錢殿偉， 郭錦榮

(華北電力大學(xué) 控制與計算機(jī)工程學(xué)院，北京 102206)

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多機(jī)器人的積分滑模編隊控制

錢殿偉， 郭錦榮

(華北電力大學(xué) 控制與計算機(jī)工程學(xué)院，北京 102206)

以一組非完整約束兩輪機(jī)器人為研究對象，提出了具有非匹配不確定性的移動機(jī)器人系統(tǒng)的積分滑模編隊控制。在單個機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型的基礎(chǔ)上，考慮機(jī)器人自身參數(shù)變化、打滑和側(cè)移等不確定性的影響，采用領(lǐng)航-跟隨機(jī)制，建立了編隊系統(tǒng)的動力學(xué)模型。該動力學(xué)模型含有非匹配不確定性，無法應(yīng)用積分滑?？刂频牟蛔冃砸种啤Ｔ诤侠淼募僭O(shè)下，從理論上證明了具有非匹配不確定的編隊系統(tǒng)在滑模階段具有局部漸近穩(wěn)定性；證明了提出的積分滑模編隊控制律能夠保證滑模的可達(dá)性條件。最后以三個機(jī)器人組成仿真實驗平臺，驗證了在非匹配不確定性的了積分滑模編隊控制方法的有效性及可行性。

多機(jī)器人； 領(lǐng)航-跟隨； 編隊控制； 非匹配不確定性； 積分滑模

0 引 言

與單個復(fù)雜機(jī)器人相比，多個簡單機(jī)器人構(gòu)成的協(xié)調(diào)系統(tǒng)在工作效率、靈活性及魯棒性等方面更具優(yōu)勢[1-2]。編隊控制是多機(jī)器人協(xié)調(diào)技術(shù)的一個重要研究領(lǐng)域，在巡邏、搜尋、偵察、空間探測、無人機(jī)編隊飛行等領(lǐng)域，編隊控制有著十分廣泛的應(yīng)用前景和實用價值[3-5]。

多機(jī)器人的編隊控制是指多個機(jī)器人組成的團(tuán)隊在執(zhí)行任務(wù)的過程中，在適當(dāng)?shù)沫h(huán)境約束下，相互之間保持預(yù)定的幾何關(guān)系[6-7]。編隊控制有多種機(jī)制，如行為法[8]、虛擬結(jié)構(gòu)法[9]、領(lǐng)航-跟隨法[10-11]及人工勢場法[12]等。其中，領(lǐng)航-跟隨法的基本思想是在多機(jī)器人系統(tǒng)中指定某個機(jī)器人為領(lǐng)航者，其他機(jī)器人均被定義為跟隨者；領(lǐng)航機(jī)器人負(fù)責(zé)跟蹤某一特定的軌跡，通過控制跟隨機(jī)器人使之以一定的距離和相角跟蹤領(lǐng)航機(jī)器人，從而實現(xiàn)多機(jī)器人系統(tǒng)以期望隊形運(yùn)動。這種分散的結(jié)構(gòu)可以將整個多機(jī)器人編隊問題簡化為若干個機(jī)器人的軌跡跟蹤問題，從而減輕機(jī)器人之間通信的壓力。采用領(lǐng)航-跟隨編隊機(jī)制，常用的編隊控制方法包括反饋線性化[13]、預(yù)測控制[14]、自適應(yīng)控制[15]、滑?？刂芠11,16]及智能控制[17-19]等。

在實際應(yīng)用中，編隊系統(tǒng)存在負(fù)載變化、參數(shù)攝動、測量噪聲、摩擦及外部擾動等諸多不確定性。這些不確定性分為匹配不確定和非匹配不確定兩類。滑?？刂圃诨瑒幽B(tài)下對匹配不確定性具有不變性，而目前的滑模編隊控制器設(shè)計并沒有從理論上分析非匹配不確定性對編隊控制系統(tǒng)的影響[11,13,20]。本文探討具有非匹配不確定性的多機(jī)器人系統(tǒng)積分滑模編隊控制問題，重點(diǎn)研究在滑動模態(tài)下的系統(tǒng)穩(wěn)定性和滑動模態(tài)的可達(dá)性，通過對比仿真實驗驗證此方法的有效性。

