學(xué)中重要且基本的數(shù)學(xué)概念。向量既有大小又有方向,既有代數(shù)屬性又有幾何屬性,是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的工具,為我們利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題提供了方法和思路。本文將從如何利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算解決問(wèn)題等方面,對(duì)向量的應(yīng)用進(jìn)行討論和分析。
1.知識(shí)盤(pán)點(diǎn)
(1)向量的線性運(yùn)算有加法、減法和數(shù)乘,加法和減法有三角形法則和平行四邊法則,數(shù)乘就是一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)向量相乘,其結(jié)果仍是一個(gè)向量,所得的向量與原向量共線。
(2)向量共線定理:對(duì)于向量a、b(b為非零向量),向量a、b共線?存在唯一實(shí)數(shù),使a=λb。
若A、B、C三點(diǎn)共線,且點(diǎn)O異于A、B、C,根據(jù)向量的減法運(yùn)算有,將它們代入上式,可得,整理可得。
特別說(shuō)明,零向量與任何向量均共線,零向量的方向是任意的。
利用向量線性運(yùn)算可以解決點(diǎn)點(diǎn)共線、線線平行以及線段的等分等問(wèn)題。
(3)向量基本定理與向量的坐標(biāo)表示:
如果e1、e2是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于平面內(nèi)任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2(e1、e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底)。
在平面向量的運(yùn)算中,我們經(jīng)常選取適當(dāng)?shù)幕?,將?wèn)題中的向量用基底表示,然后進(jìn)行基底向量之間的運(yùn)算。
若在平面直角坐標(biāo)系中,選擇單位正交基底i、j,方向分別與平面坐標(biāo)系中x軸和y軸的正方向相同,那么平面中任何一個(gè)向量a都可以表示為a=xi+yj,(x,y)叫作向量a的坐標(biāo),于是a用坐標(biāo)表示為a=(x,y)。因此,向量的坐標(biāo)表示是向量基本定理的一種特殊形式。
2.應(yīng)用透視
例1 已知向量e1、e2不共線,,若A、B、D三點(diǎn)在同一條直線上,求實(shí)數(shù)λ的值。
②利用向量共線可以證明線線平行問(wèn)題,但要注意線線平行與向量平行之間的區(qū)別與聯(lián)系。兩直線平行,則直線的方向向量一定平行,但向量平行,表示向量的有向線段可能平行,也有可能共線,這里不一一舉例。
例2 如右圖,已知△OAB中,點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)D是線段OB的一個(gè)靠近B的三等分點(diǎn),DC和OA交于點(diǎn)E,求的值。
思考 ①利用向量解決幾何問(wèn)題,首先要選取適當(dāng)?shù)幕祝缓笥没妆硎鞠嚓P(guān)的向量,最后利用向量共線定理,建立方程組解出參數(shù)的值;
②O、E、A三點(diǎn)共線,同學(xué)們易于發(fā)現(xiàn),但C、E、D三點(diǎn)共線,在解題中往往被忽視,從而導(dǎo)致解題受阻。
1.知識(shí)盤(pán)點(diǎn)
向量a、b是非零向量,a·b=|a||b|cos〈a,b〉,零向量與任何向量的數(shù)量積均為實(shí)數(shù)零。
值得注意的是,向量的數(shù)量積有別于向量的線性運(yùn)算,向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍然是一個(gè)向量,但兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)。
利用向量的數(shù)量積,可以解決距離問(wèn)題、夾角問(wèn)題、線線垂直問(wèn)題等。
2.應(yīng)用透視
例3 在平面直角坐標(biāo)系中,△OAB的三個(gè)頂點(diǎn)為O(0,0),A(3,λ),B(4,-3),∠AOB為銳角,求實(shí)數(shù)λ的值。
思考 兩個(gè)向量的夾角是銳角,能推出這兩個(gè)向量的數(shù)量積大于零,但兩個(gè)向量的數(shù)量積大于零,不能推出它們的夾角為銳角:當(dāng)兩個(gè)非零向量同向時(shí),其數(shù)量積也大于零;同樣,兩個(gè)向量的夾角是鈍角,能推出這兩個(gè)向量的數(shù)量積小于零,但兩個(gè)向量的數(shù)量積小于零,不能推出它們的夾角為鈍角:當(dāng)兩個(gè)非零向量反向時(shí),其數(shù)量積也小于零。因此,利用向量的數(shù)量積來(lái)研究夾角問(wèn)題時(shí),要特別注意共線情況。解答中第二個(gè)不等式也可以根據(jù)不共線,用不等式4λ+9≠0表示,更加簡(jiǎn)單、方便。
例4 在圓O中,若弦AB=3,AC=5,AB、AC不過(guò)圓心,求的值。
思考 對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解要透徹。如果只是死記硬背,我們就不能發(fā)現(xiàn),也就不能有效地解答問(wèn)題。另外,在解題時(shí),還要充分利用幾何圖形的性質(zhì),這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算。
探究 將圓心為O一個(gè)圓周n(n≥2,n∈N*)等分,所得的等分點(diǎn)按逆時(shí)針順序依次為A1, A2,…,An-1,An,求。
一方面,旋轉(zhuǎn)后圓周上點(diǎn)A1,A2,…,An-1,An分別旋轉(zhuǎn)到A2,…,An-1,An,A1的位置,雖然點(diǎn)的位置發(fā)生改變,但它們的和向量沒(méi)有改變,仍有;
思考 本題根據(jù)對(duì)n取偶數(shù)和n=3得到的結(jié)論,提出猜想,然后證明猜想,這也是解決問(wèn)題時(shí)常用的一種方法。
通過(guò)以上實(shí)例,我們可以發(fā)現(xiàn)向量解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的威力。向量為我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了一種新的途徑和方法,能有效實(shí)現(xiàn)抽象問(wèn)題形象化,復(fù)雜問(wèn)題代數(shù)化,幾何問(wèn)題代數(shù)化,代數(shù)問(wèn)題幾何化。向量既是代數(shù)對(duì)象,又是幾何對(duì)象,“一身兼二任”,所以許多圖形的幾何性質(zhì)都可以用向量的運(yùn)算表示出來(lái),這樣我們就可以通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)描述和研究幾何元素之間的關(guān)系(如直線的平行、垂直等),確定幾何圖形的長(zhǎng)度、面積、夾角等。
用向量方法解決幾何題的基本思路是:①建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;②通過(guò)向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問(wèn)題;③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。向量運(yùn)算能把一個(gè)思辨過(guò)程變?yōu)橐粋€(gè)計(jì)算過(guò)程,可以按照一定的“程序”進(jìn)行運(yùn)算,從而降低了思維難度。