1 數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，兩驅(qū)動輪式移動機(jī)器人是一個非完整約束系統(tǒng)。其運(yùn)動狀態(tài)由其兩個驅(qū)動輪的軸中點(diǎn)O'在坐標(biāo)系的位置及航向θ來表示，令q=[xyθ]T，其中(x,y)為移動機(jī)器人的位置，θ為移動機(jī)器人前進(jìn)方向與x軸的夾角。

圖1 非完整移動機(jī)器人結(jié)構(gòu)

在一組包括N個非完整移動機(jī)器人的編隊系統(tǒng)中，第n機(jī)器人的理想運(yùn)動學(xué)方程為

(1)

vn和wn分別為線速度和角速度，是機(jī)器人的控制輸入。考慮到機(jī)器人質(zhì)量及受力的變化，機(jī)器人的動力學(xué)模型可描述為

(2)

un=[αnβn]T是控制輸入向量。αn=Fn/mn代表加速度，βn=τn/Jn代表角加速度，mn和Jn表示機(jī)器人自身的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量，F(xiàn)n及τn分別表示施加到機(jī)器人上的力和力矩。Δn表示為

在領(lǐng)航-跟隨者結(jié)構(gòu)中，選取第i個機(jī)器人為領(lǐng)航者，剩余N-1個機(jī)器人作為跟隨者，選第k個跟隨者作為代表，領(lǐng)航者和跟隨者的協(xié)調(diào)結(jié)構(gòu)如圖2所示。跟隨者k與領(lǐng)航者i的相對距離和相對相角分別為

(3)

ψik=π+ζik-θi。

(4)

圖2 跟隨-領(lǐng)航者協(xié)調(diào)結(jié)構(gòu)

Fig. 2Schematicdiagramoftheleader-followercooperativemechanism

對相對距離和相角求二階導(dǎo)，令xik=[x1x2x3x4]T，其中x1=lik，x3=ψik，x2和x4分別是x1和x3的一階導(dǎo)，得到跟隨-領(lǐng)航者編隊體系結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型的狀態(tài)空間表達(dá)式

(5)

有φik=ψik+θi-θk，各參數(shù)矩陣描述如下

dik(t)=BikΔkuk+Lik(I2+Δi)ui+Fik+Pik，

P1= -(πix-πkx)cos(ψik+θi)-

(πiy-πky)sin(ψik+θi)+rπkθsinφik(πix-πkx)

sin(ψik+θi)

注：rank[BikBikAik]=4，編隊系統(tǒng)可控，可進(jìn)行極點(diǎn)配置。dik(t)表示全部不確定性，BikΔkuk表示跟隨者k自身的參數(shù)變化屬于匹配不確定性，剩余3項均屬于非匹配不確定性。

2 控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

(6)

對式(6)求導(dǎo)并將式(5)代入得到

=GikBikKikxik+GikBikuk+Gikdik(t)。

(7)

ukeq=-Kikxik-(GikBik)-1Gikdik(t)。

(8)

將式(8)代入式(5)，得到滑動模態(tài)下編隊系統(tǒng)的狀態(tài)方程

(9)

(10)

通過選取合適的狀態(tài)反饋矩陣Kik可使Aik滿足如下李雅普諾夫穩(wěn)定性方程

(11)

上式中Mik為正定對稱陣，Nik為方程的解。

(12)

證明：選取正定能量函數(shù)V1(t)=xikTNikxik，對其求并將式(10)和式(11)依次代入得到

(13)

根據(jù)不確定性有界的假設(shè)，有

(14)

(15)

理論上，積分滑?？刂频幕瑒幽B(tài)發(fā)生在運(yùn)動初始時刻，但實際中由于非匹配不確定性的存在，有必要對滑動模態(tài)的可達(dá)性進(jìn)行驗證?？蛇_(dá)性條件如下

(16)

定理2：設(shè)計積分滑?？刂坡?17)可使編隊系統(tǒng)滿足可達(dá)性條件(16)。

(GikBik)-1κiksgn(sik)-(GikBik)-1ηiksik。

(17)

其中，ones(4,1)為[1,1,1,1]T。選取常數(shù)ηik>0且κik> ‖Gik‖2‖ik×ones(4,1)-dik(t)‖2。

證明：選取李雅普諾夫函數(shù)V2(t)=‖sik‖2，對其求導(dǎo)并將式(7)代入得到

(18)

(19)

3 仿真結(jié)果

以3個機(jī)器人組成的編隊系統(tǒng)為例，仿真驗證積分滑?？刂品椒ǖ挠行浴A形機(jī)器人的半徑r=0.05 m，領(lǐng)航者i=1，跟隨者k=2,3。選擇15%的參數(shù)波動

(20)

外部擾動

πix=πiy=πiθ=0.5sin(2πt)，

πkx=πky=πkθ=0.2sin(πt)。

(21)

(22)

參數(shù)矩陣Gik=Kik。κ12=κ13=1.00，η12=η13=25.00。

圖3 線形隊形走圓形軌跡

采用文獻(xiàn)[11]中的二階滑?？刂品椒ㄅc積分滑模控制方法進(jìn)行對比實驗，仿真結(jié)果如圖4～圖6所示。從圖4看出積分滑?？刂品椒梢匝杆俚厥?個機(jī)器人形成線性隊形，并以較高的跟蹤精確度保持該隊形運(yùn)動。二階滑模控制方法的動態(tài)響應(yīng)時間較長，隊形形成過程慢；此外，由于非匹配不確定性的影響，該控制系統(tǒng)在編隊形成后存在波動。

滑模控制的不連續(xù)性導(dǎo)致了抖振問題，正如圖5，二階滑模控制器輸出的加速度和角加速度均存在高頻切換，這將加速機(jī)器人機(jī)械部分的的磨損且對驅(qū)動電機(jī)的沖擊大，而積分滑模控制器有效地緩解了這一問題。根據(jù)圖6，編隊系統(tǒng)在2 s時進(jìn)入了滑動模態(tài)。根據(jù)定理2當(dāng)編隊系統(tǒng)進(jìn)入滑動模態(tài)后，不確定性的存在會使系統(tǒng)在滑模面附近產(chǎn)生顫動，但此時狀態(tài)lik和ψik已進(jìn)入平衡點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)，故系統(tǒng)保持局部漸近穩(wěn)定。

圖4 狀態(tài)軌跡

圖5 控制量

圖6 積分滑模面

4 結(jié) 論

本文提出了具有非匹配不確定性的多機(jī)器人編隊系統(tǒng)的積分滑?？刂?。建立了基于領(lǐng)航-跟隨機(jī)制的編隊系統(tǒng)動力學(xué)模型，從理論上分析了編隊系統(tǒng)在滑動模態(tài)下的穩(wěn)定性情況及滑動模態(tài)的可達(dá)性條件。在由三個移動機(jī)器人組成的多機(jī)器人系統(tǒng)仿真平臺上，通過與二階滑模編隊控制的對比實驗，驗證了提出的控制方法可以快速的實現(xiàn)多機(jī)器人編隊并以較高的跟蹤精度保持期望隊形。

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(編輯：賈志超)

Formation control of multi-robot via integral sliding mode

QIAN Dian-wei, GUO Jin-rong

(School of Control and Computer Engineering, North China Electric Power University, Beijing 102206, China)

A group of nonholonomic two-wheeled mobile robots were studied. The method of integral sliding mode control (ISMC) was investigated for the formation problem of the group of robots with mismatched uncertainties. Taking the effects of uncertainties (parameter fluctuations, skidding and slipping) into accounts, the leader-follower formation dynamic model was established on the basis of the kinematic model of a single robot. Since the mismatched uncertainties in this dynamic model cannot be suppressed by the invariance of ISMC, the formation system was theoretically proven to be locally asymptotically stable in the sliding mode stage. Meanwhile, the reaching condition of sliding mode was guaranteed by the developed ISMC law. Finally, a simulation platform composed of three robots verifies the feasibility and effectiveness of the ISMC strategy applied to the mobile robot formation system.

multi-robot; leader-follower; formation control; mismatched uncertainties; integral sliding mode

2014-12-10

國家自然科學(xué)基金(60904008)；河北省自然科學(xué)基金(F2012502023)

錢殿偉(1980—)，男，博士，副教授，研究方向為智能機(jī)器人技術(shù)、欠驅(qū)動機(jī)器人控制等；

郭錦榮(1991—)，女，碩士，研究方向為多機(jī)器人系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制。

錢殿偉

10.15938/j.emc.2016.01.015

TP 242.6

A

1007-449X(2016)01-0099-06